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高中数学创新思维训练(02)


高中数学创新思维训练(02)

高中数学创新思维训练(02)
1、求函数 y ? x( x ? 1) ? x 的定义域。

? x ? 1, x ? 0 5、求函数 y ? ? x 的反函数。 ? e ,x ? 0

2、求 f ( x) ?

1 log 1 (2 x ? 1)

2

,求 f (x) 的定义域。 6、已知动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上,过点 P 作 垂直于平面 BB1 D1 D 的直线, 与正方体表面相交于 M、 设 BP=x, N. MN=y,

3、根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)
? ? ? 为 f ( x) ? ? ? ? ? c x c A ,x ? A

求函数 y ? f (x) 的表达式。

(A,c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时
,x ? A

30 分仲,组装第 A 件产品用时 15 分钟,求 c 和 A 的值。
1 1 7、函数 f : ? ,2,3? ? ? ,2,3?满足 f ( f ( x)) ? f ( x) ,求这样的函数个数。

4、求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 ( x ? 4) 的反函数。

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1 的图像与函数 y ? 2 sin ?x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交 1? x 点的横坐标之和。

8、求函数 y ?

1 3 11、已知函数 f (x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 ,求 f (x) 的最小值。 x x

9、某校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表。那么,各班可推选 代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? ?x? ?x ? 表示 ( 不大于 x 的最大整数)可以怎样表示?

? 2 x, x ? 0 4 4 12、已知 f ( x) ? ? ,求 f ( ) ? f (? ) 的值。 3 3 ? f ( x ? 1), x ? 0

10、如图 O 为数轴的原点,A、B、M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的 动点。设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和。 (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什 么范围内取值。

13、已知 f ( x) ? a x ?2 , g ( x) ? log a | x | (a ? 0且a ? 1) , 若 f (4) ? g (?4) ? 0 ,求 a 的取值范围。

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14、图中的阴影部分由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的 两矩形所构成。 设函数 S ? S (a)(a ? 0) 是图中阴 影部分介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分 的面积,求函数 S (a ) .

? x 2 ? 5x ? 16、函数 f ( x) ? ? 6 ,0 ? x ? 3 ,若 ?m, n ? [0,5]且m ? n ,使 f (x) 在 ? 10 ? 2 x,3 ? x ? 5 ?

[m,n]上的值域为[m,n],求这样的实数对(m,n)的个数。

17 、 已 知 a>0 , 定 义 在 D 上 的 函 数 f (x) 和 g (x) 的 值 域 依 次 是 15、用 min{a, b} 表示 a、b 两数中的较小值,若函数
1 f ( x) ? min ?| x |, | x ? t |?的图像关于直线 x ? ? 对称,求 t 的值。 2

?? (2a ? 3)?

3

25 25 ? ? , a ? 6 和 ?a 2 ? , (a 2 ? )? 4 ? . 若存在 x1 , x2 ? D ,使得 4 4 ? ?

?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 成立,求 a 的取值范围。 4

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1 18、给定集合 An ? ? ,2,3,?, n?, (n ? N * ) ,映射 f : An ? An 满足:

①当 i, j ? An , i ? j 时, f (i) ? f ( j ) ; ②任取 m ? An ,若 m ? 2 ,则有 m ? ? f (1), f (2), ?, f (m)? , 则称映射 f : An ? An 是一个“优映射” 。例如:用表 1 表示的映射
f : A3 ? A3 是一个“优映射” 。

? ax, x ? 0 19、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? ? ,满足对任 ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0

意 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围。 x1 ? x 2

(1)已知表 2 表示的映射 f : A4 ? A4 是一个优映射,请把表 2 补充 完整(只需填出一个满足条件的映射) ; (2)若映射 f : A10 ? A10 是“优映射” ,且方程 f (i ) ? i 的解恰有 6 个, 求这样的“优映射”的个数。

i
f (i )

1 2 表1

2 3

3 1

i
f (i )

1

2 3

3

4

20、在△ABC 中,BC=2,AB+AC=3,中线 AD 的长为 y,AB 的长为 x, 建立 y 与 x 的函数关系式,并指出其定义域。

表2

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? cx ? 1, (0 ? x ? c) 9 ? 21、已知函数 f ( x) ? ? ? x2 满足 f (c 2 ) ? , 8 ?2 c ? 1, (c ? x ? 1) ? (1)求常数 c 的值;
2 (2)解不等式 f ( x) ? ? 1. 8

22、某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件 产品需向总公司交 a 元( 3 ? a ? 5 )的管理费。预计当每件产品的售 价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 2 万件。 (1)求分公司一年的利润 L 万元) ( 与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求 出 L 的最大值 Q(a) .

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