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【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像 新人教A版必修4


§5

正弦函数的性质与图像 正弦函数的图像

5 .1

1.问题导航 (1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么? π π (2)利用“五点法”作 y=sin x 的图像时,x 依次取-π ,- ,0, ,π 可以吗? 2 2 (3)作正弦函数图像时应注意哪些问题? 2.例题导读 P27 例 1.通过本例学习,学会

用五点法画函数 y=asin x+b 在[0,2π ]上的简图. 试一试:教材 P28 练习题你会吗? 1.正弦函数的图像与五点法 (1)图像:正弦函数 y=sin x 的图像叫作正弦曲线,如图所示.

(2)五点法: 在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与 x 轴的交点和 ?π ? ?3π ,-1?,(2π ,0),用 函数取最大值、最小值时的点):(0,0),? ,1?,(π ,0),? ? ?2 ? ? 2 ? 光滑的曲线顺次将它们连接起来,得到函数 y=sin x 在[0,2π ]上的简图,这种画正弦曲 线的方法为“五点法”. (3)利用五点法作函数 y=Asin x(A>0)的图像时,选取的五个关键点依次是: ?π ? ?3 ? (0,0),? ,A?,(π ,0),? π ,-A?,(2π ,0). ?2 ? ?2 ? 2.正弦曲线的简单变换 函数 y=sin x 与 y=sin x+k 图像间的关系. 当 k>0 时,把 y=sin x 的图像向上平移 k 个单位长度得到函数 y=sin x+k 的图像; 当 k<0 时,把 y=sin x 的图像向下平移|k|个单位长度得到函数 y=sin x+k 的图像. 1.判断正误.(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)函数 y=sin x 的图像与 y 轴只有一个交点.( ) (2)函数 y=sin x 的图像介于直线 y=1 与 y=-1 之间.( ) (3)用五点法作函数 y=-2sin x 在[0,2π ]上的图像时,应选取的五个点是(0,0), ?π ,-2?,(π ,0),?3π ,2?,(2π ,0).( ) ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? (4)将函数 y=sin x,x∈[-π ,π ]位于 x 轴上方的图像保持不变,把 x 轴下方的图 像沿 x 轴翻折到 x 轴上方即可得到函数 y=|sin x|,x∈[-π ,π ]的图像.( ) 解析:(1)正确.观察正弦函数的图像知 y=sin x 的图像与 y 轴只有一个交点.
1

(2)正确.观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线 y=1 与 y=-1 之间. (3)正确.在函数 y=-2sin x,x∈[0,2π ]的图像上起关键作用的五个点是(0,0), π ? ,-2?,(π ,0),?3π ,2?,(2π ,0). ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ?sin x,sin x≥0, ? (4)正确.当 x∈[-π ,π ]时,y=|sin x|=? 于是,将函数 y= ? ?-sin x,sin x<0, sin x,x∈[-π ,π ]位于 x 轴上方的图像保持不变,把 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方即 可得函数 y=|sin x|,x∈[-π ,π ]的图像. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.用五点法画 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像时,下列点不是关键点的是( ) π 1 π ? ? ? ? A.? , ? B.? ,1? ? 6 2? ?2 ? C.(π ,0) D.(2π ,0) ?π ? 解析:选 A.用五点法画 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像,五个关键点是(0,0),? ,1?, ?2 ? 3 ? ? (π ,0),? π ,-1?,(2π ,0). ?2 ? 3. 用五点法画 y=sin x, x∈[0, 2π ]的简图时, 所描的五个点的横坐标的和是________. π 3π 解析:0+ +π + +2π =5π . 2 2 答案:5π 4.(1)正弦曲线在(0,2π ]内最高点坐标为________,最低点坐标为________. (2)在同一坐标系中函数 y=sin x,x∈(0,2π ]与 y=sin x,x∈(2π ,4π ]的图像形 状________,位置________.(填“相同”或“不同”) ?π ? 最低点为?3π ,-1?. 解析: (1)由正弦曲线知, 正弦曲线在(0, 2π ]内最高点为? ,1?, ? 2 ? ?2 ? ? ? (2)在同一坐标系中函数 y=sin x,x∈(0,2π ]与 y=sin x,x∈(2π ,4π ]的图像, 形状相同,位置不同. ?π ? ?3π ? 答案:(1)? ,1? ? ,-1? 2 ? ? ? 2 ? (2)相同 不同 1.y=sin x,x∈[0,2π ]与 y=sin x,x∈R 的图像间的关系 (1)函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像是函数 y=sin x,x∈R 的图像的一部分. (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y=sin x,x∈[2kπ ,2(k+1) π ],k∈Z 且 k≠0 的图像与函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像形状完全一致,因此将 y= sin x,x∈[0,2π ]的图像向左、向右平行移动(每次移动 2π 个单位长度)就可得到函数 y =sin x,x∈R 的图像. 2. “几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点 (1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图,这样作图较精确,但较为烦琐. (2)“五点法”的实质是在函数 y=sin x 的一个周期内,选取 5 个分点,也是函数图像 上的 5 个关键点:最高点、最低点及平衡点,这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形 状. (3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法,在要求精确度不高的情况下常用此法, 要切实掌握好.另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中. 3.关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高. (2)五个点必须是确定的五点. (3)用光滑的曲线顺次连接时,要注意线的走向,一般在最高(低)点的附近要平滑,不
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要出现“拐角”现象. (4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像,要得到整个正弦函数图像,还要 “平移”.

用五点法作正弦型函数的图像

用五点法画函数 y=2sin x-1,x∈[0,2π ]的简图. (链接教材 P27 例 1) [解] 步骤:①列表: π 3π x 0 π 2π 2 2 sin x 0 1 0 -1 0 y -1 1 -1 -3 -1 ②描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点: ?π ? ? 3π ? (0,-1),? ,1?,(π ,-1),? ,-3?,(2π ,-1). ?2 ? ? 2 ? ③连线:用光滑曲线将描出的五个点连接起来,得函数 y=2sin x-1,x∈[0,2π ]的 简图,如图所示.

方法归纳 作形如函数 y=asin x+b,x∈[0,2π ]的图像的步骤

1.(1)函数 f(x)=asin x+b,(x∈[0,2π ])的图像如图所示,则 f(x)的解析式为( ) 1 A.f(x)= sin x+1,x∈[0,2π ] 2 1 B.f(x)=sin x+ ,x∈[0,2π ] 2
3

3 C.f(x)= sin x+1,x∈[0,2π ] 2 3 1 D.f(x)= sin x+ ,x∈[0,2π ] 2 2 (2)用五点法作出下列函数的简图. ①y=2sin x,x∈[0,2π ]; ②y=2-sin x,x∈[0,2π ]. 解:(1)选 A.将图像中的特殊点代入 f(x)=asin x+b,x∈[0,2π ],不妨将(0,1) asin 0+b=1, ? ? π 1 ? ? 与? ,1.5?代入得? 解得 b=1,a=0.5,故 f(x)= sin x+1,x∈[0,2 π 2 ?2 ? asin +b=1.5, ? 2 ? π ]. (2)①列表: π 3π x 0 π 2π 2 2 y=sin x 0 1 0 -1 0 y=2sin x 0 2 0 -2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

②列表: π 2 y=sin x 0 1 y=2-sin x 2 1 描点并将它们用光滑的曲线连接,如图:

x

0

π 0 2

3π 2 -1 3

2π 0 2

利用正弦函数的图像求函数的定义域

求函数 f(x)=lg (sin x)+ 16-x 的定义域. (链接教材 P30 习题 1-5 A 组 T4) ? ?sin x>0, [解] 由题意,x 满足不等式组? 2 ?16-x ≥0, ? ?-4≤x≤4, ? 即? 作出 y=sin x 的图像,如图所示. ? ?sin x>0,

2

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结合图像可得:该函数的定义域为[-4,-π )∪(0,π ). 方法归纳 一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到,同时要注意区间端点的取 舍.有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集,再推广到一般情况.

1 log2 -1的定义域. sin x 1 ? ?log2 -1≥0, 1 sin x 解:为使函数有意义,需? ?0<sin x≤ . 2 ? ?sin x>0 2.求函数 y=

根据正弦曲线得,函数定义域为 ?2kπ ,2kπ +π ?∪?2kπ +5π ,2kπ +π ?,k∈Z. ? ? ? ? 6? ? 6 ? ?

利用正弦函数的图像确定方程解的个数

在同一坐标系中,作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图像,根据图像判断出方程 sin

x=lg x 的解的个数.
(链接教材 P30 习题 1-5 A 组 T1(1)) [解] 建立坐标系 xOy,先用五点法画出函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像,再依次 向右连续平移 2π 个单位,得到 y=sin x 的图像. 作出 y=lg x 的图像,如图所示.

由图像可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个. 若本例中的函数 y=lg x 换为 y=x ,则结果如何? 2 解:在同一直角坐标系中画出函数 y=x 和 y=sin x 的图像,如图所示.
2

由图知函数 y=x 和 y=sin x 和图像有两个交点,则方程 x -sin x=0 有两个根. 方法归纳 方程根(或个数)的两种判断方法 (1)代数法:直接求出方程的根,得到根的个数. (2)几何法:①方程两边直接作差构造一个函数,作出函数的图像,利用对应函数的图 像,观察与 x 轴的交点个数,有几个交点原方程就有几个根.
5

2

2

②转化为两个函数,分别作这两个函数的图像,观察交点个数,有几个交点原方程就有 几个根.

3.(1)函数 y=2sin x 与函数 y=x 的图像的交点有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 (2)研究方程 10sin x=x(x∈R)根的个数. 解:(1)选 B.在同一直角坐标系中作出函数 y=2sin x 与 y=x 的图像,由图像可以看 出有 3 个交点.

x 4π 5 5 x (2)如图所示,当 x≥4π 时, ≥ >1≥sin x;当 x= π 时,sin x=sin π =1, 10 10 2 2 10 5π 5π = ,1> ,从而 x>0 时,有 3 个交点,由对称性知 x<0 时,有 3 个交点,加上 x=0 时 20 20 的交点为原点,共有 7 个交点.即方程有 7 个根.

思想方法

数形结合思想的应用

求满足下列条件的角的范围. 1 2 (1)sin x≥ ;(2)sin x≤- . 2 2 [解] (1)利用“五点法”作出 y=sin x 的简图,过点 ?0,1?作 x 轴的平行线,在[0,2π ]上,直线 y=1与正弦曲 ? 2? 2 ? ? ?π 1? ?5π ,1?两点.结合图形可知,在[0,2π ] 线交于? , ?,? ? ? 6 2? ? 6 2? ? ?π 5π ? 1 1 内,满足 y≥ 时 x 的集合为?x? ≤x≤ ?.因此,当 x∈R 时,若 y≥ ,则 x 的集合为 6 ? 2 2 ? ?6 ? ? ? π 5 ?x?2kπ + ≤x≤2kπ + π ,k∈Z?. 6 6 ? ? ? ? ?5π ? 7 2 (2)同理,满足 sin x≤- 的角的集合为?x? +2kπ ≤x≤ π +2kπ ,k∈Z?. 4 4 2 ? ? ? [感悟提高] 形如 sin x>a(<a)的不等式,求角 x 的范围,一般采用数形结合的思想来 解题,具体步骤: (1)画出 y=sin x 的图像,画直线 y=a. (2)若解 sin x>a,则观察 y=sin x 在直线 y=a 上方的图像.这部分图像对应的 x 的
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范围,就是所求的范围. 若解 sin x<a,则观察 y=sin x 在直线 y=a 下方的图像.这部分图像对应的 x 的范围, 就是所求的范围. 1.函数 y=1-sin x,x∈[0,2π ]的大致图像是( )

解析:选 B.利用五点法画图,函数 y=1-sin x,x∈[0,2π ]的图像一定过点(0,1), ?π ,0?,(π ,1),?3π ,2?,(2π ,1),故 B 项正确. ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? π ? ? 2.已知点 M? ,b?在函数 f(x)= 2sin x+1 的图像上,则 b=________. ?4 ? π π ? ? 解析:b=f? ?= 2sin +1=2. 4 4 ? ? 答案:2 ?π ? 3.若函数 f(x)=2sin x-1-a 在? ,π ? 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ?3 ? ________. 解析:令 f(x)=0 得 2sin x=1+a. ?π ? 作出 y=2sin x 在 x∈? ,π ?上的图像,如图所示. ?3 ?

?π ? 要使函数 f(x)在? ,π ?上有两个零点,需满足 3≤1+a<2,所以 3-1≤a<1. ?3 ?
答案:[ 3-1,1)

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1.关于正弦函数 y=sin x 的图像,下列说法错误的是( A.关于原点对称 B.有最大值 1 C.与 y 轴有一个交点 D.关于 y 轴对称 )

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解析:选 D.正弦函数 y=sin x 的图像如图所示.

根据 y=sin x,x∈R 的图像可知 A,B,C 均正确,D 错误. 2.函数 y=sin x 的图像与函数 y=-sin x 的图像关于( ) A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称 解析:选 A.在同一直角坐标系中画出函数 y=sin x 与函数 y=-sin x 在[0,2π ]上 的图像,可知两函数的图像关于 x 轴对称.

3.下列函数图像相同的是( ) A.y=sin x 与 y=sin(x+π ) ? π? ?π ? B.y=sin?x- ?与 y=sin? -x? 2? ? ?2 ? C.y=sin x 与 y=sin(-x) D.y=sin(2π +x)与 y=sin x 解析:选 D.对 A,由于 y=sin(x+π )=-sin x,故排除 A;对 B,由于 y=sin?

?π -x? ? ?2 ?

? π? =-sin?x- ?,故排除 B;对 C,由于 y=sin(-x)=-sin x,故排除 C;对 D,由于 y 2? ? =sin(2π +x)=sin x,故选 D. π 3π ? 4.函数 y=-sin x,x∈? ) ?- 2 , 2 ?的简图是( ? ?

π ? π? 解析:选 D.当 x=- 时,y=-sin?- ?=1,故排除 A、B、C,选 D. 2 ? 2? 5.函数 y=xsin x 的部分图像是( )

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解析:选 A.函数 y=xsin x 的定义域为 R,令 f(x)=xsin x,则 f(-x)=(-x)sin(- ? π? x)=xsin x=f(x),知 f(x)为偶函数,排除 B、D;当 x∈?0, ?时,f(x)>0,故排除 C, 2? ? 故选 A. 2 6.在[0,2π ]上,满足 sin x≥ 的 x 的取值范围为________. 2 解析:在同一直角坐标系内作出 y=sin x 和 y= 2 的图像如图,观察图像并求出交点 2

?π 3 ? 横坐标,可得到 x 的取值范围为? , π ?. ?4 4 ?

答案:?

?π ,3π ? ? ?4 4 ?

x 的图像交点个数是________. 2π 解析:在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示: 7.函数 y=sin x 的图像和 y=

由图可知交点个数是 3. 答案:3 8.已知 sin x=m-1 且 x∈R,则 m 的取值范围是________. 解析:由 y=sin x,x∈R 的图像知,-1≤sin x≤1, 即-1≤m-1≤1,所以 0≤m≤2. 答案:0≤m≤2 9.用“五点法”画出函数 y=3-sin x(x∈[0,2π ])的图像. 解:(1)列表,如表所示: π 3 x 0 π 2π π 2 2 y=sin x 0 1 0 -1 0 y=3-sin x 3 2 3 4 3 (2)描点,连线,如图所示.

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10.若函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图像与直线 y=k 有且只有两个不 同的交点,求 k 的取值范围. ? ?3sin x,0≤x≤π , 解:f(x)=? 作出函数的图像如图: ?-sin x,π <x≤2π , ?

由图可知当 1<k<3 时函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图像与直线 y=k 有 且只有两个不同的交点. [B.能力提升]

?π 2π ? 1.若 y=sin x,x∈? , ?,则函数的值域为( 3 ? ?4
A.?

)

? 2 ? ,1? ?2 ?

B.?

? 2 ? ,1? ?2 ?
D.[1,2]

C.(1,2]

? 2 ? ? π 2π ? 解析:选 B.画出函数 y=sin x,x∈? , ?的图像如图所示,可知 y∈? ,1?. 4 3 ? ? ?2 ?

2.设 a>0,对于函数 f(x)=

sin x+a (0<x<π ),下列结论正确的是( sin x

)

A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值也无最小值 sin x+a a 解析:选 B.f(x)= =1+ . sin x sin x 1 因为 0<x<π ,所以 0<sin x≤1.所以 ≥1. sin x 所以 1+ ≥a+1. sin x 所以 f(x)有最小值而无最大值. 故选 B. ? π? ?1? 3.已知 f(sin x)=x 且 x∈?0, ?,则 f? ?=________. 2 ? ? ?2?

a

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1 π ? π? 解析:因为 x∈?0, ?,所以 sin x= 时,x= , 2? 2 6 ? 1 π π ? ? ? ? 所以 f? ?=f?sin ?= . 6? 6 ?2? ? π 答案: 6 4.若 x 是三角形的最小角,则 y=sin x 的值域是________. 解析:

不妨设△ABC 中,0<A≤B≤C, 得 0<A≤B,且 0<A≤C, 所以 0<3A≤A+B+C,而 A+B+C=π , π 所以 0<3A≤π ,即 0<A≤ . 3 π 若 x 为三角形中的最小角,则 0<x≤ , 3 由 y=sin x 图像知 y∈?0, 答案:?0,

? ?

3? ?. 2?

3? ? 2? 5.用“五点法”作出函数 y=1-2sin x,x∈[-π ,π ]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图像,写出满足下列条件的 x 的区间. ①y>1;②y<1. (2)若直线 y=a 与 y=1-2sin x,x∈[-π ,π ]有两个交点,求 a 的取值范围. 解:列表如下: π π x -π 0 π - 2 2 sin x 0 -1 0 1 0 1-2sin x 1 3 1 -1 1 描点连线得:

? ?

(1)由图像可知图像在 y=1 上方部分时 y>1,在 y=1 下方部分时 y<1, 所以当 x∈(-π ,0)时,y>1;当 x∈(0,π )时,y<1. (2)如图所示,当直线 y=a 与 y=1-2sin x 有两个交点时,1<a<3 或-1<a<1. 所以 a 的取值范围是{a|1<a<3 或-1<a<1}. ? 1 1? 6.(选做题)已知函数 y=f(x)为奇函数,且是?- , ?上的减函数,f(1-sin α )+ ? 2 2? f(1-sin2α )<0,求 α 的取值范围. 2 解:由题意可知 f(1-sin α )<-f(1-sin α ). 因为 f(x)是奇函数, 2 2 所以-f(1-sin α )=f(sin α -1), 2 所以 f(1-sin α )<f(sin α -1).
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? 1 1? 又由 f(x)是?- , ?上的减函数, ? 2 2? 1 1 - <1-sin α < , 2 2
2

? ? ? ? 1 3 所以? 1 所以?1 - <sin α -1< , <sin α < , 2 2 2 2 ? ? ?1-sin α >sin α -1, ?sin α +sin α -2<0,
1 3 <sin α < , 2 2
2 2 2

2 <sin α <1, 2 π π π 3π 所以 2kπ + <α <2kπ + (k∈Z)或 2kπ + <α <2kπ + (k∈Z), 4 2 2 4 π π π 3π ? ? ? ? 所以 α 的取值范围为?2kπ + ,2kπ + ?∪?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 2? ? 2 4 ? ? 解得

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