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三角函数诱导公式口诀应用


动脑思考

知识回顾
α 的终边

y

1.任意角α 的正弦、 P(x,y) 余弦、正切是怎样 定义的?

O

x

已知任意角 ?的终边与单位圆相交于 点P(x, y)

1.根据任意角的三角函数 的定义 y y sin ?

? ____, cos? ? _____ tan? ? _____ . 0) x , (x ?

x

动脑思考 诱 导 公 式 的 记 忆

知识回顾

三角函数在各象限的正负(+,-)

y

y

y

+
o y
正弦正

+
x

o

+
+
x
cosα>0

-

+
o

+

-

x

sinα>0

tanα>0

全正 一全正、二正弦、三正切、四余弦

正切正

o

余弦正

x

一全、二正、三切、四余

公式一: 大化小 sin(? ? 2k? ) ? sin ?

公式二:

cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) tan(? ? 2k? ) ? tan ? 公式三:负化正

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
公式四:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公 式 五

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公 式 六

诱导公式运用口诀
前提条件:将角化为

?
2

? k ? ? 或 900 ? k ? ? 形式( k ? Z )

口诀:奇变偶不变,符号看象限
解析

“奇、偶”指的是 k 取值的奇偶,“变与不变”指的是三角函 数的名称是否变化:“变”是指正弦变余弦,余弦变正弦, “不变”是指正弦还是正弦,余弦还是余弦。 “符号看象限”的含义是: 把角α 看做锐角, 不考虑α 角所 在象限,看

?
2

? k ? ? 是第几象限角,从而得到等式右边

是正号还是负号。

诱导公式运用口诀
前提条件:将角化为

?
2

? k ? ? 或 900 ? k ? ? 形式( k ? Z )

口诀:奇变偶不变,符号看象限
整句理解 当 k 取值奇数时,等式右边的三角函数的名称就改变, 即正弦的变余弦,余弦的变正弦; k 取值偶数时,等式
右边的三角函数的名称与左边相同,不用改变。 右边的三角函数前是“+”还是“-”就得看:把角α 看做 锐角,看

?
2

? k ? ? 是第几象限角,然后找出左边的三角

函数在这个象限的正负来决定前是“+”还是“-” 。

1、把下列角化为

?
2

? k ? ? 或 900 ? k ? ? 的形式( ? 为锐角)

17? (1) 4
0 149 (5)

38? (2) 5
0 547 (6)

16? (3) 3
0 2548 (7)

35? ? (4) 6
0 ? 47 (8)

17? 16? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? 8 ? 0 (7) 2548 ? 900 ? 28 ? 280 4 4 4 2 4 38? 40? ? 2? 2? ? 2? (2) ? ? 8? ? ? ?16 ? 5 5 5 2 5 16? 15? ? ? ? ? ? (8) - 470 ? 900 ? 0 ? 470 (3) ? ? 5? ? ? ?10 ? 3 3 3 2 3 35? ? 36? ? ? ? ? ? (4) ? ? ?6? ? ? ? (?12) ? 6 6 6 2 6 (1)

(5) 1490 ? 900 ? 2 ? 310

(6) 5470 ? 900 ? 6 ? 70

例1.利用公式求下列三角函数值:
?1? cos 225 ;
?

11? ? 2 ? sin ; 3
? ? ?

? 16? ?3? sin ? ? ? 3
?

? ?; ?

? 4 ? cos ? ?2040

?

?.

2 ?1? cos 225 ? cos ?180 ? 45 ? ? ? cos 45 ? ? 2 11? ?? ? 3 ? ? sin ? 4? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? sin 3 3? 3 2 ?

16? ?? ?? 3 ? 16? ? ? ? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 3? sin ? ? ? ? ? sin 3 3? 3? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 4 cos ? 2040 ? cos 2040 ? cos 6 ? 360 ? 120 ? ? ? ? ? ?

1 ? ? cos120 ? ? 2
?

练习 利用公式求下列三角函数值:
1 ?1? cos ?420 ? cos ? ?60 ? ? cos 60 ? 2 ? 7 ? ? sin 5 ? ? sin ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? 6 6 2 ? 6 ?
?
? ?

?

?
?

? 3? sin ? ?1300 ? ? sin 140 ? ? sin 40 ? ? 0.6428
5 ? 3 ? 79 ? ? 4 ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 6 6 2 ? 6 ?

P27练习 2

例2 化简

? ? 解:sin ? -? -180? ? ? sin ? ? 180 ? ? ? ? ? ?

sin ? ?? ? 180 ? ? cos ? ?180 ? ? ?
? ?

cos ?180? ? ? ? ? sin ?? ? 360? ?

.

? ? sin ?180? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos ?180? ? ? ? ? ? cos?

? ? cos ? ?180? ? ? ? ? cos ? ? 180 ? ? ? ? ? ?

? cos ? ? sin ? 原式= ?1 sin ? ? ? ? cos ? ?

练习 ? ? 1 sin ? ? 180 cos ? ? sin ? ? ? 180 ? ? ? ? ? 化简 ? ? ? 3 ? 2 ? sin ? ?? ? cos ? 2? ? ? ? tan ? ?? ? ? ?

?1? 原式= ? sin? cos? sin? ? ? sin ? cos?
2

? 2? 原式= ? sin ? cos? tan? ? ? sin ?
3 4

P27练习 3

? 3? ? 例3 化简 : ?1? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; ? 2 ? ? 3? ? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ? ? ? 3? ? ?? ?? ?1? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ? ? ?? ?? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ?2 ?? ?
?? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? cos? ?2 ?

? 3? ? 例3 证明 : ?1? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; ? 2 ? ? 3? ? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ?

? ? 3? ? ?? ?? ? 2? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ?2 ?
? ? sin ?

?? ? ? 11? ? sin ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ?. 例4 化简 ? 9? ? cos ?? ? ? ? sin ? 3? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ?? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos 5 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? 原式= ? ?? ?? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? 4? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? sin 2 ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ?2 ?? ? = ?? ? ? cos ? sin ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ?
? sin ? = ? ? tan ? cos ?

填表:
α sinα cosα tanα
4? ? 3 5? ? 4 5? ? 3 7? ? 4 8? ? 3 11? ? 4

3 2 1 ? 2

2 2 2 ? 2
?1

3 2 1 2

2 2 2 2
1

3 ? 2 1 ? 2

2 ? 2 2 2
?1

? 3

3

3

P28练习 4

?? ? cos ? ? ? ? 化简 ?1? ? 2 ? ? sin ?? ? 2? ? ? cos ? 2? ? ? ? ; ? 5? ? sin ? ?? ? ? 2 ? ?? ? cos ? ? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos ?? ?1? 原式= ? ? ?? ? sin ? ? ? ? ?2 ?
sin ? = ? sin ? ? cos ? ?? ? cos ?

= sin 2 ?

化简 ? 2 ? cos ? ?? ? ?
2

tan ? 360? ? ? ? sin ? ?? ?

.

tan ? 原式=cos ? ? ? sin ?
2

=cos 2? ?

1 cos ?

1 ? cos3? = cos ?

P28练习 7


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