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复合函数求导


复习:基本初等函数的导数公式
1.C? ? 0 (C为常数)
3. (sin x )? ? cos x
5. (e )? ? e
x
x

2. ( x )? ? nx (n ? Q)
n n?1

4. (cos x )? ? ? sin x

x

>
x ? 6. (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1)

1 7. (ln x )? ? x

1 8. (log a x )? ? log a e x

复习:导数的运算法则:
? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? f ?( x) ? g ?( x)

[cf ( x)]? ? cf ?( x)(c为常数)
? f ( x ). g ( x ) ? ? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

练习:
f ( x) ? x ln x
f '( x0 ) ? 2,

则 x0 ?( B) A. e
2

B.

e

C.

ln 2 2
2

D.ln 2

设曲线
1 C.2

y ? ax 在点(1,
1 B. 2

a)

处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0平行,则 A.1

a ? ( A)

?1 D.

一、复习与引入:
如: 求函数y=(3x-2)2的导数. 我们可以把平方式展开,利用导数的四则运 算法则,再求导. 思考: 能否用其它的办法求导呢? 又如我们知道函数 那么函数
1 y? (3 x ? 2 ) 3
y? 1 x2

的导数是

y' ? ?

2 x3

,

的导数又是什么呢?

为了解决上面的问题,我们需要学习新的导

数的运算法则,这就是复合函数的导数.
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以令 y=u2,u=3x-2,则

y?u ? 2u, u?x ? 3,

从而

? ? y? ? y ? u x u x ? 18 x ? 12
.

结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致

二、新课——复合函数的导数:
1.复合函数的概念: 对于函数y= f [? (x)],令u= ? (x),若y=f(u)是 中间变量u的函数, u= ? (x)是自变量x的函数,则 称y= f [ ? (x)]是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数 u ? ? ( x )在点x处有导数 u?x ? ? ?( x) ,函数 y=f(u)在点x的对应点u处有导数 y?u ? f ?(u) , 则复合函数 y ? f [? ( x )] 在点x处也有导数, 且 y?x ? y?u ? u?x ; 或记 f ?[? ( x )] ? f ?(u)? ?( x ).
x

1.指出下列函数是怎样复合而成:

(1) y ? sin 2 x; (2) y ? 3 x ? x ? 1;
2

y ? sin u, u ? 2x
y ? u , u ? 3x 2 ? x ? 1
y ? cos u, u ? sin x

(3) y ? cos(sin x); (4) y ? ( a ? bx ) ;
n m

y ? u , u ? a ? bx .
m n

1 (5) y ? sin(1 ? ). x

y ? sin u,

1 u ? 1? x

三、例题选讲:
例1: 求下列函数的导数:

(1) y ? (2 x ? 1)

5
2 4

(3) y ? (1 ? sin x)

1 ( 2) y ? 4 (1 ? 3 x )

例2:求下列函数的导数

; ?1? y ? e ? 2? y ? sin ?? x ? ? ? ? 其中? ,?均为常数? .
?0.05 x ?1

(3) y=㏑(3x+2)

练习1:求下列函数的导数:
(1) y ? ax ? bx ? c ( 2) y ?
3 2

1 1 ? 2x2

( 3) y ? x 2 x ? x

3x ? 4 3 ( 4) y ? ( ) (5) y ? sin2 ax cosbx 6x ? 7

例3: 设f(x)可导,求下列函数的导数:
(1)f(x2); (2)f( 1 ? x 2 ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)

利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: (1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
x2 y2 (2)过椭圆 a 2 ? b 2 ? 1上一点P0(x0,y0)的切线方程是: x 0 x y0 y ? 2 ? 1. 2 a b x2 y2 (3)过双曲线 a 2 ? b 2 ? 1上一点P0(x0,y0)的切线方程是: x 0 x y0 y ? 2 ? 1. 2 a b

(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).

1.填空题
(1) (e )? ? _________ ? e? x
?x

1 (3) (ln 2 x)? ? ________ x

1 1 ? (2) ( )? ? __________ (1 ? x) 2 ___ 1? x

(4) ( 1 ? x )? ? __________ _ 1? x2
2

x

2.求下列复合函数的导数
(1) y ? cos5 x (4)y ? e ?2 x ?3 (2) y ? cos5 x 1 (5) y ? 1 ? 3x (3)y ? ln(2 x ? x 2 )

答案:( 1 )y? ? ?5 sin 5 x 2 ? 2x 2x ? x2 3 ? 3 (5) y? ? (1 ? 3 x) 2 2 (3) y? ?

(2) y? ? ?5 cos 4 x sin x (4) y? ? ?2e ? 2 x ?3


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