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高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题[1]

时间:2017-03-24


选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题:(每小题有且只有一个答案正确,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列结论中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f ' (

x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 2. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( A.1 B. 2 C.-1 ) D.0 )

3. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) 与 g ( x) 满足 f ?( x) ? g ?( x) ,则 f ( x) 与 g ( x) 满足( A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) D.-4 ) C. f ( x ) ? g ( x ) ? 0

D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

4.函数 y ? x 3 ? 3x 在[-1,2]上的最小值为( A.2 B.-2 C.0

5.设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为( y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1
3 2

A

B ) D.0

C

D

6.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是( A.3 B.2 C.1

7.曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是 ( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0



3? ) 与坐标轴围成的面积是( ) 2 5 A.4 B. C.3 D.2 2 x 2 9.设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2x ? mx ? 1 在 (0,??) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是 q 的(
8.曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 10.设曲线 y ? x A.
n ?1



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为(
B.

1 n

1 n ?1

C.

n n ?1

D. 1

二、填空题:(每小题 5 分,共 25 分)

11.若 f ( x) ? e

?

1 x

,则 lim
t ?0

f (1 ? 2t ) ? f (1) ? t


___________.

12.

?

2

0

(3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?

?

8

3

?1

xdx ? _________________.
.

13.由曲线 y ? x2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积为 14. 已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图象如图所示, 则不等式 ( x2 ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的 解集 .

15.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实 数 x ,有 f ( x) ≥ 0 ,则 三、解答题:(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? 11 (1)写出函数 f ( x ) 的递减区间; (2)讨论函数 f ( x ) 的极大值或极小值,如有试写出极值; 17. (本小题满分 12 分)
x 当 x ? 0 时 ,证明不等式 e ? 1 ? x ?

f (1) 最小值为 f ?(0)

.

1 2 x 成立. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3
3 2

在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值. 19. (本小题满分 12 分) 如图所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积。 (1)求 V(x)的表达式; P _ (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? 20. (本小题满分 13 分) 定 义 在 定 义 域 D 内 的 函 数 y ? f ( x) , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? D 都 有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 , 则称函数 y

? f ( x) 为 “妈祖函数” , 否则称 “非妈祖函数” . _ A 3 试问函数 f ( x) ? x ? x ? a( x ? [?1,1] , a ? R )是否为 “妈祖函数” ?如果是,
请给出证明;如果不是,请说明理由.
x 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R (Ⅰ)若 k ? e ,试确定

E D _ _ B _ C _ F _

函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n ?1 ? (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e ? 2) 2 (n ? N ) . n

选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题 答案:
1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. C9. B10. B

45 13. 1 14. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??) 15. 2 4 16. 解:令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 , x1 ? 3 , x 变化时, f ' ( x) 的符号变化情况及 f ( x ) 的增减性如下表所示: (??,?1) (3,??) (?1,3) -1 3 x f ' ( x) + 0 0 + 极大值 f (?1) 极小值 f (3) f ( x) 增 减 增 (1)由表可得函数的递减区间为 (?1,3) (2)由表可得,当 x ? ?1 时,函数有极大值 f (?1) ? 16 ;当 x ? 3 时,函数有极小值 f (3) ? ?16 . 1 2 x 17. 证明:设 f ? x ? ? e ? 1 ? x ? x , 则 f ' ?x ? ? e x ? 1 ? x , 2 x 令 g ( x) ? e ? 1 ? x, 则 g ' ( x) ? e x ? 1 , 当 x ? 0 时, g ' ?x ? ? e x ? 1 ? 0 , ∴ g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,而 g (0) ? 0 , ∴ g ?x ? ? g (0) ? 0, g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 f ' ( x) ? 0 在 ?0,??? 恒成立. ∴ f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增, 1 2 1 2 x x 又 f (0) ? 0, ∴ e ? 1 ? x ? x ? 0, 即 x ? 0 时, e ? 1 ? x ? x 成立. 2 2
11. ?

2 e

12. 1;

18.

解: ? f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? f ' (?2) ? 3(?2) 2 ? 2a(?2) ? b ? 0 ?12 ? 4a ? b ? 0 又f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3? a ? 1, b ? ?8 又f ( x)过(1, 0)点,?13 ? a ?12 ? b ?1 ? c ? 0 ?c ? 6
19. 解: (1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC,
S?ABC ? 9 6 , S ?BEF ?
x 6 2 ? S ?BDC ? x 54 12
2

P _

A _ C _

E D _ _ B _ F _

V(x)=

6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) 3 12 6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时,v '( x) ? 0 ,V(x)单调递增;6 ? x ? 3 6 时 v '( x) ? 0 ,V(x)单调递减; 3 4

(2)V '( x) ?

因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ; 20. 解:因为 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f max ? f min | ,

函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R]导数是f ?( x) ? 3x 2 ? 1?(3分)
3 3 3 .当0 ? x ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0, 3 3 3 2 3 2 3 故f ( x)在x ? [0,1]内的极小值是 a? ; (4分),同理, f ( x)在[?1,0]内的极大值是 a? ; (2分) 9 9 因为f (1) ? f (?1) ? a, 所以函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R)的最大值是 当3x 2 ? 1 ? 0时,即x ? ? 2 3 2 3 4 2 , 最小值是a ? , 故 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| f max ? f min |? ? 1,? (2分) 9 9 9 所以函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R) 是“妈祖函数”.(2 分) a?
21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类 讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.
x x 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是

(1 , ? ?) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) .
(Ⅱ) 由 f (? x) ? f (x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成

立.由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符 合题意. ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

?1 ? k ? e . 由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅲ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ?? F ( n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得, [ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n 故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

? 2) 2 ,n ? N? .

n


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