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山西省朔州市应县一中2014届高三补习班上学期第三次月考数学(文)试题

时间:2013-11-18


时间:120 分钟

满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符号题目要求的。)
U 1. 图中阴影部分表示的集合是( A. A∩ ( B) C. (A∩B) B( D. ) A B A) ∩B (A∪B)

2. 下面四个条件

中,使 a >

b 成立的充分而不必要的条件是(
C.



A.

a > b +1
300

B.

a > b -1
B.

a2 >b

2
D.

a 3 > b3
) D. 90
0

3. 在 ?ABC 中, 已知 A.

a ? 4, b ? 4 3, B ? 600 ,则角 A 的度数为(

450
B.2

C. 60

0

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则 a2 等于( A.-2 C.1

) D.4

5. 函数

f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [-3,0] 上的最大值、最小值分别是(
xa (0<a<1)的图象的大致形状是( |x|
x

)

A.1, 1

B.1,- 17

C.3, -17

D.9, 197

6.函数 y=

)

7. 设

x? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则

{

5 ?1 2 },

[

5 ?1 5 ?1 2 ], 2 (

) B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 8. 若函数 则

x f ( x) 的零点与 g ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点之差的绝对值不超过 0.25,

f ( x)
A.

可以是(



f ( x) ? 2 x ? 1

B.

f ( x) ? 2x ?1

C. D.

f ( x) ? 2 x ? 1

f ( x) ? lg(2 ? x)

9. 如图是函数 y=sin(ωx+φ)的图象的一 部分,A,B 是图象上的一个最高点和一个最低 → OB → 点, O 为坐标原点, 则OA· 的值为( 1 A. π 2 1 B. π2+1 9 ) 1 D. π2-1 3

1 C. π2-1 9

?y ? x ? y ? mx z ? x ? my 的最大值小 m ? 1 ,在约束条件 ? 10.设 ? x ? y ? 1 下,目标函数 ?
于 2,则 A.

m 的取值范围为(
B.



(1,1 ? 2)
x1+y1 的值为 x2+y2

(1 ? 2, ??)
) 2 3

(1,3) C.

D.

(3, ??)

11.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b =-6,则 2 A. 3 5 6 ( B.-

C.

5 6

D. -

12.已知

y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时不等式
1

f(x)+xf (x)>0 成立,若

a ? 30.3 ? f ? 30.3 ?
1 ? 1? , c ? log3 ? f ? log3 ? 9 ? 9?
, 则

, b ? log? 3 ? f ? log? 3?

a , b , c大
小关系是(
A. C.

)
B.

a ? b ? c

c ? a ? b

a ? c ? b

D.

c ? b ? a

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中 横线上)

5 13. 复数 1 ? 2i 的共轭复数为

.

1 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn ,则 14.设等比数列 2

S4 ? a4



→ (AB → 15.已知 P 是边长为 2 的正△ABC 边 BC 上的动点,则AP·→ +AC)的值 为 .

16.下列命题:① 5>4 或 4>5;② 9≥3;③ 命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;④ 命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 17. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知

? 3 ? ? ?0, ? ?, cos( ? ? ) ? , 求 cos ?
6 5

18.(本小题满分 12 分)函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,当 x∈M 时, 求 f(x)=2x+2-3×4x 的最值. 1 1 1 19.(本小题满分 12 分)将函数 f(x)=sin x· sin (x+2π)·sin (x+3π)在 4 4 2 区间 (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式.
20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量

a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ),若函数f ( x) ? a ? b 在区间
(-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知 f(x)=mx(m 为常数, m>0 且 m≠1). f(a1), 设 f(a2),…, f(an)…(n∈N)是首项为 m2,公比为 m 的等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列{cn}中每一项恒小于 它后面的项?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? x ?

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ,其中 2

a? R.
⑴若

x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值;
? 0 , f ( x) ? 1 恒成立,求

⑵若 ?x

a

的取值范围.

高三、补习部月考三数学(文科)答案 2013.10

11.解析:记向量 a 与 b 的夹角为 θ.注意到 a· b=|a||b|cosθ=-|a||b|,即 6cosθ= 2 2 -6,∴cosθ=-1,θ=π,向量 a,b 反向且共线,∴a=- b,即(x1,y1)=- (x2, 3 3 x1+y1 2 y2),∴ =- ,选 B. 3 x2+y2

12.【解析】令 g ( x) ? xf ( x), 由 题 意 知 x ? 0, g ?( x) ? 0 , 由 于 f(x)为 奇 函 数 , 所 以 g(x) 为 偶 函 数 , 因 为 | log 3
二.13. 1 ? 2i

1 |? 30.3 ? log? 3 ,所 以 c ? a ? b . 9
16.1

14.15 15.6

15.[解析] 设 BC 边中点为 D,则 → → → → → AP· +AC)=AP· (AB (2AD) → → → =2|AP|· |· |AD cos∠PAD=2|AD|2=6. 16.①是“p 或 q”形式的复合命题,只要 p 和 q 中的一个真命题就真.故命题①真. ②是“p 或 q”形式的复合命题,同理为真; ③否命题是“若 a≤b,则 a+c≤b+c”,是真命题; ④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”,是假命题,比如等腰梯形的对角线也相 等. [答案] 1

三.17.[解析]

18.解析:由 3-4x+x2>0 得 x>3 或 x<1, ∴M={x|x>3 或 x<1},

? x 1? 25 f(x)=-3×22x+2x+2=-3 2 -6 2+ . ? ? 12
∵x>3 或 x<1,∴2x>8 或 0<2x<2, 1 1 25 ∴当 2x= ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 ,f(x)没有最小值. 6 6 12 1 1 1 19.[解析] (1)化简 f(x)=sin x· (x+2π)·sin (x+3π) sin 4 4 2 x? x x? 1 =sin cos ·-cos2 =- sinx 4 4? ? 4 π 其极值点为 x=kπ+ (k∈Z), 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 2n-1 π an= +(n-1)·π= π(n∈N*). 2 2 π (2)bn=2nan= (2n-1)·n 2 2 π - ∴Tn= [1· 2+3·2+…+(2n-3)·n 1+(2n-1)·n] 2 2 2 2 π + 2Tn= [1·2+3·3+…+(2n-3)·n+(2n-1)·n 1] 2 2 2 2 2 π + 相减得,-Tn= [1· 2+2·2+2·3+…+2·n-(2n-1)·n 1] 2 2 2 2 2 ∴Tn=π[(2n-3)·n+3]. 2 20.解法 1:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t.

若f ( x)在(?1,1)上是增函数 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0. ,

? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间(?1,1)上恒成立, 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 1 由于g ( x)的图象是对称轴为 ? , x 3
开 口 向 上 的 抛 物 线 , 故 要 使 t ? 3x 2 ? 2 x 在 区 间 ( - 1 , 1 ) 上 恒 成 立

? t ? g (?1),即t ? 5.
而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 .
故t的取值范围是 ? 5 . t
解法 2:依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0. ,
? f ?(x) 的图象是开口向下的抛物线,

?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时
f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 . 故t的取值范围是 ? 5. t
21.[解析] (1)由题意 f(an)=m2· n 1,即 man=mn 1. m
- +

∴an=n+1,∴an+1-an=1, ∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 cn=f(an)· lgf(an)=mn 1· n 1=(n+1)· n 1· lgm m lgm,
+ + +

要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*成立, 即(n+1)· n 1· m lgm<(n+2)· n 2· m lgm,对一切 n∈N*成立,
+ +

①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N*恒成立; n+1 ②当 0<m<1 时,lgm<0,所以 >m 对一切 n∈N*成立, n+2 n+1 1 2 2 因为 =1- 的最小值为 ,所以 0<m< . 3 3 n+2 n+2 2 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. 3

⑵(方法一)依题意 x ?

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ? 1 , a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) , x ? 0 。 2

x ? 1 时, a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 恒成立

x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 得 a ?
设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g / ( x) ? 1 ?

2 ( x ? 1 ? ln x) …8 分 ( x ? 1) 2

1 ,当 0 ? x ? 1 时 g / ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 x

g / ( x) ? 0 ……10 分,所以 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0
所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时,

2 ( x ? 1 ? ln x) ? 0 ,从而 a ? 0 , ( x ? 1) 2

综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] . (方法二)由⑴ f / ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ?

1 x ?1 ? (1 ? ax ) , x x

若 a ? 0 ,则 1 ? ax ? 0 ,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 1 ,且当 0 ? x ? 1 时 f / ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时

f / ( x) ? 0 ……8 分,所以 ?x ? 0 , f ( x) ? f (1) ? 1
若 a ? 0 ,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 则 当 x?m 时

1 1 ? 1? ,取 m ? max?1 , ? 为 1 与 两数的较大者, a a ? a?
f (x) 在 (m , ? ?) 单 调 减 少 ,

f / ( x) ? 0 , 从 而

f ( x) ? x ?

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x 无最小值, f ( x) ? 1 不恒成立。 2
2 ( ? 3) , a

( 说 明 一 : 本 段 解 答 如 举 反 例 亦 可 , 评 分 如 下 : 若 a ? 0 , 取 x0 ? 3 ?

2 2 1 2 2 ? a (3 ? ? 1) 2 ? ln(3 ? ) ? ?1 ? 2a ? ln(3 ? ) ? 0 ? 1 , f ( x) ? 1 不恒 a a 2 a a 成立……13 分。说明二:若只讨论一个特例,例如 a ? 1 ,给 1 分)

f ( x0 ) ? 3 ?

综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] .


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