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2014-2015学年点拨高中数学必修4(北师大版)过关测试卷:第一章 三角函数 达标测试卷


第一章达标测试卷
(150 分,120 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1.下列命题中不正确的个数是( )

①小于 90°的角是锐角;②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若 sinα >0,则α 是第一、二象限角; ④若α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上的一点,则 cosα =
-x x2 ? y

2

.

A.1

B.2

C.3
tan ? tan ? ? sin ? 1 ? cos2 ?

D.4 的值等于( D.0 或 2 )

2.若角α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 A.2 或-2 B.-2 或 0

C.2 ) C.5π

?? ?1 3.函数 y= sin ? x ? ? 的周期为( 4? ?3

A.3π

B.4π

D.6π

?? ? 4.函数 f(x)= tan ? x ? ? 的单调递增区间为( ) 4? ? ? ?? ? A. ? k ? ? , k ? ? ? ,k∈Z B. ? k ?, ? k ? 1? ?? ,k∈Z 2 2? ?
?? ?? ? C. ? k ? ? , k ? ? ? ,k∈Z 4 4? ? ? ?? ? ? D. ? k ? ? , k ? ? ? ,k∈Z 4 4 ? ?

5.在区间[-π ,π ]上既是增函数,又是奇函数的是( A.y=sin2(π -x)
?? x? C.y=sin ? ? ? ? 2 2? ?? ? B.y=sin ? x ? ? 4? ? 3?+x D.y=cos 2



?? ?3 6.函数 f(x)=sin ? x ? ? 的图像相邻的两个零点之间的距离是( 4? ?2

) D.2π

A.

? 3

B.

?? 3

C.

?? 3

?? ? 7.函数 y=cos ? ?3x ? ? 的图像的一个对称中心为( ) 3? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? A. ? , 0 ? B. ? , 0 ? C. ? , 0 ? ?6 ? ?3 ? ? 18 ? ?? ? 8.要得到函数 y=3cos ? 2 x ? ? 的图像,可以将函数 y=3sin2x 的图像( 4? ?

?? ? D. ? , 0 ? ?2 ?



A.沿 x 轴向左平移 C.沿 x 轴向左平移

? 个单位 8 ? 个单位 4

B.沿 x 轴向右平移 D.沿 x 轴向右平移

? 个单位 8

? 个单位 4


9.〈浙江卷〉已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图像不可能是图 1 中的(

图1 10.若 a 为常数,且 a>1,0≤x≤2π ,则函数 f(x)=cos2x+2asinx-1 的最大值为( A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1 D.a2 )

二、填空题(每题 5 分,共计 25 分)

x ? x ?? 11.要得到 y=sin ? ? ? 的图像,需将函数 y=sin 的图像至少向左平移_______个单位. 2 ?2 3?
12.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)的图像的一条对称轴为直线 x=

? ,则 a=_______. 12

?? ? 13.有一种波,其波形为函数 y=sin ? x ? 的图像,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图 ?2 ?

像的最高点),则正整数 t 的最小值是_______. 14.cos

? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? -tan + tan2 ? ? ? +sin +cos2 +sin =________. 3 4 4 6 6 2 ? 6?

15.若函数 y=f(x)同时具有性质: ①是周期函数且最小正周期为π ;
? ? ?? ②在 ? ? , ? 上是增函数; ? 6 3? ?? ? ?? ? ③对任意 x∈R,都有 f ? ? x ? =f ? ? x ? . 3 3 ? ? ? ?

则函数 y=f(x)的解析式可以是____________.(只需写出满足条件的函数 y=f(x)的一个解析 式即可) 三、解答题(要求写出解答过程,18,19,20 题每题 13 分,其余每题 12 分,共计 75 分)

? ? ?? ?? ? 16.是否存在α ,β ,α ∈ ? ? , ? ,β ∈(0,π ),使等式 sin(3π -α )= 2 cos ? ? ? ? , ? 2 2? ?2 ?

3 cos(-α )=- 2 cos(π +β )同时成立?若存在,求出α ,β 的值,若不存在,请说明理

由.

17.设函数 f(x)=sin(2x+ ? )(-π < ? <0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线 x= (1)求 ? 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)在图 2 中画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像.

? . 8

图2

?? ? 18.〈北京文卷(文)〉函数 f(x)=3sin ? 2 x ? ? 的部分图像如图 3. 6? ?

(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值;
? ? ?? (2)求 f(x)在区间 ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

图3

? ? ?? 19.图 4 为函数 y1=Asin(ω x+ ? )的一段图像,已知 A>0,ω >0, ? ∈ ? ? , ? . ? 2 2?

(1)写出函数 y1 的解析式; (2)若函数 y2 与 y1 的图像关于直线 x=2 对称,求函数 y2 的解析式.

图4

?? ? ? ?? 20.〈浙江海宁一中〉已知函数 f(x)=2asin ? 2 x ? ? +b 的定义域为 ? 0, ? ,值域为[-5,1] , 3? ? ? 2?

求 a 和 b 的值.

21.测谎仪是一种通过人的脑电波的变化,来判断被测人是否说谎的一种仪器,对于某一语 言刺激,没说谎的人的脑电波一般是正弦波,而说谎的人的脑电波则是锯齿波.下面是询问 某一问题时,一个没说谎的人脑电波的数据: t y 0 -4 0.2 0 0.4 4 0.6 0 0.8 -4

若就同一个问题询问另一个人时,得到以下脑电波数据:当 t=0.1 时,y=-1,当 t=0.5 时, y=3.6,根据这些数据,判断此人是否说谎?

参考答案及点拨

? ?? 一、1. D 点拨:对于①,负角小于 90°,但不是锐角. 和 终边不同,但正弦值相等, 4 4
所以②错.sin α =
x x ? y2
2

? ? =1,但 不是第一、二象限角,是轴线角,所以③错,对于④,由定义 cos 2 2
,知④也不对.

2. B 点拨:由题意知α 的终边在第二或第四象限. 当α 的终边在第二象限时,tanα <0,sinα >0,∴原式=-1+1=0. 当α 的终边在第四象限时,tanα <0,sinα <0,∴原式=-1+(-1)=-2.
?? ?? ?1 ?1 3. A 点拨:∵y=sin ? x ? ? 的周期 T=6π ,∴y= sin ? x ? ? 的周期为 3π . 4? 4? ?3 ?3

4. C 点拨:由题知 x+ 5. D 点拨:y=cos

? ?? ?? ?? ? ? ? ∈ ? k ? ? , k ? ? ? ,∴x∈ ? k ? ? , k ? ? ? (k∈Z),故选 C. 2 2 4 4? 4 ? ? ?

3?+x x =sin 在区间[-π ,π ]上已知是增函数,又是奇函数. 2 2 ?? ?3 6. B 点拨:函数 f(x)=sin ? x ? ? 的图像相邻的两个零点之间的距离为半个周期,∵T= 4? ?2
2? 4? T 2? ? ,? ? . 3 3 2 3 2
?? ?? ? ? k ? 5? ? ? 7. C 点拨: y=cos ? ?3x ? ? =cos ? 3x ? ? , 令 3x- =kπ + (k∈Z), ∴x= (k ? 3? 3? 3 2 3 18 ? ?

∈Z).当 k=0 时,x= 8. A 9. D

5? ,故选 C. 18

10. B 点拨:f(x)=1-sin2x+2asinx-1=-sin2x+2asinx. 令 sinx=t,∴t∈[-1,1] ,∴y=-t2+2at=-(t-a)2+a2,t∈[-1,1]. ∵a>1,∴当 t=1 时,函数取得最大值,为 2a-1.

2? x 2? 点 拨 : 将 函 数 y = sin 的 图 像 向 左 平 移 个单位,得到 y= 2 3 3 1? 2? ? ? x ?? sin ? x ? ? ? sin ? ? ? 的图像. 2? 3 ? ?2 3?
二 、 11. 12.
3 3 3 . 3 3 ? ? 1 ??? 点拨:由题意,得 f(0)=f ? ? ,即 asin0+cos0=asin +cos ,∴ a= , 2 3 3 2 ?6?

∴a=

13. 5

点拨:∵

?? 5 5 T≤t,∴ × ≤t,∴t≥5. ? 4 4 2

?? ?? ? 3 ? ? ?? ? ?? ? - tan ? ?+ ? + tan2 ? ? ? + sin ? 2? ? ? + cos2 ? ? ? ? + 6? 4? 6? 3 4 ? ? ? 6? ? ?? ? ? 3 ? ? ? ? ? sin ? 3? ? ? =cos -tan + tan2 -sin +cos2 -sin 2? 3 4 4 6 6 6 2 ?

14. - 1

点拨:原式= cos

? 3 1 1 3 -1+ × - + -1=-1. 2 4 4 3 2 ? ? ? 15. f(x)=sin ? 2 x ? ? 点拨:答案不唯一. 6? ?


?sin ? ? 2 sin ? ①, ? 三、16. 解:由条件得: ? ①2+②2 得:sin2α +3cos2α =2. ? ? 3 cos ?= 2 cos ? ②,
∴cos2α =
3 ? ? ? ? ? ? ?? .∵α ∈ ? ? , ? ,∴α = 或- .将α = 代入②得:cosβ = ,又∵ 2 2 4 4 4 ? 2 2?

β ∈(0,π ),∴β =
? ? ?= ? ? 4 满足题设. ? ?? = ? ? 6 ?

? ? ,代入①适合,将α =- 代入①得 sinβ <0,不适合,综上知存在 6 4

17. 解:(1)∵直线 x= ∴sin(2×

? 是函数 y=f(x)的图像的一条对称轴, 8

? ? ? + ? )=±1.∴ + ? =kπ + ,k∈Z. 8 4 2

∵-π < ? <0,∴ ? =- (2)由(1)知 ? =- 由题意得 2kπ -

?? . 4

?? ? ?? ? ,因此 y=sin ? 2 x ? ? . 4 ? 4 ?

? ?? ? ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 4 ?? ? ? ?? ? ? ? ∴函数 y=sin ? 2 x ? ? 的单调增区间为 ? k ?+ , k ? ? ? ,k∈Z. 4 ? 8 8? ? ? ?? ? ? (3)由 y=sin ? 2 x ? ? 知 4 ? ?
x y
?

0
2 2

? 8
-1

?? 8
0

?? 8
1

?? 8
0
?

?
2 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像如答图 1.

答图 1

?? ,y0=3. 6 ? ? ?? ? ? ? ?? (2)因为 x∈ ? ? , ? ? ,所以 2x+ ∈ ? ? , 0 ? . 6 ? 6 ? ? 2 12 ?
18. 解: (1)f(x)的最小正周期为π ,x0= 于是,当 2x+ 得最小值-3. 19. 解:(1)由题图知 A=2,T=8,ω =
?? ? 当 x=7 时,有 0=2sin ? ×7+? ? , ?4 ?

? ? ? ? ? =0,即 x= ? 时,f(x)取得最大值 0;当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取 6 12 6 2 3

?? ? ? . T 4

? 7? ? ∴ ? ∈ ?? ? =k ? ? , k ? Z ? . 4 ? ?
?? ? ? ? ?? ?? 又∵ ? ∈ ? ? , ? ,所以 ? = .∴y1=2sin ? x+ ? ; 4? 4 ? 2 2? ?4

(2)设 y2 图像上任一点 P(x,y),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 Q(x0,y0),即 Q(4-x,y)在
?? ?? ?? ? ? ? ? ?? y1 图像上,有 y=2sin ? ? 4-x ? + ? ,即 y=2sin ? ?+ - x ? ,即 y=2sin ? x- ? ,∴y2= 4 4 4 4 4 4? ? ? ? ? ? ?? ?? 2sin ? x- ? . 4? ?4

20. 解:∵0≤x≤

? ? ? ? ?? ,∴- ≤2x- ≤π - = . 2 3 3 3 3

∴-

3 ?? ? ≤sin ? 2 x- ? ≤1. 2 3? ?

? ? ?2a ? b ? 1, ?a ? 12 ? 6 3, 当 a>0 时,则 ? 解得? ?? 3a ? b ? ?5. ? ? ?b ? ?23 ? 12 3. ?a ? ?12 ? 6 3, ? ?2a ? b ? ?5, ? 当 a<0 时,则 ? 解得? ?? 3a ? b ? 1. ?b ? 19 ? 12 3. ? ?
21. 解:根据数据,设 y=Asin(ω t+ ? )(A>0,ω >0,-π < ? <π )为刻画脑电波变化的模型,

易知 A=4,最小正周期 T=0.8,所以ω = 析式,可得 4sin ? ? y=4sin ? ?

?? ?? 5? ? = ,所以 y=4sin ? ? t ? ? ? ,把(0.2,0)代入此解 0.8 2 ? 2 ?

? 5? ? ? 0.2 ? ? ? =0 ,解得 ? = - ,所以没说谎的人的脑电波可用函数 2 ? 2 ?

5? 5? ?? t 来表示. t ? ? =-4cos 2? 2 ? 2
? ?? ≈-2.828;当 t=0.5 时,y=-4cos ≈2.828,可见用函数模型求出 4 4

当 t=0.1 时,y=-4cos

的数据和实测数据的差异较大,故可判断此人说谎.


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