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宿迁市高三年级第三次模拟考试数学1卷答案


宿迁市 2014 届高三第三次质量检测

数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题 1. ?2,3,4? 8. 7 9. 2. ?2 3.

1 3

4.30

5.16 12. (4, ??)

6. 6 ? 13.

7.

2

3 3

1 2

10.30

11. ?

2 10

13 4

14. (0, )

1 e

二、解答题 15. (1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 , 又C ?

………………………………2 分

π 5π , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ………………………4 分 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ……………………………6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . …………7 分 6 6 6 3 6 6 (2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x ,
由(1)知 A ? C ?

π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3
2π , 3
……10 分

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos 解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , 所以 SΔ ABC ?

………………………12 分

1 1 2π 9 3 BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin ? . …………………………14 分 2 2 3 4 E 16. (1)因为 AD / / BC , AD ? 平面 ADEF , BC ? 平面 ADEF , 所以 BC / / 平面 ADEF , ………………………………3 分 F 又 BC ? 平面 BCEF ,平面 BCEF 平面 ADEF ? EF , 所以 BC / / EF . ………………………………6 分 D (2)在平面 ABCD 内作 BH ? AD 于点 H , C 因为 DE ? 平面 ABCD , BH ? 平面 ABCD , H 所以 DE ? BH , 又 AD , DE ? 平面 ADEF , AD DE ? D , B A 所以 BH ? 平面 ADEF , (第 16 题图) 所以 BH 是三棱锥 B ? DEF 的高. …………………9 分
在直角三角形 ABH 中, ?BAD ? 60o , AB ? 2 ,所以 BH ? 3 , 因为 DE ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AD , 又由(1)知, BC / / EF ,且 AD / / BC ,所以 AD / / EF , 所以 DE ? EF , ………………………………12 分 1 1 1 3 所以三棱锥 B ? DEF 的体积 V ? ? S?DEF ? BH ? ? ? 1? 1? 3 ? . 3 3 2 6 ………………………………14 分
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17. (1)由题意可知,

? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, x ? N* , ? ? 15 ? x …………………………4 分 y ? 2 x(1 ? p) ? px ? ? 3 * ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, x ? N . ? 180 ?3 ? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, ? ? 15 ? x (2)考虑函数 f ( x) ? ? 3 ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, ? 180 ?3 90   ≤ x ≤ 9 时, f '( x) ? 2 ? 当1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 15 ? 3 5 . (15 ? x) 2
当 1≤ x ? 15 ? 3 5 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [1,15 ? 3 5) 上单调增; 当 15 ? 3 5 ? x ≤ 9 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (15 ? 3 5,9] 上单调减. 所以当 x ? 15 ? 3 5 时, f ( x) 取得极大值,也是最大值,

64 64 , f (9) ? 9 ,所以当 x ? 8 时, f ( x) 有最大值 .…10 分 7 7 2 2 5 x 100 ? x ? ≤0, 当 10 ≤ x ≤ 20 时, f '( x) ? ? 3 60 60 所以函数 f ( x) 在 [10, 20] 上单调减, 100 所以当 x ? 10 时, f ( x) 取得极大值 ,也是最大值. 9 100 64 由于 ? ,所以当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大. 9 7 100 答:当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大,最大日利润是 千元.……14 分 9 18. (1)由题意知, B2 (0,1) , A1 (? 3,0) , x2 ? y 2 ? 1 , ………………………2 分 所以 b ? 1 , a ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 3 3 2 3 3 2 4 ,0) , A1M ? ) ? y 2 ? .…4 分 易得圆心 M ( ? ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 3 3 3 3 3 ), (2)证明:设直线 B1 D 的方程为 y ? kx ? 1(k ? ? 3 2 3 3k ? 1 3 x ? 1 联立,解得点 E ( , ) , ……………6 分 与直线 A1 B2 的方程 y ? 3 3k ? 1 3k ? 1 ? y ? kx ? 1 6k 3k 2 ? 1 ? 2 2 G ( , ), (1+3 k ) x ? 6 kx ? 0 联立 ? x 2 , 消去 并整理得, , 解得点 y 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?3
又 x 是整数, f (8) ? ……………9 分

数学Ⅰ卷

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6k 2 GB1 xG 3k 2 ? 3k 3k ? 1 1 ? ? 3k ? 1 ? ? 1? 2 ? 1? (i) 2 2 EB1 xE 3k ? 1 3k ? 1 2 3 ?( 3k ? 1) ? ?2 ?( 3k ? 1) 3k ? 1
≤1 ?
所以

1 2 2?2

?

2 ?1 6? 3 ,当且仅当 k ? ? 时,取等号, 3 2
…………………………12 分

2 ?1 GB1 的最大值为 . 2 EB1

3k 2 ? 1 ?1 2 1 x ? 1 ? ? x ? 1, (ii)直线 B2G 的方程为 y ? 3k ? 1 6k 3k 3k 2 ? 1 ?6k 3k ? 1 3 x ? 1 联立,解得点 F ( , ), 与直线 A1 B1 的方程 y ? ? 3 3k ? 1 3k ? 1
所以 E 、 F 两点的横坐标之和为

……14 分

2 3 3k ? 1

+

?6k 3k ? 1

? ?2 3 .
…………………16 分

故 E 、 F 两点的横坐标之和为定值,该定值为 ?2 3 . 19. (1)因为 anbn ? 2 ,所以 an ?

2 , bn

4 2an bn 2bn 4 则 bn ?1 ? anbn ? , ………………………2 分 ? 2? ? 2? ? 2 1 ? an b ? 2 b ? 2 n n 1? bn 1 1 1 ? ? , 所以 bn ?1 bn 2
又 a1 ? 3 ,所以 b1 ? 即

?1? 2 3 1 ,故 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, b 2 2 3 ? n?

……4 分

1 3 1 n?2 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,所以 bn ? . ………………………6 分 bn 2 2 2 n?2 (2)由(1)知 an ? n ? 2 ,所以 cn ? 2an ? 5 ? 2n ? 1 , ①当 p ? 1 时, cp ? c1 ? 1 , cq ? 2q ? 1 , cr ? 2r ? 1 ,


1 2 1 1 1 ?1? , , 成等差数列,则 (?) , cr 2q ? 1 2r ? 1 cq cp
2 1 ? 1 ,1 ? ?1 , 2q ? 1 2r ? 1 …………………………9 分

因为 p ? q ? r ,所以 q ≥ 2 , r ≥ 3 , 所以( ? )不成立.

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②当 p ≥ 2 时,若 则

1 1 1 , , 成等差数列, cr cq cp

1 2 1 4 p ? 2 q ?1 2 1 1 ? ? ? ? ? ,所以 , 2r ? 1 2 q ? 1 2 p ?1 (2 p ?1)(2 q ?1) 2q ? 1 2 p ? 1 2r ? 1

即 2r ? 1 ?

(2 p ? 1)(2q ? 1) 2 pq ? p ? 2q ,所以 r ? , 4 p ? 2q ? 1 4 p ? 2q ? 1
2

………………………12 分 ………………14 分
2

欲满足题设条件,只需 q ? 2 p ? 1 ,此时 r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,

因为 p ≥ 2 ,所以 q ? 2 p ? 1 ? p , r ? q ? 4 p ? 7 p ? 3 ? 4( p ? 1) ? p ? 1 ? 0 , 即r ? q. …………………………15 分 综上所述,当 p ? 1 时,不存在 q, r 满足题设条件; 当 p ≥ 2 时,存在 q ? 2 p ? 1 , r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,满足题设条件.…16 分 20. (1) f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? , ……2 分 ? x x x 因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 所以 f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) . …………………4 分
(2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 ?

1 , x2 ? 1 , 2a

1 1 >1,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, 2a 2 1 所以 f ( x) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . …………………6 分 2 1 1 1 ②当 ≤ ? ≤1 ,即 ?1≤ a ≤ ? 时, 2 2a 2 1 1 1 f ( x) 在 [ , ? ] 上是减函数,在 [? ,1] 上是增函数, 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x) 的最小值为 f (? ) ? 1 ? ……………………8 分 ? ln(?2a) . 2a 4a 1 1 1 ③当 ? ? ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数, 2a 2 2 1 1 3 所以 f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? a ? ln 2 . 2 2 4 ?1 3 a ? ?1, ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 1 ? ? ln( ?2a ), ? 1 ≤ a ≤ ? , 综上, 函数 f ( x) 在区间 [ ,1] 上的最小值 ? f ( x)?min ? ?1 ? 2 2 ? 4a 1 ? ? ? a ? 0. ?1 ? a, 2 ?
………………………10 分 (3)设 M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为 x0 ?

x1 ? x2 , 2

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直线 AB 的斜率 k1 ?

y1 ? y2 1 ? a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ?

= a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

ln x2 ? ln x1 , x1 ? x2 1 x0

曲线 C 在点 N 处的切线斜率 k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a ) ?

2 , x1 ? x2 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB,则 k1 ? k2 , ln x2 ? ln x1 2 =? 即 , ………………………………13 分 x1 ? x2 x1 ? x2 x 2( 2 ? 1) x 2(t ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 所以 ln ? ,不妨设 x1 ? x2 , 2 ? t ? 1 ,则 ln t ? , ? x2 x1 x1 x1 ? x2 1 ? t 1? x1 ? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?
令 g (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? ? 0, (t ? 1) , g ?(t ) ? ? t (1+t) 2 t (1 ? t ) 2 1? t

所以 g (t ) 在 (1, +?) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 ln t ? 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB.

2(t ? 1) 不成立, 1? t

…………………………16 分

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