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4.1 用向量讨论垂直与平行


选修 2-1 第二章编写 蒋兴安班级 姓名

课题:§4.1用向量讨论垂直与平行
学习目标: 1、 理解直线的方向向量和平面的法向量, 能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面位置关系。 2、掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题. 学习重点:用向量方法证明立体几何中的垂直与平行问题. 学习难点:正确建立空间直角坐标系,用向量语言解决立

体几何中的垂直与平行问题。

【自主学习】预习教材第 40~41 页,完成下列问题.
1、用向量法证明空间中的垂直关系 (1)直线与直线垂直:只要两直线的________________垂直,两直线必垂直. (2)直线与平面垂直:直线的____________若与平面的___________平行,则直线与平面垂直;反之亦成 立. (3)平面与平面垂直:平面与平面垂直的充要条件是:__________________________. 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 π1,π2 的法向量分别为 n1,n2. (1)线线垂直:l⊥m?____________?_____________________ (2)线面垂直:l⊥π1?____________?____________________ (3)面面垂直:π1⊥π2?____________?_____________________ 2.用向量法证明空间中的平行关系 (1)直线与直线平行:只要两条直线的__________________. (2)直线与平面平行:直线的____________若与平面的__________垂直,则直线与平面平行. (3)平面与平面平行:当两平面的_____________时两平面平行. 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 π1,π2 的法向量分别为 n1,n2. (1)线线平行:l∥m?____________?_____________________ (2)线面平行:l∥π1?____________?____________________ (3)面面平行:π1∥π2?____________?_____________________ 3、三垂线定理 (1)三垂线定理:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的________,则这两条直线垂 直. (2)三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线,则这条直线也垂直于直线在该 平面内的________.

【预习自测】完成课本第 41 页练习题.
1.若直线 l 的方向向量为 a=(-1,0,2),平面 α 的一个法向量为 n=(-2,0,4),则( A.l∥α B.l⊥α C.l?αD.l 与 α 斜交 ) 15 D.x=6,y= 2 )

→ → → → 2.已知AB=(2,4,5),CD=(3,x,y),若AB∥CD,则( A.x=6,y=15 15 B.x=3,y= 2

C.x=3,y=15

【合作探究】

1、用向量证明垂直问题 探究 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点. 求证:EF⊥平面 B1AC.

2、用向量证明平行问题 探究 2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

【基础检测】
1.已知直线 l1 的方向向量为 a=(2,4,x),直线 l2 的方向向量为 b=(2,y,4),且 l1⊥l2,则 x+y=( A.-1 B.1 C.0 D.无法确定 )

2.如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B、AC 的中点, 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( A.相交 B.平行 )

C.垂直 D.不能确定

3.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= 2 1 A D,AF= AC,则( 3 1 3 )

A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF 与 A1D,AC 都垂直 C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面


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