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正弦定理和余弦定理试题(含答案)2


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基础达标: 1. 在△ABC 中,a=18,b=24,∠A=45°,此三角形解的情况为( A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 ) )

2.在△ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 2, c ? 6 ? 2 ,则∠A 的度数是 ( A. 30°

B. 45° C. 60° ) D. 30? ) D. 75°

3.Δ ABC 中,若 a2=b2+c2+bc,则∠A=( A. 60? B. 45? C. 120?

4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°

5.在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45?.求 A、C 及 c. 6.在 ?ABC 中,若 B ? 450 , c ? 2 2 , b ?
4 3 ,求 A . 3

7. 在 ?ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形. 8.在 ?ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,求 A .

能力提升: 9.锐角Δ ABC 中,若 C=2B,则 A.(0,2) B. ( 2 ,2)
AB 的取值范围是( AC

)

C. ( 2 , 3)

D. ( 3,2) )

10. 已知在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么 cosC 的值为( A. ?
1 4 B. 1 4 C. ? 2 3 D. 2 3

11. 等腰三角形底边长为 6,一条腰长 12,则它的外接圆半径为( A.
16 15 5

)

B. 4 3

C.

8 15 5

D. 6 3

12.在 ?ABC 中,已知三边 a 、 b 、 c 满足 ? a ? b ? c?? a ? b? ? ? ab c 3 ,则 C =
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(

) A. 15? B. 30? C. 45? D. 60? ) 。

13.钝角 ?ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( A、1、2、3 B、2、3、4 C、3、4、5

D、4、5、6

sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,则∠A=_______. sin B 5 a?b?c ? _____ . 15. 在△ABC 中,∠A=60°,b=1,c=4,则 sin A ? sin B ? sin C

14.在Δ ABC 中,BC=3,AB=2,

16. 在△ABC 中,∠B=120°,sinA:sinC=3:5,b=14,则∠B 平分线的长为 _____.

综合探究: 17.已知钝角 ?ABC 的三边为: a ? k , b ? k ? 2 , c ? k ? 4 ,求实数 k 的取值范围. 18.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,证明:
a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? . sin C c2

参考答案: 基础达标: 1.B 5.解析: 解法 1:由正弦定理得: sin A ? ∴∠A=60?或 120?
b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? 当∠A=60?时,∠C=75? , c ? ; ? sin B 2 sin 45

2.A

3.C

4.B

a sin B 3 sin 45? 3 ? ? b 2 2

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b sin C 2 sin 15? 6? 2 当∠A=120?时,∠C=15?, c ? . ? ? ? sin B 2 sin 45

解法 2:设 c=x,由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 将已知条件代入,整理: x 2 ? 6x ? 1 ? 0 解之: x ?
6? 2 2
2?( 6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

b2 ? c2 ? a2 6? 2 ? 当c ? 时, cos A ? 2bc 2

从而∠A=60? ,∠C=75?; 当c ? 6.∵
6? 2 时,同理可求得:∠A=120? ,∠C=15?. 2

b c ? , sin B sin C

∴ sin C ?

c sin B 2 2 ? sin 45? 3 ? ? , 4 b 2 3 3

∵ 0 ? C ? 180? ,∴ C ? 60? 或 C ? 120? ∴当 C ? 60? 时, A ? 75? ; 当 C ? 120? 时, A ? 15? , ; 所以 A ? 75? 或 A ? 15? . 7.由余弦定理的推论得:
cos A? b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7

A ? 56020? ;

cos B ?

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 2ca 2?134.6?161.7

? 0.8398,

B ? 32053? ;

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C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?)

8.∵ bc ?b2 ? c 2 ? a 2 , ∴由余弦定理的推论得: cos A? b ∵ 0 ? A ? 180? , ∴ A ? 60? . 能力提升: 9.C 10.A 11.C
2

? c2 ? a2 1 ? 2bc 2

12.D.由 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab ,得 a2 ? b2 ? 2ab ? c2 ? 3ab ∴由余弦定理的推论得: cos C ? ∵ 0 ? C ? 180? , ∴ C ? 60? . 13.B;只需要判定最大角的余弦值的符号即可。 选项 A 不能构成三角形; 选项 B 中最大角的余弦值为
22 ? 32 ? 42 1 ? ? ? 0 ,故该三角形为钝角三角形; 2? 2?3 4 32 ? 42 ? 52 ? 0 ,故该三角形为直角三角形; 2? 4?3 a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2

选项 C 中最大角的余弦值为: 选项 D 中最大角的余弦值为 14.120?
2 39 3 15 16. 4

4 2 ? 52 ? 6 2 1 ? ? 0 ,故该三角形为锐角三角形. 2? 4?5 8

15.

综合探究:
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17.∵ ?ABC 中边 a ? k , b ? k ? 2 , c ? k ? 4 , ∴ a ? k ? 0 ,且边 c 最长, ∵ ?ABC 为钝角三角形 ∴当 C 为钝角时
a 2 ? b2 ? c 2 ?0, ∴ cos C ? 2ab

∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 , 即 a 2 ? b2 ? c 2 ∴ k 2 ? (k ? 2)2 ? (k ? 4)2 , 解得 ?2 ? k ? 6 , 又由三角形两边之和大于第三边: k ? (k ? 2) ? k ? 4 ,得到 k ? 2 , 故实数 k 的取值范围: 2 ? k ? 6 . 18.证法一:由正弦定理得:
a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B cos 2B ? cos 2 A ? ? c2 sin 2 C 2sin 2 C

=

?2sin( B ? A)sin( B ? A) sin C sin( A ? B ) sin( A ? B) = = . 2sin 2 C sin 2 C sin C

证法二:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,
a 2 ? b 2 c 2 ? 2bc cos A 2b ? 1 ? ? cos A , 则 2 ? 2 c c c

又由正弦定理得 ? ∴

b c

sin B , sin C

a 2 ? b2 2sin B sin C ? 2sin B cos A ? 1? ? cos A ? 2 c sin C sin C
?

sin( A ? B) ? 2sin B cos A sin C s iA n cB o s B s i n ? A c?o A s Bs i n ( ? ? . s i Cn C i n s sin( A ? B) sin A cos B ? sin B cos A ? 证法三: . sin C sin C sin A a sin B b ? , ? , 由正弦定理得 sin C c sin C c
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)

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sin( A ? B ) a cos B ? b cos A ? , sin C c

又由余弦定理得
sin( A ? B) ? sin C a? a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ?b? 2ac 2bc c
(a 2 ? c 2 ? b2 ) ? (b2 ? c 2 ? a 2 ) 2c 2

?

?

a 2 ? b2 . c2

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