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江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷

时间:2015-10-24


2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(上)9 月月考 数学试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.点 P(﹣1,2)在不等式 2x+3y﹣b>0 表示的区域内,则实数 b 的范围是 2.已知 xy=4 (x>0,y>0) ,x+y 的最小值是 M,则 M= 3.函数 y=lg(2x﹣x )的定义域是 4.不等式 ≥0 的解集为

2





. . (用区间表示)

5.函数 f(x)=x+ (x≠0)的值域为



6.如图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是



7.函数 f(x)=kx+1 在上恒为正数,则实数 k 的范围是 8.已知集合 A={y|y=|x|,x∈R},B={y|y=1﹣2x﹣x },则 A∩B= 9.若关于 x 的不等式 ax ﹣6x+a <0 的解集是(1,m) ,则 m= 10.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=
2 2 2

. . . .

11.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的函数序号是



(1)y=x+ ; (2)y=lgx+

; (3)y=

; (4)y=x ﹣2x+3.

2

12.一批材料可以建成 200m 长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场,中 间隔成 3 个面积相等的矩形(如图) ,则围成的矩形最大总面积为 .

13.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) .若点 M(x,y)为平面区域

上的一个动点,



的取值范围是



14.若对任意 x>0,

≤a 恒成立,则 a 的取值范围是



二、解答题(共 90 分) 15.已知函数 f(x)=﹣x +5x﹣6,求: (1)y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 x 的集合; (2)y=f(x)的图象在 x 轴上方时横坐标 x 的集合; (3)y=f(x)的图象恒在直线 y=a+1 下方时横坐标 x 的集合. 16.过点 P(1,2)的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(a,0) ;B(0,b) (其中 a>0,b >0) ,分别求满足下列条件的直线 l 的方程. (1)a=b; (2)三角形 AOB 的面积最小. 17.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨 乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得 利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.如何安 排生产该企业可获得最大利润?最大利润为多少? 18.设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)m= 时,写出不等式:f( )<0 的解集;
2 2

(2)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围. 19.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣4x 的解集为(1,3) .

(1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围.

20.已知不等式(2+x) (3﹣x)≥0 的解集为 A,函数 f(x)= 义域为 B. (1)求集合 A; (2)若 B? A,试求实数 k 的取值范围; (3)若 B=且 x1<x2,又(x1+1) (x2+1)=﹣4,求 x2﹣x1 的值.

(k<0)的定

2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(上)9 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.点 P(﹣1,2)在不等式 2x+3y﹣b>0 表示的区域内,则实数 b 的范围是 b<4 . 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据点 P(﹣1,2)在不等式 2x+3y﹣b>0 所表示的平面区域内,将点的坐标代入, 列出关于 b 的不等式,求出实数 b 的取值范围. 解答: 解:∵P(﹣1,2)在不等式 2x+3y﹣b>0 表示的区域内, ∴﹣2+6﹣b>0, 解得 b<4, 则实数 b 的范围是 b<4, 故答案为:b<4. 点评: 考查二元一次不等式(组)与平面区域,理解二元一次不等式表示的平面区域,会利 用数形结合的数学思想解决问题. 2.已知 xy=4 (x>0,y>0) ,x+y 的最小值是 M,则 M= 4 . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式 x+y 求解即可. 解答: 解:∵xy=4 (x>0,y>0) , x+y =2 =4, (x=y=2 时等号成立) ∴x+y 的最小值是 4, 故答案为:4 点评: 本题考查了基本不等式的运用,属于容易题. 3.函数 y=lg(2x﹣x )的定义域是 (0,2) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由对数式的真数大于 0,然后求解二次不等式得答案. 解答: 解:由 2x﹣x >0,得 x ﹣2x<0, 解得 0<x<2, ∴函数 y=lg(2x﹣x )的定义域是(0,2) . 故答案为: (0,2) . 点评: 本题考查了对数型函数的定义域的求法,考查了二次不等式的解法,是基础题.
2 2 2 2

4.不等式

≥0 的解集为 ∪∪∪上恒为正数,则实数 k 的范围是 (﹣1,1)



考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=kx+1 在上恒为正数,则 解答: 解:函数 f(x)=kx+1 在上恒为正数, 则 , ,解得实数 k 的范围.





解得:k∈(﹣1,1) , 故实数 k 的范围是(﹣1,1) , 故答案为: (﹣1,1) 点评: 本题考查的知识点是一次函数的性质与图象,其中根据已知得到 解答的关键. 8.已知集合 A={y|y=|x|,x∈R},B={y|y=1﹣2x﹣x },则 A∩B= {y|0≤y≤2} 考点: 专题: 分析: 解答:
2

,是



交集及其运算. 集合. 由 y=|x|求出集合 A,利用配方法和二次函数的求出集合 B,再由交集的运算求 A∩B. 解:由 y=|x|≥0 得,则集合 A={y|y≥0},
2 2

由 y=1﹣2x﹣x =﹣(x+1) +2≤2 得,则 B={y|y≤2}, 所以 A∩B={y|0≤y≤2}, 故答案为:{y|0≤y≤2}. 点评: 本题考查交集及其运算,以及函数的值域,属于基础题. 9.若关于 x 的不等式 ax ﹣6x+a <0 的解集是(1,m) ,则 m= 2 . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由二次不等式的解集形式,判断出 1,m 是相应方程的两个根,利用韦达定理求出 m 的值. 解答: 解:∵ax ﹣6x+a <0 的解集是 (1,m) , , ∴a>0, 1,m 是相应方程 ax ﹣6x+a <0 的两根, 解得 m=2;
2 2 2 2 2 2

故答案为:2. 点评: 本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及三个二次之间的关系,其中根据三个 二次之间的关系求出 a 的值,是解答本题的关键. 10.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a= 3 .

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 将 f(x)=x+ 化成 x﹣2+ +2,使 x﹣2>0,然后利用基本不等式可求出最小

值,注意等号成立的条件,可求出 a 的值. 解答: 解:f(x)=x+ =x﹣2+ +2≥4

当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立. ∵x=a 处取最小值, ∴a=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,注意“一正、二定、三相等” ,属 于基础题. 11.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的函数序号是 (4) . (1)y=x+ ; (2)y=lgx+ ; (3)y= ; (4)y=x ﹣2x+3.
2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴y=x+

基本不等式在最值问题中的应用. 函数的性质及应用. 根据基本不等式,对钩函数的单调性分别求出最值,及范围即可判断. 解:∵x>0, =4, (x=2 时等号成立) , ; ≥2(x>1)或 lgx+ ≤﹣2, (0<x<1)

∵y=lgx+ ∴gx+

∵y=

(x>0) ,


2

>2,

∵y=x ﹣2x+3, (x>0) , ∴当 x=1 时,最小值为 1﹣2+3=2,

最小值为 2 的函数序号(4) , 故答案为: (4) 点评: 本题考察了函数的单调性,基本不等式的应用 属于中档题. 12.一批材料可以建成 200m 长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场,中 间隔成 3 个面积相等的矩形(如图) ,则围成的矩形最大总面积为 2500m
2



考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 设出宽,进而可表示出长,利用矩形面积公式求得面积的表达式,进而利用二次函数 的性质求得矩形面积的最大值. 解答: 解:设每个小矩形的高为 am,则长为 b= (200﹣4a) ,记面积为 Sm
2 2

则 S=3ab=a?(200﹣4a)=﹣4a +200a(0<a<50) 2 ∴当 a=25 时,Smax=2500(m ) 2 ∴所围矩形面积的最大值为 2500m 2 故答案为:2500m 点评: 本题主要考查了函数的最值在实际中的应用.考查了学生运用所学知识解决实际问题 的能力,设出自变量和因变量,将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键.

13.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) .若点 M(x,y)为平面区域

上的一个动点,



的取值范围是



考点: 简单线性规划;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 分析: 先画出满足约束条件 的平面区域, 求出平面区域的角点后, 逐一代入

分析比较后,即可得到

的取值范围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1

当 x=0,y=2 时, 故 和取值范围为

=﹣1×0+1×2=2

故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是线性规划的简单应用,其中画出满足条件的平面区域,并将三个 角点的坐标分别代入平面向量数量积公式,进而判断出结果是解答本题的关键. 14.若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 a≥ .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据 x+ ≥2 代入 解答: 解:∵x>0, ∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号) , ∴ = ≤ = ,即 的最大值为 , 中求得 的最大值为 进而 a 的范围可得.

故答案为:a≥ 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 二、解答题(共 90 分) 15.已知函数 f(x)=﹣x +5x﹣6,求: (1)y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 x 的集合; (2)y=f(x)的图象在 x 轴上方时横坐标 x 的集合; (3)y=f(x)的图象恒在直线 y=a+1 下方时横坐标 x 的集合. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
2

分析: (1)解方程﹣x +5x+6=0 即可; 2 (2)解﹣x +5x+6>0 即可; (3)由 f(x)=﹣x +5x﹣6≤﹣(x﹣ ) ﹣6+
2 2 2

2

=﹣(x﹣ ) + ,从而求 a.

2

解答: 解: (1)由﹣x +5x+6=0 解得, x=6 或 x=﹣1; 故 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 x 的集合为{6,﹣1}; (2)由﹣x +5x+6>0 解得, ﹣1<x<6; 故 y=f(x)的图象在 x 轴上方时横坐标 x 的集合为{x|﹣1<x<6}; (3)∵f(x)=﹣x +5x﹣6≤﹣(x﹣ ) ﹣6+ =﹣(x﹣ ) + ; ∴a+1> , 故 a>﹣ . 点评: 本题考查了二次函数的性质应用,属于基础题. 16.过点 P(1,2)的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(a,0) ;B(0,b) (其中 a>0,b >0) ,分别求满足下列条件的直线 l 的方程. (1)a=b; (2)三角形 AOB 的面积最小. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)当 a=b 时可设直线的方程为 + =1,代点可得 a 值,可得方程; (2)由题意易得 + =1,由基本不等式可得 ab≥8,当且仅当 = 即 a=2 且 b=4 时取等号, 由此可得直线方程. 解答: 解: (1)当 a=b 时可设直线的方程为 + =1, 代入点 P(1,2)可得 =1,解得 a=3, ∴直线 l 的方程为 x+y﹣3=0; (2)由题意可得直线的方程为: + =1, 由直线过点 P(1,2)可得 + =1, ∵a>0,b>0,∴1= + ≥2 ∴ ≥2 ,∴ab≥8, ,
2 2 2 2

当且仅当 = 即 a=2 且 b=4 时取等号, ∴三角形 AOB 的面积 S= ab≥4, ∴当三角形 AOB 的面积取最小值 4 时, 直线方程为 + =1 即 2x+y﹣4=0. 点评: 本题考查直线的一般式方程,涉及截距式方程和基本不等式,属基础题. 17.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨 乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得 利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.如何安 排生产该企业可获得最大利润?最大利润为多少? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: 先设该企业生产甲产品为 x 吨,乙产品为 y 吨,列出约束条件,再根据约束条件画出 可行域, 设 z=5x+3y, 再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=5x+3y 过可行域内的点时, 从而得到 z 值即可. 解答: 解:设该企业生产甲产品为 x 吨,乙产品为 y 吨, 则该企业可获得利润为 z=5x+3y,





联立



解得 x=3 y=4, 由图可知,最优解为 P(3,4) , ∴z 的最大值为 z=5×3+3×4=27(万元) . 故答案为:27 万元.

点评: 在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组, 即约束条件? ②由约束条件画出可行域? ③分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系? ④使用 平移直线法求出最优解? ⑤还原到现实问题中. 18.设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)m= 时,写出不等式:f( )<0 的解集;
2

(2)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 m= 时,f(x)= x ﹣ x﹣1,令 f(x)<0,解得:x∈(﹣1,2) ,若 f(
2



<0,则 ∈(﹣1,2) ,进而可得不等式:f( )<0 的解集; (2)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,分 m=0 和 m≠0 两种情况讨论满足条件的 m 的取 值,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)当 m= 时,f(x)= x ﹣ x﹣1, 令 f(x)<0,即 x ﹣ x﹣1<0, 解得:x∈(﹣1,2) , 若 f( )<0,则 ∈(﹣1,2) , 解得:x∈ 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,二次不等式,恒成立问题,是函数与不 等式的综合应用,难度中档. 19.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣4x 的解集为(1,3) . (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 f(x)=ax +bx+c, (a<0) ,由题意得方程 f(x)=﹣4x 两个根是 1,3,由韦 2 2 2 达定理求得 b=﹣4a﹣4, c=3a, 可得 f (x) =ax ﹣4 (a+1) x+3a. 再根据△=16 (a+1) ﹣36a =0, 解得 a 的值,可得 f(x)的解析式. (2)由题意可得
2 2 2 2

>0,再由 a<0 可得 a +8a+4>0,由此求得 a 的范围.

2

解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c, (a<0) ,由题意得方程 f(x)=﹣4x 两个根是 1,3, 即 ax +(b+4)x+c=0 两个根是 1,3,故由韦达定理可得﹣
2 2

=4, =3,

∴b=﹣4a﹣4,c=3a,f(x)=ax ﹣4(a+1)x+3a. 2 再根据方程 f(x)+6a=0,即 ax ﹣4(a+1)x+9a=0 有两个相等的实根, ∴△=16(a+1) ﹣36a =0,解得 a=﹣ , ∴f(x)=﹣ x ﹣
2 2 2

x﹣ .

(2)由于 f(x)=ax ﹣4(a+1)x+3a 的最大值为正数,可得

2

>0,即

<0, 再由 a<0 可得 a +8a+4>0,求得 a<﹣4﹣2 ,或﹣4+2 <a<0, 即 a 的范围是:{a|a<﹣4﹣2 ,或﹣4+2 <a<0 }. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,用待定系数法求函数的解析式,分式不等式的解法, 体现了转化的数学思想,属于基础题.
2

20.已知不等式(2+x) (3﹣x)≥0 的解集为 A,函数 f(x)= 义域为 B. (1)求集合 A; (2)若 B? A,试求实数 k 的取值范围; (3)若 B=且 x1<x2,又(x1+1) (x2+1)=﹣4,求 x2﹣x1 的值. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据不等式的解法即可求集合 A; (2)根据 B? A,建立条件关系即可求实数 k 的取值范围; (3)根据根与系数之间的关系即可求 x2﹣x1 的值 解答: 解: (1)由(2+x) (3﹣x)≥0 得﹣2≤x≤3,即 A=. (2)要使函数有意义,则 kx +4x+k+3≥0, 2 若 B? A,设 g(x)=kx +4x+k+3, (k<0) ,
2

(k<0)的定

则满足







解得﹣4≤k≤


2

(3)要使函数有意义,则 kx +4x+k+3≥0, 若 B=且 x1<x2<0, 2 则 x1,x2 是方程 kx +4x+k+3=0 的两个根且 x1<x2<0, 则 x1+x2= ,x1x2= ,

∵(x1+1) (x2+1)=4, ∴x1x2+x1+x2=3, 即 则 k= 则 x1+x2= = . =8,x1x2=
2 2

=3,

=﹣5,

则(x1﹣x2) =(x1+x2) ﹣4x1x2=64﹣4×(﹣5)=84, ∵x1<x2, ∴x1﹣x2<0, 则 x1﹣x2= =﹣ .

点评: 本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求解,综合考查函数的应用.


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