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重点中学高二期末综合检测题

时间:2015-02-01


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z 满足 A. ? 2 ? i A. [?1,??) 3.下列结论正确的是(
1 ? 2i ? i ,则 z =( z

) C. 2 ? i C. [ 2 ,??) D. 2 ? i

B. ? 2 ? i B. [?1, 2 ] )

/>2. 已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ?

2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
D. ?



A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a

? λb

B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a, b <0” C.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x D.若命题 P : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? P : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 4.一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形, 则该几何 体外接球的体积是( ) A. 36? B. 9? C. 9 ?
2
2

?1

D. 27 ?
8

5.等比数列 an 的前 n 项和为 Sn , S 2 n ? 4(a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ), a1a2 a3 ? 27 ,则 a6 =( A.27 B.81 C.243 D.729

? ?



6.设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? 期是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称,它的周 3

A. f ( x) 的图象过点 (0, ) B. f ( x) 的一个对称中心是 ( C. f ( x) 在 [

1 2

, ] 上是减函数 12 3 D.将 f ( x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3 sin ?x 的图象
? x ? y ? 1, ? 7.已知函数若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最 ?2 x ? y ? 2, ?
小值,则实数 a 的取值范围是( A. ( ?4, 2) B. ( ?4,1) ) C. (??, ?4)

? 2?

5? ,0) 12

(2, ??)

D. ( ??, ?4)

(1, ??)
2 , 2

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 则下列结论中错误 的个数是 ( .. )

(1) AC⊥BE; (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为

2 ; 2

(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值; (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条; (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40°并且与平面 BEF 所成角为 50°的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知椭圆 C1 :

x2 a12

?

y2 b12

? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x2 a2 2

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦

点 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,e1,e2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 ? PF2, 则 4e1 ? e2 的最小值为( A.
2 2

) C.

5 2

B.4

9 2

D.9

10.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x (1 ? x ); ③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1, 0) (1, ? ?) 其中正确命题个数是: A、1 B、2 C、3 ②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 D、4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
?
?

11.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2,0),| a |=1,则| a +2 b |= 4 5 12.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,且 α,β∈(0,π ),则 sin α 的值为 3 13 13. 若函数 f ? x ? ?

?

?

?

?

. .

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 定义域为 R,则 a 的取值范围是________[-1,0]

14.已知两个正数 a, b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c,在 a, b, c 三个数中取两 个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一 次操作. 若 p ? q ?0, 经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1) ( p ? 1) ? 1(m, n 为正整数) , 则 m ? n 的值为 .
m n

(0, ? ?) 15. 已知定义域为 的函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0,??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x)
成立;当 x ? (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x 。给出如下结论:
m ? ?) ①对任意 m ? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;②函数 f ( x) 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得

f (2 n ? 1) ? 9 ;④“函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使
得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” 。其中所有正确结论的序号是 124 。

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n +1 2 2 2 ? 11 (1)若 x ? [0, ] , f ( x ) ? ,求 cos x 的值; 2 10 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f ( x )
16.已知向量 m ? (cos 的取值范围. 【答案】

17.(12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ? a1an ? S1 ? S n 对一切正整数 n 都成立. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 的前 n 项和最大? } an

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD;

1 AD=1,CD= 3 . 2

(2)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设

=t

,试确定 t 的值.

20. 设点 P( x, y )( y ? 0) 为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点) ,点 P 到定点 M (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 1 与点 P 的轨迹相交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 6 ,求 k 的值. (3)设点 P 的轨迹是曲线 C,点 Q(1, y0 ) 是曲线 C 上的一点,求以 Q 为切点的曲线 C 的 切线方程. 【答案】解: (1)过 P 作 x 轴的垂线且垂足为 N,由题意可知 | PM | ? | PN |?

1 2

1 . 2

1 2

| PN |? y ,? x ? ( y ? ) ? y ? 而 y ? 0 ,?
2 2

1 2

1 2

化简得 x 2 ? 2 y( y ? 0) 为所求的方程。??4 分 (2)设 A( x1 , y1 ),B ( x2 , y 2 ) ,联立 ?

? y ? kx ? 1
2 ?x ? 2 y

得 x ? 2kx ? 2 ? 0
2

? x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? ?2
| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2 4k 2 ? 8 ? 2 6

? k 4 ? 3k 2 ? 4 ? 0 而 k 2 ? 0 ,? k 2 ? 1

? k ? ?1 ??8 分

已知函数 (1)若 在

. 上存在零点,求实数 的取值范围;

(2)当 的取值范围.

时,若对任意的

,总存在

使

成立,求实数

试题解析: (1)

的对称轴为

, 所以



上单调递减, 且函数



存在零点,所以 故实数 的取值范围为 (2)由题可知函数

即 . 的值域为函数

解得



的值域的子集 ,

以下求函数 ① 时,

的值域: 为常函数,不符合题意;





,∴

解得





, 的取值范围为

,∴ .

解得



综上所述,


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