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17.1复数的概念


17.1复数的概念
润州中专高二数学组

数 系 的 扩 充 过 程

分数

.

复习回顾

分数

自然数

负数

有理数
整数 无理数 ③

实数

/>①分数的引入,解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入,解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 ③无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾。

④在实数集范围内,负数不能开平方,我们要引入什么数, 才能解决这个矛盾呢?

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系:

整数
有理数 N

实数


R

Q

Z

知识引入

我们已知知道: 对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

复数的概念

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字 母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
注意:

实部

虚部

1? i

(1)当b=0时,a+bi就是实数,如:1,2.5,-1/2
虚 数 单 位 i) (2)当b≠0时,a+bi是虚数,(含
如:

?i

3 ?2? i 2

2i 其中

i 称为虚数单位。
如: ? i

(3)其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

2i

例1 以下各数中,哪些是复数,

哪些是实数,哪些是虚数,哪些 是纯虚数?

0, 2+3i, 6i, 7, -1-i,-1+ 5,(3 ? 2)i, i

例2、指出下列复数的实部与虚部
(1)1-i 5 (2) i 2 1 ? 2i (3) 3 (4)6

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚 数,并指出复数的实部与虚部。

2? 7

实数 ?

3i 纯虚数

3 ? 9 2i
2i ? 1

虚数

i

2 实数

i 1? 3

?

? 纯虚数

虚数

2、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 错误,当b=0时不成立 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 错误,当b=0时不成立
(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数 正确

例3 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数.
m ?1

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

时,复数z 是虚数.

? ?m ? 1 ? 0
2

即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

3.如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么 我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ?? ?b ? d
? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

例4 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

4. 共轭复数

实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为 共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z , 如

即 z ? a ? bi

3i与 ? 3i

3 ? 5i与3 ? 5i

例5 若 求实数

( x ? 1) ? yi
x, y
的值。



(3x ? 1) ? 2i 是共轭复数,

解:根据共轭复数的定义,得方程组

? x ? 1 ? 3x ? 1 ? ? y ? ?2
解得

x ? 1, y ? ?2

练习

1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y .

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y )

5 x? ,y?4 2

2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值. ?x ? 1 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ? ?y ? 2 ?x ? y ? 1 ? 0
3.已知 (2x-1) + i 与 y -(3-y)i 是共轭复数,其中 x , y ∈R, 求x与y.

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? 3 ? y

x ? 2, y ? 2

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

共轭复数

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