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【北师大版】选修4-5数学:2.3.2《数学归纳法的应用》ppt课件


3.2 数学归纳法的应用 -1- 3.2 数学归纳法的应用 首页 X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANGJIANCE 学习目标 1.进一步掌握利用数学归纳法证 明不等式的方法和技巧. 2.了解贝努利不等式,并能利用它 证明简单的不等式. 思维脉络 -2- 3.2 数学归纳法的应用 首页

X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANGJIANCE 1.用数学归纳法证明不等式 运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式.尤其是 第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”,另一方面还需要结合运 用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法. 点拨 在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设 是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要 的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也 行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小” 的过程,才能利用归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分 析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构. -3- 3.2 数学归纳法的应用 首页 X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANGJIANCE 做一做1 用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起 始值n0应取( A.2 B.3 ) C.5 D.6 解析:取n=1,2,3,4,5,6,7计算知n0=5. 答案:C -4- 3.2 数学归纳法的应用 首页 X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANGJIANCE 2.贝努利不等式 对任何实数x≥-1和任何正整数n,有(1+x)n≥1+nx. 做一做2 设n∈N+,求证:3n>2n. 证明:3n=(1+2)n,根据贝努利不等式,有(1+2)n≥1+n×2=1+2n. 上式右边舍去1,得(1+2)n>2n.故3n>2n成立. -5- 3.2 数学归纳法的应用 首页 X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANGJIANCE 探究一 探究二 探究三 探究一用数学归纳法证明不等式 有关自然数的不等式证明问题,可以考虑数学归纳法,其主要步骤是: (1)证明当n=n0(第一个自然数)时不等式成立; (2)假设不等式当n=k(k≥n0)时成立,证明n=k+1时不等式也成立; 由(1)(2)知对于n≥n0的一切正整数,不等式都成立. 注意:使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由n=k时命题成立推出 n=k+1时命题也成立.为了完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用 问题中的其他条件以及相关知识,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用, 如比较法、放缩法、分析法、反证法等. -6- 3.2 数学归纳法的应用 首页 X 新知导学 Z重难探究 INZHIDAOXUE HONGNANTANJIU D当堂检测 ANGTANG

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