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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数、导数及其应用


2012 版高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用
2.7 导
【高考目标定位】
一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击 (1)了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义; (3)能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
1 x



,y ?

/>x 的导数;

(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复 合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数。 2、热点提示 (1)导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题 中; (2)导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次); (2)了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 (3)会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示 (1)在高考中,重点考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间、极值、最值,以及利用导数解决 生活中的优化问题。有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。 (2)多以解答题的形式出现,属中、高档题目。

【考纲知识梳理】
一、变化率与导数、导数的计算 1、函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为
?y ?x

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

,若 ? x ? x 2 ? x1 , ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 则平均变

化率可表示为



2、函数 y=f(x)在 x=x0 处导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
?x ? 0

lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
0

? lim

?y ?x ?y ?x

?x? 0

为 y=f(x)在 x=x0 处导数,记作
? lim
?x ? 0

f ? ( x 0 ) 或 y ? | x ? x , 即 f ? ( x 0 ) ? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x ? 0

(2)几何意义 函数 f(x)在点 x 处的导数 f ? ( x 0 ) 的几何意义是在曲线 y=f(x)上点( x 0 , f ? ( x 0 ) )处的切线的斜率。相 应地,切线方程为 y-y0= f ? ( x 0 ) (x=x0). 3、函数 f(x)的导数 称函数 f ? ( x ) ? lim
? x0

f (x ? ?x) ? f (x) ?x

为函数 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y ?

注:求函数 f(x)在 x=x0 处的导数的方法: 方法一:直接使用定义; f ? ( x 0 ) ? lim
? x0

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x ?x

;

方法二:先求导函数 f ? ( x ) ? lim
? x0

f (x ? ?x) ? f (x)

,再令 x=x0 求 f ? ( x 0 )

4、基本初等函数的导数公式

函数
y ?c

导数
y'? 0

y ? f ( x) ? x (n ? Q )
n *

y ' ? nx

n ?1

y ? sin x
y ? cos x

y ' ? co s x

y ' ? ? sin x
x

y ? f (x) ? a y ? f (x) ? e

y ' ? a ? ln a ( a ? 0 )
x

x

y'? e

x

f ( x ) ? log a x

f '( x ) ?

1 x ln a

( a ? 0 且 a ? 1)

f ( x ) ? ln x

f (x) ?
'

1 x

5、导数运算法

导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? 2. ? f ( x ) ? g ( x ) ?
'
' '

? f (x) ? g (x)
' ' ' '

? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' '

? f (x) ? f (x)g (x) ? f (x)g (x) ( g ( x) ? 0) 3. ? ? ? 2 ? g (x) ? ? g ( x)?

6、复合函数的导数
? x 即 u 复合函数 y ? f ? g ? x ? ? 的导数和函数 y ? f ? u ? , ? g ? x ? 的导数间的关系为 y ? ? y u ?u ? , y 对 x 的 x

导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增;如果 f ?( x ) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减。 如果 f ?( x ) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间上是常数函数。 注:函数 y ? f ( x ) 在(a,b)内单调递增,则 f ?( x ) ? 0 , f ?( x ) ? 0 是 y ? f ( x ) 在(a,b)内单调递增 的充分不必要条件。 2、函数的极值与导数 (1)曲线在极值点处切线的斜率为 0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,判断 f(x0) 是极大(小)值的方法是: (1)如果在 x0 附近的左侧 f’(x)>0 ,右侧 f’(x) <0 ,那么 f(x0) 是极大值. (1)如果在 x0 附近的左侧 f’(x) <0 ,右侧 f’(x) >0 ,那么 f(x0) 是极小值. 注:导数为 0 的点不一定是极值点 3、函数的最值与导数 函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件

如果在区间[a,b]上函数 y ? f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。 4、生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是 优化问题 ? 用函数表示的数学问题 ? 用导数解决函数问题 ? 优化问题答案

【热点、难点精析】
一、变化率与导数、导数的运算 (一)利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接 (1)根据导数的定义求函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处导数的方法: ①求函数的增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ; ②求平均变化率
?y ?x ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x ?y ?x



③得导数 f ? ( x 0 ) ? lim

?x? 0

,简记作:一差、二比、三极限。

(2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函 数值,导数值是常数。 2、例题解析
4

〖例 1〗求函数 y= x 的导数。 解析:
?y ?x ? ?4 ? 2 x ? ?x x (x ? ?x)
2 2

2



?

?x? 0

lim

?y

? 2 x ? ?x ? 8 2 ? ? lim ? ? 4 ? 2 3 x (x ? ?x) ? ?x? 0 ? ?x =- x 。

2 〖例 2〗一质点运动的方程为 s ? 8 ? 3 t 。

(1) 求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; (2) 求质点在 t=1 时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法) 分析(1)平均速度为
?s ?t



2 (2)t=1 时的瞬时速度即 s ? 8 ? 3 t 在 t=1 处的导数值。

解答:(1)∵ s ? 8 ? 3 t 2 ∴Δ s=8-3(1+Δ t)2-(8-3×12)=-6Δ t-3(Δ t)2,
v ?
?

?s ?t

? ? 6 ? 3? t . ?s ?t ? lim ( ? 6 ? 3 ? t ) ? ? 6
?t? 0

(2)定义法:质点在 t=1 时的瞬时速度 v ? lim 求导法:质点在 t 时刻的瞬时速度

?t ? 0

v ? s ? ( t ) ? (8 ? 3 t ) ? ? 6 t ,当 t=1 时,v=-6×1=-6.
2

注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。 对位移 s 与时间 t 的关系式求导可 得瞬时速度与时间 t 的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,诮按照“一差、二比、三极限” 的求导步骤来求。 (二)导数的运算 1、相关链接 (1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数 y ? f ( x ) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: ①分析函数 y ? f ( x ) 的结构和特征; ②选择恰当的求导法则和导数公式求导; ③整理得结果。 (2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的 性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。 (3)复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。 ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量; ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函 数; ④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程。 2、例题解析
y ? x(x
2

?

1 x

?

1 x
3

)

〖例〗(1)求
y ? ( x ? 1)( 1 x

的导数;

? 1)

(2)求

的导数;

y ? x ? sin

x 2

cos

x 2 的导数;

(3)求
x
2

(4)求 y= sin x 的导数;
3x ? x
2

x ?5 x

x ?9

(5)求 y=

的导数

分析:先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注 意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆。
? y ? x ?1?
3

1 x
2

? y ? 3x ?
' 2

2 x
3

.

解:(1)
y ? x ? 1 x
? 1 2

,
x ? 1 x

1

?

?1 ? ?x2 ? x

?

1 2

(2)先化简,
y ? ?
'

1 2

x

?

1 2

?

3 2

x

?

?

?1 ? 1? ? 1 ? ?. x? 2 x ?

(3)先使用三角公式进行化简.
y ? x ? sin x 2
'

cos

x 2

? x?
'

1 2

sin x

1 1 1 ? ? ' ' ? y ? ? x ? sin x ? ? x ? (sin x ) ? 1 ? cos x . 2 2 2 ? ?

( x )' sin x ? x * (sin x )'
2 2

2 x sin x ? x cos x
2

(4)y’=
3 2

sin

2

x
? 1 2

=

sin

2

x



(5)? y= 3 x -x+5- 9 x
3

1 2

3

1

1

2 2 ? y’=3* (x ) -x' ' +5' -9 ( x ) =3* 2 x -1+0-9* ' (- 2 )x

?

3 2

9

x (1 ?

1 x
2

) ?1

=2

(三)导数的几何意义 【例】已知曲线 y ?
1 3 x ?
3

4 3



(1) 求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2) 求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3) 求斜率为 4 的曲线的切线方程。 分析:切点坐标 ? 切线斜率 ? 点斜式求切线方程

解答:(1)? P (2, 4) 在 曲 线 y ?

1 3

x ?
3

4 3

上,且 y ? ? x

2

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? | x ? 2 =4; ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. ( 2 ) 设曲 线 y ?
2

1 3

x ?
3

4 3

与 过点 P(2,4) 的 切 线相 切 于点 A (x0 ,
1 3 2 3 x0 ?
3

1 3

x0 ?
3

4 3

) , 则切 线的 斜率
3

k ? y ? | x ? x ? x 0 ,∴切线方程为 y ? ( 0

4 3 4 3

)= x 02 ( x - x 0 ),即 y ? x 02 ?x ?

2 3

x0 ?

4 3

∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2 x 0 2 ? ∴(x0+1)(x0-2)2=0 解得 x0=-1 或 x0=2

x0 ?
3

3 3 2 2 ,即 x 0 ? 3 x 02 ? 4 ? 0 ,∴ x 0 ? x 0 ? 4 x 0 ? 4 ? 0 ,

故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0) 则切线的斜率为 k=x02=4, x0=±2.切点为(2,4),(-2,-4/3) ∴切线方程为 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2) 即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0 注:(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;(2)解决“过某 点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决。 二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 (一)函数的单调性与导数 1、相关链接 (1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ①确定函数 f(x)的定义域; ②求 f’(x) ,令 f’(x)=0,求出它们在定义域内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间。 ④确定 f’(x)在各个开区间内的符号,根据 f’(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 注:当 f(x)不含参数时,也可通过解不等式 f’(x)>0(或 f’(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间。 (2)证明可导函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 ①求 f’(x); ②确认 f’(x)在(a,b)内的符号; ③作出结论:f’(x)>0 时为增函数;f’(x)<0 时为减函数。

(3)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数 f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条 件应是 f’(x)≥0(或 f’(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且 f’(x) 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0,这就 是说, 函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f’(x) =0, 甚至可以在无穷多个点处 f’(x0) =0, 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析
f

〖例〗 (安徽· 合肥 168 中高三段考(理))( 本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求
f

?x? ?

4x ? 7
2

2? x



x ? ? 0,? 1

? x ? 的单调区间和值域;
2 2

g ? x ? ? x ? 3 a x ? 2 a, x ? ? 0,? 1 x ? ? 0,? 1 x ? ? 0,? 1 (Ⅱ)设 a ? 1 ,函数 ,若对于任意 1 ,总存在 0 ,

使得

g ? x0 ? ? f

? x1 ? 成立,求 a 的取值范围
f
2

解:对函数
f


? x ? 求导,得
2

?x? ?

?4 x ? 16 x ? 7

?2 ? x?

? ?

? 2 x ? 1? ? 2 x ? 7 ? ?2 ? x?
1 2 或
2



f



? x ? ? 0 解得
f


x1 ?

x2 ?

7 2

当 x 变化时, ]
x

? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? ? ,1 ? ?2 ?

1

f



?x?
? 7 2



0 —4

+ —3

f ? x?

? 1? x ? ? 0, ? ? 2 ? 时, f 所以,当

?1 ? x ? ? ,? 1 ? x ? 是减函数;当 ? 2 ? 时, f

? x ? 是增函数;



x ? ? 0,? 1

时,

f

? ? x ? 的值域为 ? ? 4, 3 ?

(Ⅱ)对函数
g


g ?x?

求导,得
?a
2

? x? ? 3? x2

?
, 2

g ? x ? ? 3 ?1 ? a x ? ? 0,? 1 因此 a ? 1 ,当 时,

??0
时有

因此当

x ? ? 0,? 1

时,

g ?x?

为减函数,从而当

x ? ? 0,? 1

g ? x ? ? ? g ?1 ? , g ? 0 ? ? ? ?



g ?1 ? ? 1 ? 2 a ? 3 a

2



g ? 0 ? ? ?2a

,即当

x ? ? 0,? 1

时有

2 g ? x ? ? ?1 ? 2 a ? 3 a , 2 a ? ? ? ?

任给

x1 ? ? 0 ,? 1



f

? 1 ? x1 ? ? ? ? 4, 3 ? ,存在 x 0 ? ? 0,? 使得 g ? x 0 ? ?

f

? x1 ? ,则

?1 ? 2 a ? 3 a 2, 2 a ? ? ? ? 4, 3 ? ? ? ? ?

?1 ? 2 a ? 3 a 2 ? ? 4 (1) ? ?2a ? ?3 ( 2) 即?
a ? ? 5 3

( 解 1)式得 a ? 1 或
a ? 3 2

( 式得 解 2)

又a ? 1 ,
1? a ? 3 2

故: a 的取值范围为 (二)函数的极值与导数 1、相关链接 (1)求函数 f(x)极值的步骤 ①确定函数 f(x)的定义域; ②求导数 f’(x); ③求方程 f’(x)=0 的根。

④检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点(最好通过列表法)。如果左正右负,那么 f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果 f’(x)在点 x0 的左右两侧符号 不变,则 f(x0)不是函数极值。

(2)可导函数极值存在的条件 ①可导函数的极值点 x0 一定满足 f’(x0)=0,但当 f’(x0)=0 时,x0 不一定是极值点。如 f(x)=x3,f’(0)=0,但 x=0 不是极值点。 ②可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f’(x)=0,且在 x0 左侧与右侧 f’(x0)的符号不同。 2、例题解析 〖例〗设 x=1 与 x=2 是 f ? x ? ? a ln x ? b x ? x 函数的两个极值点。 (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 解析:(1) f ? x ? ?
'

f ? x?

的极大值点还是极小值点,并求相应极值。

a x

? 2 b x ? 1,

? a ? 2b ? 1 ? 0 ? f ' ?1 ? ? 0 ? ? ? ?1 由已知得: ? ' ? f ?2? ? 0 ? ? a ? 4b ? 1 ? 0 ?2

2 ? a ? ? ? ? 3 ?? ?b ? ? 1 ? 6 ?

(2) x 变化时。
x

f



? x ? , f ? x ? 的变化情况如表:
(0,1) — 1 0 极小值 (1,2) + 2 0 极大值 —

f



?x?

f ? x?
f ? x?

故在 x=1 处,函数

5 4 2 ? ln 2 f ? x? 取极小值 6 ;在 x=2 处,函数 取得极大值 3 3

(三)函数的最值与导数 1、相关链接 (1)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值。 (2)①根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b),内可导的函数的最值时,可将过程 简化,即不用判断使 f’(x)=0 成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,

就可判定最大(小)值。 ②定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点。 2、例题解析 〖例〗 黑龙江省双鸭山一中· ( 2010 届高三期中考试 (理) 本题 12 分) ) ( 已知函数 (1)当 a
? 0

f

?x? ?

x | x ? a |, a ? R .
2

时,求证函数
f

f

? x ? 在 ? ?? ,?? ?

上是增函数;

(2)当 a=3 时,求函数 解:(1) a
? 0

?x?

在区间[0,b]上的最大值。 故
f

时,

f

?x? ?

2 3 2 x ? x ? a ? ? x ? ax ,因 f ? ? x ? ? 3 x ? a ? 0

?x?

在 R 上是增函数。(4 分)

(2) a

?3

时,

? x3 ? 3x x ? 3 ? f ? x ? ? x | x ? 3 |? ? 3 ?3 x ? x 0 ? x ? ?
2

? ?

?
3

?
?0

①若 0 ? b ?

3

时,

f

? x ? ? 3 x ? x 3 ,由 f ? ? x ? ? 3 ? 3 x 2 ?x?

得: x
f

?1

(Ⅰ)若 0 ? b ? 1 时, (Ⅱ)若 1 ? b ②若 b
? 3
? 3

f ?? x ? ? 0, f

在[0,b]上单增,故

? x ? m ax


? f ? b ? ? 3b ? b ,
3

时,因

0 ? x ? 1, f ? ? x ? ? 0 ;1 ? x ? b , f ? ? x ? ? 0 .

f

? x ? m ax
?x?
2

? f ?1 ? ? 2

.

时,由①知

f

?x?

在?

?0, 3 ? ?

上的最大值为 2,下求
3

f



?

3 ,b ? ?

上的最大值,因

2 f ?? x? ? 3x ? 3 ? 0

,故

f

? x ? m ax

? f ? b ? ? b ? 3b .
3

b ? 3b ? 2 ? ? b ? 1 ?

?b ? 2 ? ?



? b 3 ? 3b ? b ? 2 ? ? ? ?0 ? b ? 2? ?2 ?

f

? x ? m ax

综合①、② 知:

? b 3 ? 3b ? b ? 2 ? ? ? ?2 ?1 ? b ? 2 ? ? 3 ? 3b ? b ? 0 ? b ? 1 ?

(12 分)

(四)生活中的优化问题 〖例〗(安徽·合肥 168 中高三段考(理))(本小题满分 12 分) 如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处.AB=20km,BC =10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处,建造 一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 ykm

(1)按下列要求建立函数关系式: (Ⅰ)设 ? B A O ? ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数; (Ⅱ)设 O P ? x (km),将 y 表示成 x 的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。
OA ? AQ co s ? ? 10 co s ? ,

20、解:(Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则
OB ? 10 co s ? ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , 10 co s ? ? 10 co s ? ? 1 0 ? 1 0 tan ?



y ? OA ? OB ? OP ?

所以
y ?



2 0 ? 1 0 sin ? co s ?

所求函数关系式为

? ? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 4 ? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= 所求函数关系式为
y ? x?2
2

?1 0 ? x ?

2

? 10 ?
2

x ? 20 x ? 200
2

x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ?
? 1 0 co s ? ?co s ? ? ? 2 0 ? 1 0 sin? co s ?
2

y ?
'

? ? ? sin ? ?

?

1 0 ? 2 sin ? ? 1 ? co s ?
2

(Ⅱ)选择函数模型①,
? ?
1 2 ,因为
0?? ?

?

?

令 y ? 0 得 sin
'

4 ,所以 ? = 6 ,



? ? ? 0,
? ?? ? 6

?

? ?

? ' 6 ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;



? ??

,

? ?

? ? ' y ? 10 ? 10 3 y ? 0 y 4 ? 时, , 是 ? 的增函数,所以当 ? = 6 时, m in 。
10 3

这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离 AB 边

3

km 处。

注: ①生活中的优化问题, 往往涉及到函数的最值, 求最值可利用单调性, 也可直接利用导数求最值, 要掌握求最值的方法和技巧。 ②在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义 域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大(小)值 时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点也就是最值点。

【感悟高考真题】
1.(2009 年广东卷文)函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是
x

(

D)

A. ( ?? , 2 ) 解析

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ( 2 , ?? )
? ,令 f ( x ) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D
2

x x ? x f ? ( x ) ? ( x ? 3) ? e ? ( x ? 3) ? e ? ? ( x ? 2 ) e

2.(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) ? 2 f (2 ? x ) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线
y ? f (x)

在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 B. y ? x
2

( A ) D. y ? ? 2 x ? 3
2

A. y ? 2 x ? 1 解析

C. y ? 3 x ? 2

由 f ( x ) ? 2 f (2 ? x ) ? x ? 8 x ? 8 得几何 f (2 ? x ) ? 2 f ( x ) ? (2 ? x ) ? 8(2 ? x ) ? 8 ,
2 /

2 即 2 f ( x ) ? f ( 2 ? x ) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x ) ? x ∴ f ( x ) ? 2 x ,∴切线方程 y ? 1 ? 2 (x ? 1) ,即

2x ? y ? 1? 0

选A

3.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)
f (x) ? 1 3 ax ? bx ? x ? 3
3 2

已知函数

,其中 a ? 0

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x ) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.
2 解: (1)由已知得 f '( x ) ? a x ? 2 b x ? 1 ,令 f ' ( x ) ? 0 ,得 a x ? 2 b x ? 1 ? 0 ,

2

f (x)

2 要取得极值,方程 ax ? 2 bx ? 1 ? 0 必须有解,

2 2 所以△ ? 4 b ? 4 a ? 0 ,即 b ? a ,

2 此时方程 a x ? 2 b x ? 1 ? 0 的根为

x1 ?

?2b ?

4b ? 4 a
2

?

?b ?

b ?a
2

2a
f '( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 )

a

x2 ?

?2b ?

4b ? 4 a
2

?

?b ?

b ?a
2

,

2a

a

,

所以

当 a ? 0 时, x (∞,x1) f’(x) + 0 - 0 x1 (x1,x2) x2 ∞) + (x2,+

f (x)

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x (∞,x2) f’(x) f (x) - 减函数 0 极小值 + 增函数 0 极大值 x2 (x2,x1) x1 ∞) - 减函数 (x1,+

所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.
2 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x ) 取得极值.

(2)要使 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x ) ? a x ? 2 b x ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.
2

b? ?

ax 2

?

1 2x

, x ? (0,1]

b ? (?

ax 2

?

1 2x



恒成立, 所以
a(x ?
2 2

) m ax

1 a

g (x) ? ?

ax 2

?

1 2x ,

g '( x ) ? ?

a 2

?

1 2x

)

? 2x



2

,

令 g '( x ) ? 0 得
0?

x?

1 a 或

x ? ?

1 a (舍去), 1 )
g (x) ? ? ax 2 ? 1 2 x 单调增函数;

1 a

当 a ? 1 时,
x?( 1 a

?1

x ? (0,

,当

a 时 g '( x ) ? 0 ,
ax 2 ? 1

,1]




1

g '( x ) ? 0

g (x) ? ?

,

2 x 单调减函数,

x?

g(

1 a

)? ?

a

所以当

a 时, g ( x ) 取得最大,最大值为

.

所以 b ? ? a
1 ?1
g (x) ? ? ax 2 ? 1 2 x 在区间 (0 ,1] 上单调

当 0 ? a ? 1 时,

a

,此时

g '( x ) ? 0

在区间
a ?1 2

(0,1]

恒成立,所以
a ?1 2

递增,当 x ? 1 时 g ( x ) 最大,最大值为

g (1) ? ?

b? ?

,所以

综上,当 a ? 1 时, b ? ?

a ;

当 0 ? a ? 1 时,

b? ?

a ?1 2

4.(江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o 1 的距离为多少时,帐篷的体积最大?

解析:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 于是底面正六边形的面积为(单位:m2)
3 ? ( x ? 1) ? 6 ?
2 2

3 ? ( x ? 1) ?
2 2

8 ? 2x ? x

2

(单位:m)

3 4

?( 8 ? 2 x ? x ) ?
2 2

3 3 2

(8 ? 2 x ? x )
2

帐篷的体积为(单位:m3)
V (x) ? 3 3 2
3 2

(8 ? 2 x ? x )
2

3 ?1 ? 3 ( x ? 1) ? 1 ? (1 6 ? 1 2 x ? x ) ?3 ? 2 ? ?

V ?( x ) ?

(1 2 ? 3 x )
2

求导数,得

? 令 V ( x ) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2 ? ? 当 1<x<2 时, V ( x ) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时, V ( x ) ? 0 ,V(x)为减函数

所以当 x=2 时,V(x)最大 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大
1 2
1 ? ? ? a, a 2 ? ? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面 在点 ?

5. (2010 全国卷 2 理数)(10)若曲线 y ? x 积为 18,则 a ? (A)64 【答案】A (B)32

?

(C)16

(D)8

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考 生的计算能力..

y'? ?

1 2

?

3 2

x

,? k ? ?

1 2

?

3 2

a

y?a

?

1 2

? ?

1 2

?

3 2

a

(x ? a)

【解析】

,切线方程是
s ? 1 2 ? 3a ? 3 2
4
? 1 2

,令 x ? 0 ,

y ?

3 2

?

1 2

a



令 y ? 0 , x ? 3 a ,∴三角形的面积是

a

? 18

,解得 a ? 64 .故选 A.

y ?

6. (2010 辽宁文数)(12)已知点 P 在曲线 的取值范围是
?
[

e ? 1 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ?
x

? ?
,

)

(

?
2

,

3? 4

]

[

3? 4

,? )

(A)[0, 4 )
y? ? ?

(B) 4 2
4e e
2x x x

(C)
? ?
x

(D)

4 e ?2? 1 e
x

? 2e ? 1

?e ?
x

1 e
x

? 2,? ? 1 ? y ? ? 0

解析:选 D.
?? ?[ 3? 4 ,? )





即 ? 1 ? tan ? ? 0 ,

7. (2010 陕西文数)21、(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a? R。 (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ? (a)的解析式; (3) 对(2)中的 ? (a),证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a) ? 1.
1
a

解 (1)f’(x)= 由已知得
1 2
a

2

x ,g’(x)= x (x>0),

x =alnx,

e

x =x ,

解德 a= 2 ,x=e2,
1

? 两条曲线交点的坐标为(e2,e)

切线的斜率为 k=f’(e2)=

2e

,

1
? 切线的方程为 y-e=

2e

(x- e2).

(2)由条件知

Ⅰ 当 a.>0 时,令 h (x)=0,解得 x= 4 a ,
2 2 ' 所以当 0 < x< 4 a 时 h (x)<0,h(x)在(0, 4 a )上递减;

'

2

当 x> 4 a 时,h (x)>0,h(x)在(0, 4 a )上递增。 所以 x> 4 a 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点。 所以 Φ (a)=h( 4 a )= 2a-aln 4 a =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值 Φ (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 Φ (a)=2a(1-ln2a) 则 Φ 1(a )=-2ln2a,令 Φ 1(a )=0 解得 a =1/2 当 当 0<a<1/2 时,Φ 1(a )>0,所以 Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 a>1/2 时, Φ 1(a )<0,所以 Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。
2 2 2

2

'

2

所以 Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值 Φ(1/2 )=1 因为 Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 Φ(1/2)=1 也是 Φ(a)的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有 Φ(a) ≤ 1 8. (2010 江苏卷)20、(本小题满分 16 分) 设 f ( x ) 是定义在区间 (1, ?? ) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) 。如果存在实数 a 和函数 h ( x ) ,其中 h ( x ) 对任意的 x ? (1, ?? ) 都有 h ( x ) >0,使得 f ' ( x ) ? h ( x )( x ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) 。
2

(1)设函数 f ( x )

? ln x ?

b?2 x ?1

( x ? 1)

,其中 b 为实数。

(i)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b ) ; (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间。 (2)已知函数 g ( x ) 具有性质 P ( 2 ) 。给定
? ? mx 1 ? (1 ? m ) x 2
x1 , x 2 ? (1, ? ? ), x1 ? x 2 ,

设 m 为实数,

, ? ? (1 ? m ) x 1 ? mx 2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,

若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨 论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。
? 1 x ? b?2 ( x ? 1)
2

?

1 x ( x ? 1)
2

( x ? b x ? 1)
2

(1)(i)

f '( x )

h(x) ?

1 x ( x ? 1)
2

?0

∵ x ? 1 时,

恒成立,

∴函数 f ( x ) 具有性质 P (b ) ;
? ( x) ? x ? bx ? 1 ? ( x ?
2

b 2

) ?1?
2

b

2

(ii)(方法一)设
1? b
2

4 , ? ( x ) 与 f ' ( x ) 的符号相同。

? 0, ? 2 ? b ? 2



4

时, ? ( x ) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上递增;

当 b ? ? 2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x ) ? 0 ,所以此时 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上递增;
x ? b 2 ? ?1

当 b ? ? 2 时, ? ( x ) 图像开口向上,对称轴

,而 ? (0 ) ? 1 ,

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x ) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上递增;
2 2 2 (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x ) ? x ? bx ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 0

所以 f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上递增;
x ? b 2 ?1

当 b ? 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴
b? b ?4 b? , 2
2

, 方 程 ? ( x )?
? (0,1)

0

的两根为:

b ?4
2

b?

b ?4
2

? 1,

b?

b ?4
2

?

2 b? b ?4
2

2
2

,而
b ?4 2 b? )

2

2

x ? (1,

b?



时,? ( x ) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 , 故此时 f ( x ) 在区间
b ?4
2

(1,

b?

b ?4
2

)

2

上递减;

同理得: f ( x ) 在区间

[

, ?? )

2

上递增。

综上所述,当 b ? 2 时, f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上递增;
b? b ?4
2

当 b ? 2 时, f ( x ) 在

(1,

)

2

上递减; f ( x ) 在

[

b?

b ?4
2

, ?? )

2

上递增。

(2)(方法一)由题意,得: g '( x ) ? h ( x )( x ? 2 x ? 1) ? h ( x )( x ? 1)
2

2

又 h ( x ) 对任意的 x ? (1, ?? ) 都有 h ( x ) >0,
? 所以对任意的 x ? (1, ?? ) 都有 g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 (1, ? ? ) 上递增。



? ? ? ? x1 ? x 2 , ? ? ? ? (2 m ? 1)( x1 ? x 2 )
1 2



m ?

,m ? 1



? ? x1 ? ( m ? 1) x1 ? (1 ? m ) x 2 , ? ? x 2 ? (1 ? m ) x1 ? ( m ? 1) x 2 时, ? ? ? ,且 ,

综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1)。
) (方法二)由题设知, g ( x ) 的导函数 g '( x ) ? h ( x ) ( x ? 2 x? 1 ,其中函数 h ( x ) ? 0 对于任意的
2

x ? (1, ?? )

都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x ) ? h ( x )( x ? 1) ? 0 ,从而 g ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上单调递增。
2

①当 m ? (0,1) 时,有

? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x1 ? (1 ? m ) x1 ? x1


? ? ( x1 , x 2 )

? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x 2 ? (1 ? m ) x 2 ? x 2

,得

? ? ( x1 , x 2 )

,同理可得

,所以由 g ( x ) 的

单调性知 g (? ) 、 g ( ? )

? ( g ( x1 ), g ( x 2 ))



从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) |,符合题设。
? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x 2 ? (1 ? m ) x 2 ? x 2 ②当 m ? 0 时, ,

? ? (1 ? m ) x1 ? m x 2 ? (1 ? m ) x1 ? m x1 ? x1

, , 于 是 由 ? ?1 ? ?

1

及 g ( x) 的 单 调 性 知

g ( ? ) ? g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? g ( ? )

,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) |,与题设不符。

? ? x1 , ? ? x 2 ③当 m ? 1 时,同理可得 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) |,与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1)。

【考点精题精练】
一、 选择题

1、 2010 届· ( 山东莱阳一中月考 (文)3. ) 已知函数 且
f (0 ) ? 0
2

f (x)

的导函数

f ?( x ) ? 4 ? 3 cos x



x ? ? ? 1,1 ?



,如果 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为(B ) B.

A.

? 0 ,1?

? 1,

2

?

C.

? ?2, ?

2

?

D.

? ? ? , ? 2 ? ? ? 1, ? ? ?

2、2010 届· ( 山东烟台开发区高三月考) 若二次函数 y ? f ( x ) 的图象过原点, 12. 且它的导数 y ? f '( x ) 的图象是经过第一、二、三象限的一条直线,则 y ? f ( x ) 的图象顶点在(C) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
x

3、(2010 届·山东诸城高三 1 月质检)5. 若函数 f ( x ) ? e cos x , 则此函数图象在点 (1, f (1)) 处的 切线的倾斜角为(D) A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角
3

4、 (2010 届· 福建南靖一中高三月考) 曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 3) 处的切线的倾斜角为 8. ( A. 3 0
0

B )

B. 4 5

0

C. 6 0

0

D. 1 2 0

0

? 5、 (2010 届· 湖南省箴言中学高三一模 (理) 6、 ) 函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图像不可能是 D ) (

6、 (2009 年·山东运河中学 10 月月考)11.若函数 则实数 b 的取值范围是( D )

f ( x ) ? x ? 6 bx ? 3 b
3



(0 , 1)

内有极小值,

A.

(0 , 1)

B.

( ?? , 1 )

C.

(0 , ? ? )

(0 ,
D.
x

1 2

)

7、(2010 届·山东诸城高三 12 月质检)5.若函数 f ( x ) ? e cos x , 则此函数图象在点 (1, f (1)) 处的 切线的倾斜角为 ( D ) A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角
3 2

8、(2010 届·山东烟台开发区高三月考(文))12.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ,若 f ( x ? 1) 是奇函 数,则曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, a ) 处的切线方程是(C) A. x ? 0 B. x ? 2 C. y ? 2 D. y ? 4

9、(湖南省·2009 年长沙市一中月考)如果 f '(x)是二次函数,且 f '(x)的图像开口向上,顶点坐标为(1, - ),那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 , ) 的取值范围是( B ) , )
f (x) ? x
3

A.(0,

]

B.[0,

)∪[

C.[0,

]∪[

D.[
? 1 2 ax
2

,

]

? 2 bx ? c

10、(广东省普宁华侨中学·2010 高三期中考试)已知函数
b?2

3

,方程

f (x) ? 0
'

两个根分别在区间(0,1)与(1,2)内,则 a ? 1 的取值范围为(
1 ( ?? , 1 4 ) ? (1, ?? ) ( ? 1, ? 1 4

A )
1

)

A.( 4 ,1)

B.

C.

D.( 4 ,2)

11、下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是( B ) ①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x A.①② 12、函数 y= A.3 二、填空题 1、 (2009 年· 山东运河中学 10 月月考) 已知曲线 y ? x ? 1 在 x ? x 0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x
2 3

B.②③
6x 1? x
2

C.③④

D.①③

的极大值为( A ) C.2 D.5

B.4

在 x ? x 0 点处的切线互相平行,则 x 0 的值为 0 或 -2/3 2、(2010 届·广东高三六校联考(理))设曲线
交点的横坐标为 ,令 ,则 的值为___-2__.


在点(1,1)处的切线与 轴的

3、(江苏省靖江市·2010 届高三期中)已知函数 y=ax -15x +36x-24,x 则函数的最大值是 8 .
2

3

2

x ? ? 0, 4 ?

在 x=3 处有极值,

? 1, 0 ? 处的切线方程为 4、(浙江省绍兴县鲁迅中学·2010 届高三期中)曲线 y ? x ? x ? 2 在点
y ? 3( x ? 1)

? 1, 0 ? 处的切线方程为 y ? 3( x ? 1) ? 解析:对于 y ? 2 x ? 1, k ? 3,? 曲线 y ? x ? x ? 2 在点
2

三、解答题 1、(2010 届·湖南省箴言中学高三一模(理))19、(本小题满分 14 分)
3 2 已 知 函 数 f ( x ) = ax ? bx ? cx ? d 的 单 调 递 减 区 间 是 ( - 1 , 3 ) , 且 在 x =1 处 的 切 线 方 程 为 :

12 x ? y ? 13 ? 0

(1)、求函数 f ( x ) 的解析式; (2)、求函数 f ( x ) 在区间[-4,4 ]上的最值; (3)、若过点(0,m)有且只有一条直线与 f ( x ) 相切,求 m 的取值范围。 解:(1)、由已知: f ? ( x ) ? 3 ax
2

? 2 bx ? c <0 的解集为(-1,3),

? ? 3a ? 0 ? 2b ? ?? 1 ? 3 ? ? 3a ? ? ? ( ? 1) ? 3 ? c ? 3a ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? c ? ? 12 f (1) ? a ? b ? c ? d ? 1

? ? ? ? ? a ? 1 ? ? ? ? ? ?b ? ? 3 ? ? ?c ? ?9 ? ? d ? 12 ? ? ? ?

f (x) ? x

3

? 3x

2

? 9 x ? 12

2 、 ( 广 东 省 普 宁 华 侨 中 学 · 2010 高 三 期 中 考 试 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 函 数
f ( x ) ? ax ? bx ? 3 a x ? 1( a, b ? R )
3 2 2



x ? x1



x ? x2

处取得极值,且

x1 ? x 2 ? 2



(1)若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间;
2 2 ? 解: f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? 3 a .①??????2 分

(2)若 a ? 0 ,求 b 的取值范围.

2 2 x , x2 ? (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 b x ? 3 ;由题意知 1 为方程 3 x ? 2 b x ? 3 ? 0 的两根,所以

x1 ? x 2 ?

4b ? 36
2

3

.由

x1 ? x 2 ? 2

,得 b ? 0 ??????4 分

2 2 ? 从而 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 , f ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) .????5 分

? ? 1) ? ? 当 x ? ( ? 1, 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? ( ?∞ , 1) ? (1, ∞ ) 时, f ( x ) ? 0 . 1) ? ? 故 f ( x ) 在 ( ? 1, 单调递减,在 ( ? ∞ , 1) , (1, ∞ ) 单调递增.?????? 7 分

(2)由①式及题意知
2

x1, x 2
3

2 2 为方程 3 x ? 2 b x ? 3 a ? 0 的两根,

所以

x1 ? x 2 ?

4b ? 36 a 3a

.从而

x1 ? x 2 ? 2 ? b ? 9 a (1 ? a )
2 2



由上式及题设知 0 ? a ≤ 1 .?????? 9 分
2? ? 2 g ?( a ) ? 1 8 a ? 2 7 a ? ? 2 7 a ? a ? ? 3? ? 考虑 g ( a ) ? 9 a ? 9 a , .?????? 11 分
2 3

? 2 ? 0, g (a ) 故 在? 3

? ?2 ? ?2? 4 1 g ? ? ? ,? 1 ? 0,? 的极大值为 ? 3 ? 3 . ? 单调递增,在 ? 3 ? 单调递减,从而 g ( a ) 在 ? ?

?2? 4 g? ?? 1 1 ? 0,? 上 只 有 一 个 极 值 , 所 以 ? 3 ? 3 为 g ( a ) 在 ? 0,? 上 的 最 大 值 , 且 最 小 值 为 又 g (a ) 在

? 2 3 2 3? ? 4? , ?? ? b ? ? 0, ? 3 3 ? g ( 1 )? 0 ? 3 ? ,即 b 的取值范围为 ? .所以 ??????14 分
2


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