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四种命题与充要条件教案

时间:2012-03-14


四种命题与充要条件
廖士哲(时间:2008 年 10 月 22 日
地点: 文 1) 06 ( )

一、教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解四种命题及其互相关系,会 教学目标: 分析四种命题的含义;理解必要条件充分条件充要条件的含义,反证法在证明过 程中的应用. . 教学重难 二、教学重难点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系,必要条件充分条
件充要条件的判断.

三、教学过程: 教学过程:
(一)知识归纳: 1.命题:可以判断真假的语句叫做命题 2.四种命题 四种命题 (1) .一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用┐p 和┐q 分别表示 p 和 q 的否定。于是 四种命题的形式为: 原命题:若 p 则 q( p ? q ) 否命题: 若┐p 则┐q (?p ? ?q ) (2) .四种命题的关系: 逆命题:若 q 则 p ( q ? p ) 逆否命题: 若┐q 则┐p (?q ? ?p )

原命题 若p则q

互 互

逆 否

逆命题 若q则p

为 逆 互 否 互 否命题 若 ?p 则 ?q 互 逆 为 逆 否 逆否命题 若 ?q 则 ?p 互 否

(3) .一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系: a.原命题为真,它的逆命题不一定为真。 b.原命题为真,它的否命题不一定为真。 c.原命题为真,它的逆否命题一定为真。 d.逆命题为真,否命题一定为真。 3.必要条件充分条件充要条件的含义 (二)几点说明 1.对命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定题设又否定结论 2.互为逆否命题的两个命题等价,为命题真假判定提供一个策略。 3.充要条件与集合的关系:小推大。 4.通常复合命题 p 或 q ”的否定为 ?p 且 ?q ”“ p 且 q ” “ “ 、 的否定为“ ?p 或 ?q ” 、 “全为”的否定是“不全为”“都是”的否定为“不都是”等等; 、 5. 有时一个命题的叙述方式比较的简略, 此时应先分清条件和结论, 该写成 “若 p , q ” 则 的形式;

6.反证法运用的两个难点:1)何时使用反证法 2)如何得到矛盾。 (三)例题分析: 例 1. (四种命题之间的关系)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的 真假。 (1)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根, (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0, (3)若 x2+y2=0,则 x 、y 全为零。 练习 1(变式 1)判断下列命题的真假,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,同 时判断这些命题的真假 (1)若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0, (2)若 a>b,则 ac2>bc2 (3)若在二次函数 y=ax2+bx+c 中 b2-4ac<0,则该二次函数图象与 x 轴有公共点。 例 2.已知一元二次方程 mx -4x+4=0 和 x -4mx+4m -4m-5=0 求二方程根都是整数 的充要条件 例 3 反证法的应用 已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数 a,b∈R 对命题“若 a+b≥0 则 f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b)” 写出逆命题。逆否命题,判断其真假,并证明, 解: (1)逆命题:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0(真) 用反证法证明:假设 a+b<0,则 a<-b b<-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a) ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)与题设矛盾,所以逆命题为真。 (2)逆否命题:若 f(a)+f(b) <f(-a)+f(-b),则 a+b<0 为真命题。 练习 2(变式 2)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程: ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 有 有理根,那么 a, b, c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 (四)巩固练习: B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数 )
2 2 2

四、小结: 小结:
1.常用词语的否定 正面词 反面词 都是 不都是 任意的 某个 所有的 某些 至多有一个 至少有两个 至少有一个 一个也没有

2.等价命题:原命题 ? 它的逆否命题 原命题的否命题 ? 原命题的逆命题 3.掌握反证法 4. 理解必要条件充分条件充要条件的含义

五、作业: 作业: 六.板书设计 知识归纳

例题解析

练习选讲


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