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2015-2016学年人教B版高中数学课件 必修3:第一章 算法初步 3《算法案例》


1.3 中国古代数学中的算法案例 1.理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2.引导学生得出自己设计的算法程序. ? 新课讲授部分,讲解两种算法的应用与优点; 例题部分,通过典例讲解让学生熟悉两种中国 古代算法。复习巩固部分通过练习对知识巩固, 让学生更系统掌握本节课的所学知识。 算法案例一 更相减损之术(等值算法) 思考1 小学学过的求两个数的最大公约数的方

法是怎样呢? 解答: 先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得 的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 例1:求下面两个正整数的最大公约数: (1)求25和35的最大公约数; (2)求49和63的最大公约数. 解答: (1) 5 25 5 35 7 (2) 7 49 7 63 9 所以,25和35的最大公约数为5;所以,49和63的最大公约数为7. 思考2 如何算出98与63的最大公约数?除了用这种方法 外还有没有其他方法?(辗转相除法) 解答:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98和63的最大公约数等于7. 思考3 什么是更相减损之术?有什么具体作用呢? 解答:所谓更相减损之术,就是对给定的两个数,用较大的数 减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,再用较 大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较小的数相 等,此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 更相减损之术,是我国古代数学算法的叫法,现代数学中 称作等值算法,主要的作用是求两个正整数的最大公约数。 思考4 你能根据更相减损之术设计程序,求两个正 整数的最大公约数吗? 程序 a=input(“please give the first number ”); b=input(“please give the second number ”); While a<>b ifa>b a=a-b; else b=b-a; end end print(%io(2), a, b) 算法案例二 秦九韶算法 思考1 想想怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢? 解答: 算法1: 计算多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5的值的算法: 因为f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 =3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1)+1 =5×(5×(53+52+5+1)+1)+1 =5×(5×(5×(52+5+1)+1)+1)+1 =5×(5×(5×(5×(5+1)+1)+1)+1)+1 思考2 两种算法各用了几次乘法运算和几次加法运算? 解答: 算法一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算。 算法二共做了4次乘法运算,5次加法运算。 通过对比,很明显,算法二比算法一优越,这种算法就是秦九 韶算法。 思考3 秦九韶算法的概念和特点是怎样的呢? 解答: 设 f ( x) 是一个n 次多项式 f ( x) ? an xn ? an?1 xn?1 ? ? ? a1x ? a0 对该多项式按下面的方式进行改写: f ( x) ? an xn ? an?1 xn?1 ? ? ? a1x ? a0 ? (an xn?1 ? an?1x

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