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2015成都七中数学试题(文科)(教师版)


成都七中高 2012 级“高考热身考试”数学文科试题
命题人:许勇 郑勇军 审题人:江海兵

第Ⅰ卷(非选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求. 1.若集合 M ? ? x y ? lg

? ?

2?

x? ? , N ? ? x x ? 1? ,则 M ? CR N ? ( ) x ?

A.

(0,2)

B.

(0,4)

C.

?1,2?

D.

(0,??)

答案:C 2.已知复数 z 满足 z (1 ? i)3 ? 1 ? i ,则复数 z 对应的点在( )上

A. 直线 y ? ?
答案:C

1 x 2

B. 直线 y ?

1 x 2

C.

直线 x ? ?

1 2

D.

直线 y ? ?

1 2

3.已知命题 p : ?x ? R ,使 sin x ? 给出下列结论: ①命题 " p ? q" 是真命题

5 2 ;命题 q : ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 . 2

②命题 " p ? ?q" 是假命题

③命题 " ?p ? q" 是真命题 ④命题 " ?p ? ?q" 是假命题 其中正确的是( )

A. ②④
答案:B

B. ②③

C . ③④

D. ①②③

4.已知实数 x ? ?1,10? 执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 63 的概 率为( )

A.

1 3

B.

4 9

C.

2 5

D.

3 10

答案:A 5.函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图像与函数 y ? cos( x ?

?
3

) 的图像(



A. 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C . 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D. 既无相同的对称中心也无相同的对称轴
答案:A

y
6.已知函数 f ( x) 的图像如图所示,则 f ( x) 的解析式可能是( )

1 ? x3 2x ?1 1 C. f ( x) ? ? x3 2x ?1 A. f ( x) ?
答案:A

B. f ( x) ?

1 ? x3 2x ?1 1 D. f ( x ) ? ? ? x3 2x ?1

O

x

7.已知点 ? ? 0,2? , 抛物线 C: y 2 ? ax (a ? 0)( a ? 0 ) 的焦点为 F , 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M , 与其准线相交于点 N ,若 FM : MN ? 1: 5 ,则 a 的值等于( )

A.

1 4 a 4

B.

1 2

C.

1

D.

4

答案:D 解析: F ( ,0),? MF ? MK

? KM : MN ? 1 : 5 ,则 KN : KM ? 2 : 1

?

2 ? 2 ?a ? 4 a 4

8.已知 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,若 ?MBC 、 ?MAB 、 ?MAC 的面积分 别为

1 4 1 、 x 、 y ,则 ? 的最小值是( x y 2



A.

9

B.

16

C.

18

D.

20

答案:C 9.将 1 ~ 9 这 9 个数平均分成 3 组,则每组的 3 个数都成等差数列的分组方法的种数是( )

A.

3

B.

5

C.

7

D.

9

答案:B 解析:设 3 组中每组正中间的数分别 a , b, c 且 a ? b ? c ,则 3a ? 3b ? 3c ? 45, a ? b ? c ? 15 , 而 2 ? a ? 4 ,故 ( a, b, c ) 所有可能取的值为 (2,5,8), (2,6,7), (3,4,8), (3,5,7)(4,5,6) 此时相对应的分组情况 是 (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9);?1,2,3?, (4,6,8), (5,7,9); (1,3,5), (2,4,6), (7,8,9); (2,3,4), (1,5,9), (6,7,8);

(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) 故分组方法有 5 种. 选 B
10.在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2 ,若 OP ?

1 ,则 OA 的取值范围是( 2



A.

? 5? ?0, ? ? 2 ?

B.

? 5 7? , ? ? ? 2 2 ?

C.

? 5 ? , 2? ? ? 2 ?

D.

? 7 ? , 2? ? ? 2 ?

答案:D 解 析 : 由 条 件 A, B1 , P, B2 构 成 一 个 矩 形 AB1PB2 , 以 AB1 , AB2 所 在 直 线 为 坐 标 轴 建 系 , 设

?( x ? a) 2 ? y 2 ? 1 ?( x ? a) 2 ? 1 ? y 2 AB1 ? a, AB2 ? b, O( x, y), P(a, b) 由 OB1 ? OB2 ? 1 ,得 ? 2 ?? 2 2 2 ? x ? ( y ? b) ? 1 ?( y ? b) ? 1 ? x
? OP ? 1 2 ? ( x ? a ) ? ( y ? b) 2 ?
2

1 4

?1 ? x 2 ? 1 ? y 2 ?

1 4

? x2 ? y2 ?

7 4



又? ( x ? a) 2 ? y 2 ? 1

? y 2 ? 1 ? ( x ? a)2 ? 1 同理 x 2 ? 1
7 ? x2 ? y2 ? 2 4

? x 2 ? y 2 ? 2 ② 由①②得

? OA ? x 2 ? y 2

?

7 ? OA ? 2 2

选D

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外 接球的表面积为 答案: 29? 解析:由三视图知,三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直,将此三棱 锥 补 成 长 方 体 , 它 们 有 共 同 的 外 接 球 ,

R?

22 ? 32 ? 32 29 ? 2 2
5

? S ? 4? R 2 ? 29?

2 ? ? 12.在 ? x ? ? 的二 项展开式中, x 2 的系数为____________. x? ?
答案: 40 13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜 的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为________. 答案:30, 20 解 析 : 设 黄 瓜 和 韭 菜 的 种 植 面 积 分 别 为 x, y 亩 , 总 利 润 z 万 元 , 则 目 标 函 数

? x ? y ? 50 ? z ? (0.55? 4 x ?1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y 线性约束条件为 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? y ? 50 ? 即 ?4 x ? 3 y ? 180 , 做 出 可 行 域 , 求 得 A(0,50), B(30,20), C (0,45) 平 移 直 线 z ? x ? 0.9 y, 可 知 直 线 ? x ? 0, y ? 0 ?
z ? x ? 0.9 y, 经过点 B(30,20), 即 x ? 30, y ? 20 时, z 取得最大值.
14.设点 P ( x, y ) 是曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点,其坐标 ( x, y ) 均满足

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 2 2 ,则 2a ? b 取值范围为
答案: ? 2, ?? ?

解 析 : 设 F1 (?1,0), F2 (1,0) , 则 满 足

x 2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? x2 ? y2 ?2 x ? 1 ?2 2的 点 P 的 轨 迹 是 以

F1 (?1,0), F2 (1,0) 为焦点的椭圆,其方程为
1 a 1 b

x2 y 2 ? ? 1 .曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 为如下图所示的 2 1
x2 ? y2 ? 2y ? 1 ? 2 2 , 所以

2 2 菱形 ABCD ,C ( , 0), D (0, ) .由于 x ? y ? 2 y ? 1 ?

1 1 ? 2, ? 1 , a b

即a ?

2 2 , b ? 1 .所以 2a ? b ? 2 ? ?1 ? 2 . 2 2

y D B1 F2 A O B F1 C x
A F2 O B1

y D C F1 B x

15.如果 f ( x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函 数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y

? sin x 具有“ P(a ) 性质” ;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P(2) 性质” ,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ;

0) 成中心对称, ③若函数 y ? f ( x) 具有 “ P(4) 性质” ,图象关于点 (1, 且在 (?1, 0) 上单调递减, 则 y ? f ( x)
在 (?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增; ④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P(0) 性质”和 “ P(3) 性质” ,且函数 y ? g ( x) 对 ?x1 , x2 ? R , 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数. 其中正确的是 答案:①③④ 三、解答题,本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? (写出所有正确命题的编号).

2? ) ? 2 cos 2 x, x ? R . 3

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调减区间;

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移 上的最小值.

? ? ?? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 ?0, ? 3 ? 2?

解析: (Ⅰ) f ( x) ? cos? 2 x ?

? ?

2? ? 1 3 2 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? ? 2 cos x ? ? cos2 x ? 3 ? 2 2

1 3 ?? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos? 2 x ? ? ? 1 2 2 3? ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .由 2k? ? 2 x ? 所以单调减区间是 ?k? ?

?
3

? (2k ? 1)? ,可解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? ?

?

?? , k? ? ?, k ? Z 6 3?
?
) ? 1 ? cos( 2 x ? ) ? 1 3 3 3 1 ? 所以 ? ? cos( 2 x ? ) ? 1 , 2 3 )?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 g ( x) ? cos( 2( x ? 所以 ?

?

?

因为 0 ? x ?

?
2

,

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

因此

1 ? ?1 ? ? cos( 2 x ? ) ? 1 ? 2 ,即 f ( x) 的取值范围为 ? ,2? . 2 3 ?2 ?

17.(本小题满分 12 分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次 摸取一个球 (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。 解: (1)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、 ) 、 (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (红、黑、黑) 、 (黑、红、红) 、 (黑、红、黑) 、 (黑、黑、红) 、 (黑、黑、黑) (2)记“ 3 次摸球所得总分为 5 ”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (黑、红、红)事件 A 包含的基本事件数为 3 由(1)可知,基本事件总数为 8 ,所以事件 A 的概率为 P ( A) ?

3 8

.

18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD , 底面 ABCD 是等腰梯形, AD // BC, AC ? BD. (Ⅰ)证明: BD ? PC ; (Ⅱ)若 AD ? 4, BC ? 2 ,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 ,求四棱
?

锥 P ? ABCD 的体积. 解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是 平 面 PAC 内 的 两 条 相 较 直 线 , 所 以

BD ? 平面PAC .而 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC .
(Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O ,连接 PO ,由(Ⅰ)知, BD ? 平面PAC , 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 . 由 BD ? 平面PAC , PO ? 平面 PAC ,知 BD ? PO .在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD ? 2OD . 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

AOD, BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2 2 2 2

在等腰三角形 AOD 中, OD ?

2 , AD ? 2 2, 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ? PD 2 ? AD 2 ? 4. 2

1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3 3 2 5 19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的前 n 和 S n ? n ? n ,数列 ?bn ?的通项公式 bn ? 5n ? 2 . 2 2
故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 cn ? (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?
n 1 2 ,求证: ? ci ? ; anbn 25 i ?1

3 2 5 ?1 ? ?1 ? 4 2 2 3 2 5 3 5 2 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3n ? 1 2 2 2 2

∵当 n ? 1 时, 3 ?1 ? 1 ? 4 ? a1 ∴ an ? 3n ? 1 (2)∵ cn ?

1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? 2 (3n ? 1)(5n ? 2) 5 (3n ? 1)(3n ? 6 ) 5 (3n ? 1) 5 (3n ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 5 3n ? 1 3n ? 5 2 2 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ? ( ? ? ? ?? ? ? )? ( ? )? ? ? 5 11 11 17 1 5 5 5 5 3n ? 5 5 5 25 3n ? 3n ? 2 2 2 2 2 2 2



?c
i ?1

n

i

x2 y2 2 20.(本小题满分 13 分)已知 F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P (?1, )在 a b 2
椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 ; (1)求椭圆的标准方程; (2)⊙ O 是以 F1F2 为直径的圆,一直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并与椭圆交于不同的两点 A, B .当

OA? OB ? ?, ,且满足 ? ? ?

2 3

3 时,求 ?AOB 面积 S 的取值范围. 4

?点M是线段PF2的中点 . 解:( 1 ) ? PM ? F2 M ? 0 ?OM是?PF OM ? F1F2 ,? PF 1 F2的中位线,又 1 ? PF 2.

? c ?1 ?1 1 ?? 2 ? 2 ? 1 ? a 2 2b 2 2 ?a ? b ?c
∴椭圆的标准方程为

解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1
x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)∵圆 O 与直线 l 相切 ?
2

m k ?1
2

? 1,即m2 ? k 2 ? 1

?x ? ? y2 ? 1 消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km x? 2m 2 ? 2 ? 0 ? ? y ? kx ? m ∵直线 l 与椭圆交于两个不同点,?? ? 0 ? k 2 ? 0, 设 A( x1, y2 ), B( x2 , y2 ) ,则
由? 2

4km 2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 2 2 , x ? x ? , y y ? ( kx ? m )( kx ? m ) ? k x x ? km ( x ? x ) ? m ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1? k 2 2 3 2 1? k 2 3 2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?? ? ?? ? ? ? ? 解得: ? k ? 1 2 2 2 1 ? 2k 3 4 3 1 ? 2k 4 x1 ? x2 ? ?

1 1 1 4km 2 2m2 ? 2 S ? S?AOB ? ? AB ?1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? (? ) ? 4 ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

2(k 4 ? k 2 ) 4(k 4 ? k 2 ) ? 1

设u ? k 4 ? k 2

3 2u ?3 ? 则 ? u ? 2, S ? , u ? ? , 2? 4 4u ? 1 ?4 ?

3 6 2 6 2 ?3 ? ? S关于u在? ,2?单调递增, S( ) ? , S (2) ? ,? ?S? 4 4 3 4 3 ?4 ? 1 21.(本小题满分 14 分)设知函数 f ( x) ? ? x ? a ln x (a ? R) ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数) . x
(1)若函数 f ( x ) 在定义域上不单调,求 a 的取值范围; (2)设函数 f ( x ) 的两个极值点为 x1 和 x2 ,记过点 A( x1, f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k ,是否 存在 a ,使得 k ?

2e a ? 2 ?若存在,求出 a 的取值集合;若不存在,请说明理由. e ?1
2

解(1) f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,并求导 f ( x) ? ?
/

1 a x 2 ? ax ? 1 ? 1 ? ? ? , x2 x x2

2 2 令 g ( x) ? x ? ax ? 1,其判别式 ? ? a ? 4 ,由已知必有 ? ? 0 ,即 a ? ?2 或 a ? 2 ;

①当 a ? ?2 时, g ( x) 的对称轴 x ?
/

a ? 1且 g (0) ? 1 ? 0 ,则当 x ? (0,??) 时, g ( x) ? 0 , 2

即 f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减,不合题意; ②当 a ? 2 时, g ( x) 的对称轴 x ?

a ? 1 且 g (0) ? 1 ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 有两个不等 x1 和 x2 ,且 2

x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) , x1 ? x2 ? 1,

当 x ? (0, x1 ) , x ? ( x2 ,??) 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f / ( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 (0, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减;在 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 综上可知, a 的取值范围为 (2,??) ; (2)假设存在满足条件的 a ,由(1)知 a ? 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2

所以 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ln x1 ? ln x2 , ?? ?1? a x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2

若k ?

2e ln x1 ? ln x2 2e a ? 2 ,则 ,由(1)知,不妨设 x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) 且有 x1 ? x2 ? 1, ? 2 e ?1 x1 ? x2 e ?1
2

e2 ? 1 1 e2 ? 1 (ln x1 ? ln x2 ) ,即 ? x2 ? 则得 x1 ? x2 ? ln x2 ? 0, x2 ? (1,??) 2e x2 2e
设 F ( x) ?

?????(*)

1 e2 ? 1 ?x? ln x ( x ? 1) , x e

1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 / 并记 x ? [ ? ( ) ? 4 ] , x2 ? [ ? ( ) ? 4 ], 2 2e 2e 2 2e 2e
/ 1

/ / / 则由(1)②知, F ( x) 在 (1, x2 ) 上单调递增,在 ( x2 ,??) 上单调递减,且 0 ? x1/ ? 1 ? x2 ?e,

又 F (1) ? F (e) ? 0 ,所以当 x ? (1, e) 时, F ( x) ? 0 ;当 x ? (e,??) 时, F ( x) ? 0 , 由方程(*)知, F ( x2 ) ? 0 ,故有 x2 ? e ,
2 又由(1)知 g ( x2 ) ? x2 ? ax2 ? 1 ? 0 ,知 a ? x2 ?

1 1 1 , ? e ? (? y ? x ? 在 [e ? ?) 上单调递增) x x2 e

又 a ? 2 ,因此 a 的取值集合是 {a | a ? e ? } .

1 e


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