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上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编5:数列 Word版含答案


上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 5:数列
一、填空题 1 .( 上 海 市 闸 北 区 2013 届 高 三 第 二 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 文 ) 试 卷 ) 设

0 ?? ?

?
2

, a1 ? 2 cos? , an?1 ?

>2 ? an ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? _______.

2 . (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试题)如图,对正方形

纸片 ABCD 进行如下操作:第一步,过点 D 任作一条直线与 BC 边相交于点 E1 , 记 ?CDE1 ? ?1 ;第二步,作 ?ADE1 的平分线交 AB 边于点 E2 ,记 ?ADE2 ? ?2 ;第三 步,作 ?CDE2 的平分线交 BC 边于点 E3 ,记 ?CDE3 ? ?3 ;按此作法从第二步起重复以上步骤,得到

?1 , ?2 ,?, ?n ,?,则用 ? n 和 ?n?1 表示的递推关系式是 ?n?1 ? ____________.
B A B E2 A B E2 A

E1

E1

E3

?2 ?1 ?3
D C 第三步 D 第二步

?1
C 第一步 D C

第14题图

3 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)若 ai , j 表示 n ? n 阶

?1 1 1 1 ? ?2 3 4 5 矩阵 ? 3 5 8 ? ?? ? ? ? ?n ? ? ? ?

? ? ? ? ?

1 ? ? ? ? ? ? 中第 i 行、 j 列的元素,其中第1 行的元素均为1 ,第 第 ? ? ? a n ,n ? ?

1 列 的 元 素 为 1,2,3,?, n , 且 ai ?1, j ?1 ? ai?1, j ? ai, j ( i 、 j ? 1,2,3,?, n ? 1 ), 则

lim
n ??

a 3, n n2

? ____________.

4 (上海市浦东区 2013 年高考二模数学 . (文) 试题 ) 数列 {a n } 满足 a n ?1

?

4a n ? 2 ? ( n ? N ). an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {a n } 是常数数列; ②“数列 {a n } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {a n } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ;

3k ? 2k ?1 ? ④只要 a1 ? k ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; k n ?? 3 ?2
其中正确命题的序号为__________.
5 . (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题)公差为 d ,各项均为正整数

的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 65 ,则 n ? d 的最小值等于_________________.
6 . (上海市黄浦区 2013 年 4 月高考(二模)模拟考试数学(文)试题)等差数列 {an } 的前 10

项和为 30 ,则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? _____.
7 . (上海市虹口区 2013 届高三(二模)数学(文)试卷)设 an

? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) ,

称 a1a2 a3 ?ak 为整数的 k 为“希望数”,则在 (1, _____________.

2013 内所有“希望数”的个数为 )

8 . (上海市虹口区 2013 届高三(二模)数学(文)试卷)数列

?an ?的通项 an ? n ? sin n?
2

,

前 n 项和为 S n ,则 S13 ? ____________.
9 (上海市奉贤区 2013 届高考二模数学 . (文) 试题 ) 设正项数列

?an ?的前 n 项和是 S n ,若 ?an ?

和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则 a1 ? d ? ________
10. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(文)试题)(文)设数列 ?a n ? 是公差不为零的

等差数列, a1 ? 2, a3 ? 6 ,若自然数 n1 , n 2 ,...n k ,... 满足 3 ? n1 ? n 2 ? ... ? n k ? ... ,且

a1 , a3 , a n1 ...a nk ,... 是等比数列,则 nk =_______________.
二、解答题 11. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(文)试卷)本题满分 16 分,第 1 小题满

分 8 分,第 2 小题满分 8 分

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn , bn ? an ? n ? 2n?1 .
?

n

其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

(1)当 b ? 2 时,求 {bn } 的通项公式,进而求出 ?an ? 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的通项 an 以及前 n 项和 Sn .
12. (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试题)本题共有 3 个

小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? (n ? N * ) 的前 n 项和为 Sn ,数列 ? 列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 元素排成 一个递增的等差数列,其公差为 dk ,求 dk ; (3)对(2)题中的 dk ,设 A(1,5d1 ) , B(2,5d2 ) ,动点 M , N 满足 MN ? AB ,点 N 的轨迹 是 函 数 y ? g ( x) 的 图 像 , 其 中 g ( x) 是 以 3 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 当 x ? ? 0, 3 时 , ?

1 ? Sn ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数 2 ?n?

4 a ? ? ?2 ? n (n ? N * ) ,对任意的正整数 k ,将集合 ?b2k ?1, b2k , b2k ?1? 中的三个 15

???? ?

??? ?

g ( x) ? lg x ,动点 M 的轨迹是函数 f ( x) 的图像,求 f ( x) .

13. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)本大题共有 3 小

题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 对于任意的 n ? N ,若数列 {an } 同时满足下列两个条件,则称数列 {an } 具有“性质
*

m ”: a ? an ? 2 ? a n ?1 ; ① n 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {an } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin 具 有“性质 m ”;

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ),判断 {an } 、 {bn } 是否 6

(2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,且 c3 ?

1 7 , S 3 ? ,求证:数列 4 4

{S n } 具有“性质 m ”;
t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * (3)数列 {dn } 的 通项公式 d n ? ( n ? N ).对于 任意 n ? [3, 100] 且 n 2
n ? N * ,数列 {dn } 具有“性质 m ”,求实数 t 的取值范围.

14. (上海市浦东区 2013 年高考二模数学(文)试题 )本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4

分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们 的和为 2013 ,求的最小值. (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大 排成一列 S1 , S 2 , S3 ,?, S n ,求 Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n S n ( n ? N ).
?

c a (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明:数 ? ? ? ? ?a? ? c?


n

n

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.

?

15. (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题)本题共有 3 个小题,第(1)小

题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y 2 ? x 于 P 点,过 P 点作倾斜角为 1 1
?

120? 的直线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P2 点;过 P2 点作倾斜角为 60? 的直线交 x 轴于 Q2 点,
交 ? 于 P 点;过 P 点作倾斜角为 120 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P 点;如此下去. 3 3 4
?

又设线段 OQ1 ,1Q2,Q2Q3 , ,Qn?1Qn, 的长分别为 a1 , a2 , a3 ,L , an ,L ,数列 ?an ? Q L L 的前 n 项的和为 Sn . (1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , Sn ;
a (3)设 bn ? a n (a ? 0且a ? 1) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若正整数 p, q, r , s 成等差数

列,且 p ? q ? r ? s ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小. y P1 x O Q1 P2 P4 解: Q2 Q3 P3

16. (上海市静安、杨浦、青浦、宝山区 2013 届高三 4 月高考模拟数学(文)试题)本题共有 3

小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , na n ?1 ? S n ? 项

n(n ? 1) .从 {an } 中抽出部分 3

ak1 , ak2 ,?, akn ,? , (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a kn } 是等比数列,设该等比
数列的公比为 q , 其中 k1 ? 1, n ? N * . (1)求 a2 的值; (2)当 q 取最小时,求 {k n } 的通项公式; (3)求 k1 ? k 2 ? ? ? k n 的值.

17. (上海市黄浦区 2013 年 4 月高考(二模)模拟考试数学(文)试题)本题共有 3 个小题,

第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n,当 an 为偶数 时, an?1 ?

an ; 2 an ? 1 . 2

当 an 为奇数时, an?1 ?

(1)若 a1 ? 64 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (3)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m?N),数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2m?1 ? m ? 5 .

黄浦区 2013 年高考模拟考数学试
18. (上海市虹口区 2013 届高三(二模)数学(文)试卷) 已知复数 z n

? an ? bn ? i ,其中

a n ? R , bn ? R , n ? N ? , i 是虚数单位,且 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求和:① z1 ? z 2 ? ? ? z n ;② a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn .

19. (上海市奉贤区 2013 届高考二模数学(文)试题 )已知数列 {an } 对任意的 n ? 2, n ? N *

满足: an?1 ? an ?1 ? 2an ,则称 {an } 为“Z 数列”. (1)求证:任何的等差数列不可能是“Z 数列”; (2)若正数列 ?bn ? 数列 ?lg bn ? 是“Z 数列”,数列 ?bn ? 是否可能是等比数列,说明理由, , 构造一个数列 ?cn ? ,使得 ?cn ? 是“Z 数列”; (3)若数列 {an } 是“Z 数列”,设 s, t , m ? N , 且s ? t , 求证 at ?m ? as ?m ? at ? as .
*

20. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(文)试题)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4

分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) (文)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2) 在 a n 与 a n ?1 之 间 插 入 n 个 数 , 使 这 n ? 2 个 数 组 成 等 差 数 列 , 当 公 差 d 满 足

3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;
(3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log
2

m) ( n ? N * ),问是否存在正实数 m ,使得

数列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 5:数列参考答案 一、填空题

? 2 n ?1 ? ? 2? n 2. 4 1 3. 2
1.

2 cos

4. 5. 6. 7. 8. 9.

①④. 17 ; 12; 9; 7;

3 4
k ?1

10. (文) 3

二、解答题 11.解:由题意知 a1

? 2 ,且

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(1)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n
n ?1 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2

n

n

n

?

?

n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

?

?

故知, bn ? 2 n?1 , 再由 bn ? an ? n ? 2 n?1 ,得 an ? ? n ?1? 2 (2)当 b ? 2 时,由①得
n?1

.

an ?1 ?

1 1 b 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?

若 b ? 0 , an ? ?

?2, n ? 1,
n ?1 ? 2 , n ? 2.

, Sn ? 2n

若 b ? 1 , an ? 2 n , S n ? 2 n?1 ? 2

1 若 b ? 0、,数列 ?a n ?

? ?

2(1 ? b) 1 ? 为首项,以 b 为公比的等比数列,故 ? 2 n ? 是以 2?b 2?b ?

an ?

1 2(1 ? b) n ?1 ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 an ? 2 n ? ?2 ? 2b ?b n ?1 2?b 1 2(1 ? b) Sn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?1 2?b 2?b

?

?

?

?

?

?

Sn ?

2(2n ? b n ) 2?b

b ? 1 时, Sn ? 2n?1 ? 2 符合上式
所以,当 b ? 0 时, Sn ?

2(2n ? b n ) 2?b

12.本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分.

解: (1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) n 2 2

所以 an ? n ?1(n ? N * )

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) , 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2)2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 所以 b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k 15 15
(2) 由(1)可知 bn ? 由 2b2k ?1 ? b2 k ? b2 k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? 15 15 5

(3)由(2)得 A(1, 4), B(2,16) ,即 MN ? AB ? (1,12) 当 3m ? x ? 3(m ? 1) (m ? Z ) 时, 0 ? x ? 3m ? 3 , 由 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数得, g ( x) ? g ( x ? 3m) ? lg( x ? 3m) , 即 g ( x) ? lg( x ? 3m) (3m ? x ? 3m ? 3 (m ? Z ))

???? ?

??? ?

设 M ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的任意点,并设点 N 的坐标为 ( xN , yN ) , 则?

? xN ? x ? 1 ? y N ? y ? 12

而 yN ? lg( xN ? 3m) (3m ? xN ? 3m ? 3(m ? Z )) , 于是, y ? 12 ? lg( x ? 1 ? 3m) (3m ? x ? 1 ? 3m ? 3(m ? Z )) , 所以, f ( x) ? lg( x ? 1 ? 3m) ? 12 (3m ? 1 ? x ? 3m ? 2 (m ? Z ))

13.解:(1)在数列 {an } 中,取 n ? 1 ,则

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①,所以数列 {an } 不具 2

有“ m 性质”; 在 数 列 {bn } 中 , b1 ? 1 , b2 ? 3 , b3 ? 2 , b4 ? 3 , b5 ? 1 , 则

b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 ,所以满
足条件①; bn ? 2 sin

n? ? 2 ( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn} 具有“性质 6
1 4

m”
(2)由于数列 {cn } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 ,将 c 3 ? 代入 S 3 ?

c3 c3 7 ? ? c3 ? 得, 2 q 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去) 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 2 2

6q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ?

对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

所以数列 {S n } 满足条件①和②,所以数列 {S n } 具有“ m 性质” (3)由于 d n ? 3t ?

tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? n n ?1 2 2 2 n?2
*

由于任意 n ? [3, 100] 且 n ? N ,数列 {dn } 具有“性质 m ”,所以 d n ? d n?2 ? 2d n?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 ? ? 2? ,化简得, t (n ? 2) ? 1 , n n?2 2 2 2 n ?1 1 * 即t ? 对于任意 n ? [3, 100] 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ① n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 d n ?1 ? d n ? n ? = 由于 n ? [3, 100] 及①,所以 d n?1 ? d n 2 2 n ?1 2 n ?1
即 即 n ? [3, 100] 时 , 数 列 {dn } 是 单 调 递 增 数 列 , 所 以 {dn } 最 大 项 的 值 为

d100 ? 3t ?

100 t ? 1 2100

满则条件②只需 3t ? 所以 t ? 1 即可

100 t ? 1 ? M 即可,所以这样的 M 存在② 2100

14.解:(1)

?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 ,的最小值为 2 ; (2)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d ) 2 ? (a ? 2d ) 2 , ? a ? 3d 设三角形的三边长为 3d , 4d ,5d , 面积 S d ?

1 2 ? 3d ? 4d ? 6d 2 (d ? Z ) , S n ? 6n , 2

当 n 为偶数时, Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ? 6(?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n 2 )

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n) ? 3n 2 ? 3n ;
当 n 为奇数时, Tn ? Tn ?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 6n 2 ? ?3n 2 ? 3n ; 综上, Tn ? (?1) n (3n 2 ? 3n) (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac
2

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 , ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? a? ? c? ? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ?

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2
Xn

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 , 则有

?

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?

2

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形

?

15.

[解] (1)如图,由 ?OQ1P 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P 的坐标为 ( 1 1

a1 3a1 , ) ,又 2 2

2 3a12 a1 a1 3a1 2 ? ,得 a1 ? ) 在抛物线 y ? x 上,所以 P1 ( , 3 4 2 2 2
同理 P ( ? 2

2 3

4 a2 3a2 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 3 2 2
1: 点 Qn?1 的 坐 标 为 (a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ,0) , 即 点

(2) 如 图 , 法

(Sn?1 , 点) Q0 0 ( 与原点重合,

S0 , 所 以 直)线 Qn?1Pn 的 方 程 为 y ? 3 ( x ? S ?1 )或 = 0 n

? y2 ? x ? y ? ? 3( x ? Sn?1 ) ,因此,点 Pn 的坐标满足 ? ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ?
消去 x 得 3 y 2 ? y ? 3Sn?1 ? 0 , 所以 y ?

1 ? 1 ? 12 Sn?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12Sn?1 2
① ②

2 从而 3an ? 2an ? 4Sn?1

2 由①有 3an?1 ? 2an?1 ? 4Sn

2 2 ②-①得 3(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ? 4an

即 (an?1 ? an )(3an?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n 3 3 3 (a1 ? an )n 1 ? n(n ? 1) (文) S n ? 文2分 2 3
法 2: 点

Qn?1









(a1 ? = 0

a2 ? )

a3 ? n? ? , ? a ,? 即 01 )?



(Sn?1

, 点0 与原点重合, Q0 ( )

S, 0

所以直线 Qn?1P 的方程为 y ? 3( x ? Sn?1 ) 或 y ? ? 3( x ? Sn?1 ) n

? y2 ? x ? 因此,点 P ( x, y) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? Sn?1 )2 ? x , n ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ? a a 2 a 2 又 x ? Sn ?1 ? n ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4Sn?1 ① 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ,0) , 即点 (Sn?1 ,0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( Sn ?1 ?

a 3 2 an 3an , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an ? S n ?1 ? n 4 2 2 2

2 即 3an ? 2an ? 4Sn?1

以下各步同法 1

b a (3)(文)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n 3

? a3 ,
2 2

2

a

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a 3 ? 1 ,首项 b1 ? a 3 ? q0 , 因正整数 p, q, r , s 成等差数列,且 p ? q ? r ? s ,设其公差为 d ,则

d 为正整数,所以 q ? p ? d , r ? p ? 2d , s ? p ? 3d
则 Tp ?

b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0p?d ) b (1 ? q0p ? 2 d ) b (1 ? q0p ?3d ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 b12 ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0p ?3d ) ? (1 ? q0p ?d )(1 ? q0p ? 2d ) ? ? (1 ? q0 )2 ?

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 ? ? ?(q p ?d ? q0p ?2d ) ? (q0p ? q0p ?3d ) ? 2 ? 0 ? (1 ? q0 )
而 (q0
p ?d d d ? q0p?2d ) ? (q0p ? q0p?3d ) ? q0p (q0 ?1) ? q0p?2d (q0 ?1)

d 2 d 2 d ? (q0 ?1)(q0p ? q0p?2d ) ? (q0 ?1)q0p (1 ? q0 d ) ? ?q0p (q0 ?1)(q0 d ?1)

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a 3 ? 0且q0 ? 1 ,
d 2 又 d 为正整数,所以 (q0 ?1) 与 (q0 d ?1) 同号,
d 2 故 ?q0p (q0 ?1)(q0 d ?1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr

2

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)
16.本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

解:(1)令 n ? 1 得 1 ? a 2 ? a1 ?

1? 2 2 8 ,即 a 2 ? a1 ? ;又 a1 ? 2 ? a 2 ? 3 3 3 a 2 ? a1 ? 2 3


(2)



n(n ? 1) ? , ?nan ?1 ? S n ? 2 2n ? 3 ? a n ?1 ? a n ? , ? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? a n ? ? 3 3 ?(n ? 1)a ? S ? n(n ? 1) n n ?1 ? 3 ?
所以数列 {an } 是以 2 为首项,

2 2 为公差的等差数列,所以 a n ? ( n ? 2) . 3 3

解法一:数列 {an } 是正项递增等差数列,故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,若 k 2 ? 2 ,则由

a2 ?

a 8 4 2 32 32 2 10 4 ? ( n ? 2) 解得 n ? ? N * , 得 q ? 2 ? ,此时 a k3 ? 2 ? ( ) ? ,由 3 3 9 9 3 3 a1 3
n ?1

所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 ,则由 a 4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 数 列 , 所 以 2?2
n ?1

组成等比

?

2 (m ? 2) , 3 ? 2 n?1 ? m ? 2 , 对 任 何 正 整 数 n , 只 要 取 3

m ? 3 ? 2 n?1 ? 2 , 即 a kn 是 数 列 {an } 的 第 3 ? 2 n ?1 ? 2 项 . 最 小 的 公 比 q ? 2 . 所 以

kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 .
解 法 二 : 数 列 {an } 是 正 项 递 增 等 差 数 列 , 故 数 列 {a kn } 的 公 比 q ? 1 , 设 存 在

ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组 成 的 数 列 {a kn } 是 等 比 数 列 , 则
2 ?2 ? 2 a ? ak1 ? ak3 ,即 ? (k 2 ? 2)? ? 2 ? (k3 ? 2) ? ?k 2 ? 2? ? 3?k3 ? 2? 3 ?3 ?
2 k2
2

因为 k 2、k3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,

当 数 列 {a kn } 的 公 比 q 最 小 时 , 即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最 小 的 公 比 q ? 2 . 所 以

kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 .
(3)由(2)可得从 {an } 中抽出部分项 ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的 数列 {a kn } 是等比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a kn } 的公比是 q ? 得 k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N .

k2 ? 2 ,其中由解法二可 3

a kn ? 3 ? (

k 2 ? 2 n ?1 2 ) ? (k n ? 2) 3 3

? kn ? 3 ? (

k 2 ? 2 n ?1 ) ?2 3

? kn ? 3 ? (

3t ? 2 ? 2 n ?1 ) ? 2 ? k n ? 3 ? t n?1 ? 2 , t ? 2, t ? N 3

所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t 2 ? ? ? t n?1 ) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3

17.本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

(1)由 a1 ? 64 ? 26 ,可得 a2 ? 25 , a3 ? 24 ,, a6 ? 21 , a7 ? 20 , a8 ? 即 {an } 的前 7 项成等比数列,从第 8 起数列的项均为 0

1 ?1 ? 0 , a9 ? 0 ,, 2

?27?n , 故数列 {an } 的通项公式为 an ? ? ? 0,
(2)若 a1 ? 4k (k ? Z) 时, a2 ?

(1 ? n ? 7, n ? N) (n ? 8, n ? N)

a1 a ? 2k , a3 ? 2 ? k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知即 2(2k ) ? k ? 4k ,解得 k ? 0 ,故 a1 ? 0 ; 若 a1 ? 4k ? 1(k ? Z) 时, a2 ?

a1 ? 1 a ? 2k , a3 ? 2 ? k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ) ? (4k ? 1) ? k ,解得 k ? ?1 ,故 a1 ? ?3 ; 若 a1 ? 4k ? 2(k ? Z) 时, a2 ?

a ?1 a1 ? 2k ? 1, a3 ? 2 ?k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ? 1) ? (4k ? 2) ? k ,解得 k ? 0 ,故 a1 ? 2 ; 若 a1 ? 4k ? 3(k ? Z) 时, a2 ?

a1 ? 1 a ?1 ? 2k ? 1 , a3 ? 2 ?k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ? 1) ? (4k ? 3) ? k ,解得 k ? ?1 ,故 a1 ? ?1 ; ∴ a1 的值为 ?3, ?1,0, 2 (3)由 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 ),可得 a2 ?

a1 ? 1 m?1 ? 2 ?2, 2

a3 ?

a ? 1 m ?3 a2 ? 2m?2 ? 1 , a4 ? 3 ? 2 ?1 , 2 2
ak ? 1 2 t ? 1 ? 1 ? ? 2t ?1 ? 1 , 2 2

若 ak ? 2t ? 1(t ? N*) ,则 ak 是奇数,从而 ak ?1 ? 可得当 3 ? n ? m ? 1 时, an ? 2m?n?1 ? 1 成立 又 am?1 ? 20 ? 1 ? 0 , am? 2 ? 0 , 故当 n ? m 时, an ? 0 ;当 n ? m ? 1 时, an ? 0

故对于给定的 m , Sn 的最大值为 a1 ? a2 ? ? ? am

? (2m ? 3) ? (2m?1 ? 2) ? (2m?2 ? 1) ? (2m?3 ? 1) ? ? ? (21 ? 1) ? (2m ? 2m?1 ? 2m?2 ? ? ? 21 ) ? m ? 3 ? 2m?1 ? m ? 5 ,
故 Sn ? 2m?1 ? m ? 5

18.解:(1)? z1

? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 .



z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i



?a ? 3a n an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,? ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2

? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差
数列,? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1 (2)由(1)知 an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1. ① z1 ? z 2 ? ? ? z n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? i ?
2

1 n (3 ? 1) ? n 2 ? i 2
n?1

②令 S n ? a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn , S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? ? ? 3

? (2n ? 1) (Ⅰ)

将(Ⅰ)式两边乘以 3 得 3S n ? 3 ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? ? ? 3n ? (2n ? 1) (Ⅱ) 将(Ⅰ)减(Ⅱ)得 ? 2S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? 3n ? (2n ? 1) .

? 2S n ? ?2 ? 3n (?2n ? 2) , S n ? (n ? 1) ? 3n ? 1
19.

解:(1)设等差数列 ?an ? 的首项 a1 ,公差 d , an ? a1 ? (n ? 1)d

an?1 ? an ?1 ? 2an ? a1 ? nd ? a1 ? (n ? 2)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 0
所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” 或者根据等差数列的性质: an?1 ? an ?1 ? 2an 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” (2)假设 ?lg an ?是等比数列,则

? an 是“Z 数列”,所以 lg an?1 ? lg an?1 ? 2 lg an
2 ? an??1 ? an?1 ? an ,所以 ?an ? 不可能是等比数列,

等比数列 cn ? c1 ? q n?1 ?c1 ? 0, q ? 1? 只要首项 c1 ? 0 公比 q ? 1 其他的也可以:

cn ? an2 ? bn ? c?a ? 0?

cn ? an4 (a ? 0)
等比数列 ?cn ? 的首项 c1 ,公比 q ,通项公式 cn ? c1 ? q n?1

cn?1 ? cn?1 ? 2cn ? c1 ? q n ? c1 ? q n?2 ? 2c1 ? q n?1
2 ? c1 ? q n?2 q 2 ? 2q ? 1 ? c1 ? q n?2 ? ?q ? 1? ? 0 恒成立,?c1 ? 0

?

?

补充说明:分析: an?1 ? an ? an ? an?1 ,

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 ? n (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

根据几何意义只要 cn ? f ?n? 的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为

bs ? as ?1 ? as , bs?1 ? as?2 ? as?1 , bs?2 ? as ?3 ? as?2 ,, bt ?1 ? at ? at ?1
at ? a s ? at ? at ?1 ? at ?1 ? at ? 2 ? ? ? a s ?1 ? a s ? bt ?1 ? bt ? 2 ? ? ? bs ??? ???? ? ?
一共t ? s ?1项

同理:

at ? m ? a s ? m ? at ? m ? at ? m ?1 ? a m ?t ?1 ? a m ?t ? 2 ? ? ? a s ? m ?1 ? a s ? m ? bt ? m ?1 ? bt ? m ? 2 ? ? ? bs ? m ???? ????? ? ?
一共t ? s ?1项

因为数列 {bn } 满足对任意的 n ? N *均有bn?1 ? bn , 所以 bt ?1 ? bt ?m?1 , bt ?2 ? bt ?m?2 ,?, bs ?m ? bs ,

at ? as ? at ?m ? as?m

20. (文)(1)当 n

? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 .

当 n ? 2 时,由 S n ? 2(a n ? 1) , S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 , 即 a n ? 2a n ?1 ,所以 {a n } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以, a n ? 2 n ( n ? N * )

(2)由题意, a n ?1

a n ?1 ? a n 2n ,即 d ? , ? a n ? (n ? 1)d ,故 d ? n ?1 n ?1
2n ? 4 ,即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ,解得 n ? 4 , n ?1

因为 3 ? d ? 4 ,所以 3 ? 所以 d ?

16 16 .所以所得等差数列首项为 16 ,公差为 ,共有 6 项 5 3 6 ? (16 ? 32) 所以这个等差数列所有项的和 T ? ? 144 2 所以, n ? 4 , T ? 144
(3)由(1)知 f (n) ? 2 ,所以 c n ? n ? f (n ? log
n
2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n
由题意, c n ?1 ? c n ,即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立,

n 1 对任意 n ? N * 成立 ? 1? n ?1 n ?1 1 1 因为 g (n) ? 1 ? 在 n ? N * 上是单调递增的,所以 g (n) 的最小值为 g (1) ? . n ?1 2
所以 m 2 ?

? 1 2? ?. .由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? 2 2 ? ? ?

所以,当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时,数列 {c n } 是单调递减数列 2 ? ?


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