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江苏省淮安市淮海中学2015-2016学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

时间:


淮安市淮海中学 2015-2016 学年度第一学期月考 高二年级数学试卷

考试时间:120 分钟

总分:160 分

一、填空题:本题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分。 1、函数 f ( x) ? x cos x ? sin x 的导数 f ?( x) ? ▲_ ;

2、已知两点 A(

0, 0)、B(6, 0) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程为___▲____. 3、过点 (?2,3) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为 ▲ ;

4、双曲线

x2 ? y 2 ? 1一个焦点是 F (3, 0) ,则 m = m
2





5、直线 x ? 3y ? 2 3 ? 0 被圆 x

? y 2 ? 4 截得的弦长为 ▲

6、曲线 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1, ?3) 处的切线方程是____▲ _______; 7、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ________▲__ ______;

8、在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则 该椭圆的离心率 e ? ▲ ;

A ? P F 9、 已知点 P 在抛物线 x2 ? 4 y 上运动,F 为抛物线的焦点, 点 A 的坐标为 (2,3) , 则P
的最小值为 ▲ ;

10、已知直线 y ? x ? m 被椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1截得的弦长为

2 2 ,则 m 的值为 5





11、椭圆

x2 ? y 2 ? 1 内接矩形面积的最大值为 4





12 、若双曲线 C 的渐近线方程为 y = ? 2 x ,且经过点 (2,2 2) ,则双曲线 C 的准线方程为 ▲ ;

13、已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如最左图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) , 下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是_____▲_

y y=xf'(x)
1 -1
o

y
1

y
2 1
o

y
4
o

y
4 2 1

x

2 1 -2 -1 -2 1 23 x

-1

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x









14.设 e1 , e2 分别是具有公共焦点 F1、F2 的椭圆与双曲线的离心率,P 为它们的一个交点,
1 并且满足 PF 1 ? PF2 ? 0,那么,

e ? e2 ? (e1e2 ) 2

2

2





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字 说明、求证过程或演算步骤. 15、(本题满分 14 分) 已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点, (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.

16、(本题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心坐标为(2,-1),且与 x 轴相切 (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P(3,2)且与圆 C 相切的直线方程; (3)若直线过点 P(3,2)且与圆 C 相切于点 Q,求线段 PQ 的长。

17、(本题满分 14 分)

已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交, 且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程.

18、(本题满分 16 分)

x2 y 2 已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点,它的准线经过双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左焦点 F 1 且垂直 a b
于 C2 的两个焦点所在的轴,若抛物线 C1 与双曲线 C2 的一个交点是 M ( , (1)求抛物线 C1 的方程及其焦点 F 的坐标; (2)求双曲线 C2 的方程及其离心率 e .

2 2 6 ). 3 3

19、 (本题满分 16 分) 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随圆”.已知椭圆

x2 y2 a b

2

2

2

2

C 的离心率为

3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴随圆

C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

20、(本题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P (4 , 0) , M 、 N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交椭圆 C 于另一点 E ,求直线 PN 的斜率的取值范围; (3)在⑵的条件下,证明直线 ME 与 x 轴相交于定点.

一、填空题:本题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分。 1、 2 cos x ? x sin x ;
2 2、 ? x ? 3 ? ? y ? 9 ; 2

3、2x+y+1=0; 4、8; 5、2 6、 5x ? y ? 2 ? 0 7、 e ;

8、

3 ?1 ; 2

9、4;

10、 ? 1 ;

11、4; 13、③;

12、 x ? ? 14、2 .

10 5

15、(本题满分 14 分) 解:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)λ (x-2y)=0, 即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, ∴ ?2 分

10 ? 5? ? 5 (2 ? ? ) 2 ? (1 ? ? ) 2

=3. ??4 分

即 2λ 2-5λ +2=0,∴λ =2 或

1 . 2

∴l 方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.??7 分 (2)由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距 ?x ? 2 y ? 0

离,则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10 .????14 分 16. (本题满分 14 分) (1)(x—2) +(y+1) =1(4 分); (2) x ? 3或4 x ? 3 y ? 6 ? 0 (9 分); (3)3(14 分)
2 2

17. (本题满分 14 分)



f′(x)=

1

2 x

,g′(x)= (x>0),

a x

? x=aln x, ? 由已知得? 1 a = , ? ?2 x x
e 2 解得 a= ,x=e . 2 因为两曲线交点坐标为(e ,e),切线的斜率为 k=f′(e )= 1 2 2 所以切线方程为 y-e= (x-e ),即 x-2ey+e =0. 2e 18. (本题满分 16 分) (1)由题意可设抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 2 px . 把M( , ?????(2 分) ????(4 分) ?(5 分)
2 2

1 , 2e

(14 分)

2 2 6 ) 代入方程 y 2 ? 2 px ,得 p ? 2 3 3

因此,抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x . 于是焦点 F (1, 0) ?(8 分)

(2)抛物线 C1 的准线方程为 y ? ?1 ,所以, F1 (?1,0) 而双曲线 C2 的另一个焦点为 F (1, 0) ,于是

?????(9 分)

2a ? MF1 ? MF ?
因此, a ?

7 5 2 ? ? 3 3 3
????(10 分) 又因为 c ? 1 ,所以

1 3 8 . 9

b2 ? c2 ? a 2 ?

??(12 分)

于是,双曲线 C2 的方程 为

x2 y 2 ? ?1 1 8 9 9

??(14 分)

因此,双曲线 C2 的离心率 e ? 3 . 19、解:(1)记椭圆 C 的半焦距为 c. 由题意,得 b=1, = 解得 a=2,b=1. .???4 分

???(16 分)

c a

3 2 2 2 ,c =a +b , 2

(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m, 即 kx-y+m=0. ???????6 分

x2

2

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,

kx+m, ?y= ? 2 x 故方程组? 2 ? 4 +y =1 ?
有且只有一组解.

(*)

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. 从而△=(8km) -4(1+4k )( 4m -4)=0. 化简,得 m =1+4k .①
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

?10 分

因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2 2,所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m|

k2+1

= 3.
2


2

?14 分

由①②,解得 k =2,m =9. 因为 m>0,所以 m=3. 20. (本题满分 16 分) 解⑴由题意知 e ?
c 3 c 2 a 2 ? b2 3 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? 4b 2 , a 2 a a2 4 2 x2 ? 1 ,所以 a 2 ? 4, b2 ? 1,故椭圆 C 的方程为 C : ? y 2 ? 1 .?4 分 又因为 b ? 4 1?1

16

⑵由题意知直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 消去 y 得: (4k 2 ? 1) x2 ? 32k 2 x ? 4(16k 2 ? 1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4



由 ? ? (32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(64k 2 ? 4) ? 0 得 12k 2 ? 1 ? 0 ,又 k ? 0 不合题意, 所以直线 PN 的斜率的取值范围是 ?
3 3 ? k ? 0 或0 ? k ? .?????10 分 6 6

⑶设点 N ( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,则 M ( x1 , ? y1 ) , 直线 ME 的方程为 y ? y2 ?
y2 ? y1 y ( x ? x1 ) ( x ? x2 ) , 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? 2 2 , x2 ? x1 y2 ? y1

将 y1 ? k ( x1 ? 4), y2 ? k ( x2 ? 4) 代入整理,得 x ? 由得① x1 ? x2 ?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8



32k 2 64k 2 ? 4 代入②整理,得 x ? 1 , , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
????????16 分

所以直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1, 0) .


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