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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 三角函数的图像


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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第四章 三角函数

第四章

三角函数

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第5课时 三角函数的图像

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2012· 考纲下载

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理解正弦函数, 余弦函数、 正切函数的图像; 会用“五 点法”画正弦函数、 余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简 图,理解 A、ω、φ 的物理意义.

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请注意!

本课时是高考热点之一,主要考查:①作函数图像, 包括用五点法描图及图形变换作图;②由图像确定解析 式;③考查三角函数图像变换;④图像的轴对称、中心对 称.题型多是容易题.

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1.三角函数图像

①y=sinx,x∈[0,2π]的图像是

.

②y=cosx,x∈[0,2π]的图像是

.

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π π ③y=tanx,x∈(-2,2)的图像是

.

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2.y=Asin(ωx+φ)的图像(A>0,ω≠0) (1)五点作图法

φ 作 y=Asin(ωx+φ)的图像时,五点坐标为 (-ω,0) ,
? ? ?3π-2φ ?π-2φ ? ?2π-2φ ? ? ? ? ? ? ,-A? ? 2ω ,A? ? 2ω ,0? ? 2ω ?, ? ,? ? ?,?

?4π-2φ ? ? ? ,0? ? 2ω ? ?

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(2)变换作图 相位 周期 一、y=sinx ――→ y=sin?x+φ? ――→ y=sin?ωx+φ? 变换 变换 振幅 ――→ y=Asin?ωx+φ? 变换 周期 相位 二 、 y=sinx ――→ y=sinωx ――→ y=sin?ωx+φ? 变换 变换 振幅 ――→ y=Asin?ωx+φ? 变换

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【说明】

前一种方法第一步相位变换是 向左(φ>0)

或向右(φ<0) 平移 |φ|个单位 ,而后一种方法第二步相位变

|φ| 换是向 左(φ>0) 或 向右(φ<0) 移 ω 个单位,要严格区

分,对 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)同样适用.

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π 1.(1)把 y=sinx 的图像向右平移 个单位,得______ 3 的图像. (2)把 y=sinx 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2倍(纵坐标不变)得________的图像.

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π (3)把 y=sin(x-3)的图像上所有点的横坐标缩短到原 1 来的2倍(纵坐标不变)得________的图像. π (4)把 y=sin2x 的图像向右平移6得________的图像.
答案 π π (1)y=sin(x-3) (2)y=sin2x (3)y=sin(2x-3)

π (4)y=sin(2x-3)

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π 2.若把函数 y=f(x)的图像沿 x 轴向左平移 个单位, 4 沿 y 轴向下平移 1 个单位, 然后再把图像上每个点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变), 得到函数 y=sinx 的图像,则 y=f(x)的解析式为( π A.y=sin(2x-4)+1 1 π C.y=sin(2x+4)-1
答案 B
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) π B.y=sin(2x-2)+1 1 π D.y=sin(2x+2)-1

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解析 将 y=sinx 的图像上每个点的横坐标变为原来 的一半(纵坐标保持不变),得到 y=sin2x 的图像,再将所 得图像向上平移 1 个单位,得到 y=sin2x+1 的图像,再 π 把函数 y=sin2x+1 的图像向右平移 个单位,得到 y= 4 π sin2(x-4)+1 的图像, 即函数 f(x)的图像, 所以 f(x)=sin2(x π π -4)+1=sin(2x-2)+1,故选 B.

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3.若 x∈[-π,π],则 y=sinx 和 y=tanx 的图像的交 点个数是( A.2 C.4
答案 B

) B.3 D.5

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解析 在[-π,π]上画 y=sinx 和 y=tanx 的图像.如 图可知,x∈[-π,π]时 y=sinx 和 y=tanx 的图像的交点 个数是 3.

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4.

(2012· 潍坊模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0, π ω>0,|φ|< )的图像如图所示,为了得到 g(x)=sin3x 的图 2 像,则只要将 f(x)的图像( )

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π A.向右平移 个单位长度 4 π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移4个单位长度 π D.向左平移 个单位长度 12
答案 B

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5π π 2π 解析 由题知,函数 f(x)的周期 T=4(12-4)= 3 , 2π 2π 所以 T= 3 = ω , 解得 ω=3, 易知 A=1, 所以 f(x)=sin(3x +φ). 5π 又 f(x)=sin(3x+φ)过点(12,-1), 5π 5π 3π 所以 sin(3×12+φ)=-1, 所以 3×12+φ=2kπ+ 2 , k∈Z,
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π π 所以 φ=2kπ+ ,k∈Z,又|φ|< , 4 2 π π π 所以 φ=4,所以 f(x)=sin(3x+4)=sin[3(x+12)], π 所以将函数 f(x)的图像向右平移12个单位长度可以得 到函数 g(x)=sin3x 的图像,故选 B.

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5.(2011· 大纲全国文)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y π =f(x)的图像向右平移 个单位长度后, 所得的图像与原图 3 像重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 C.6
答案 C

) B.3 D.9

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π 解析 依题意得,将 y=f(x)的图像向右平移 个单位 3 π π ωπ 长度后得到的是 f(x-3)=cosω(x-3)=cos(ωx- 3 )的图 ωπ 像,故有 cosωx=cos(ωx- 3 ),而 cosωx=cos(2kπ+ωx ωπ ωπ - ),故 ωx-(ωx- )=2kπ,即 ω=6k(k∈N*),因此 3 3 ω 的最小值是 6,故选 C.

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题型一

五点法作 y=Asin(ωx+φ )

x x 例 1 用“五点法”画出函数 y= 3sin2+cos2的图像, 并 指出这个函数的周期与单调区间.

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【解析】

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x x x π y= 3sin +cos =2sin( + ), 2 2 2 6

x π 令 T= + ,则列表如下: 2 6 T x y=2sinT 0 π - 3 0 π 2 2π 3 2 π 5π 3 0 3π 2 8π 3 -2 2π 11π 3 0

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在坐标系中描出相应的五点, 再用平滑的曲线连接起 来,如下图所示,再向两端伸展一下.

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2π 从图像观察:该函数的周期为 T= 1 =4π. 2 4π 2π [- +4kπ, +4kπ]为增区间, 3 3 2π 8π [ +4kπ, +4kπ]为减区间(k∈Z). 3 3
4π 2π 【答案】 T=4π [- 3 +4kπ, 3 +4kπ]为增区间, 2π 8π [ +4kπ, +4kπ]为减区间(k∈Z) 3 3

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探究 1 用“五点法”作正、 余弦型函数图像的步骤 是: (1)将原函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的形式; (2)确定周期; (3)确定一个周期内函数图像的最高点和最低点; (4)选出一个周期内与 x 轴的三个交点; (5)列表; (6)描点.
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思考题 1 内的图像.

π ? π 2π? 用描点法作出 y=2sin(2x+ )在?-3, 3 ? 3 ? ?

π π π 2π π 5π 【解】 2(- )+ =- ,2( )+ = , 3 3 3 3 3 3 π π ∴令 2x+ =0,∴x=- . 3 6 π π π 2x+3=2,∴x=12.

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π π 2x+ =π,∴x= . 3 3 π 3π 7π 2x+ = ,∴x= . 3 2 12 列表 π 2x+3 x y π -3 π - 3 - 3 0 π 2 π 3π 2 7π 12 -2

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5π 3 2π 3 - 3

π π π - 6 12 3 0 2 0

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描点作图

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【答案】 略

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题型二
例2 换关系.

三角函数的图像变换

试说明下列函数的图像与函数 y=sinx 图像间的变

π 2π (1)y=sin(x+ );(2)y=sin(2x- )-2; 3 3 π (3)y=|2sinx|;(4)y=cos(2x- ) 3

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π 【解析】 (1)将 y=sinx 图像向左平移 个单位. 3 1 (2)将 y=sinx 图像上各点的横坐标缩短为原来的2, 纵坐标不变,得 y=sin2x 图像;再将 y=sin2x 图像向右 π 2π 2π 平移3个单位, y=sin(2x- 3 )图像; 得 再将 y=sin(2x- 3 ) 向下平移 2 个单位.

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(3)将 y=sinx 图像上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍, 横坐标不变,得 y=2sinx 的图像;再将 y=2sinx 的图像位 于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方. π π (4)y=cos(2x- )=cos( -2x) 3 3
?π ? π π =sin?2-?3-2x??=sin(2x+6) ? ?

【答案】


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探究 2 关于 y=Asin(ωx+φ)函数图像由 y=sinx 的 图像的变换,先将 y=sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单 位, 再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 1 ω倍,再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍,但在(2)题中,是先进行伸缩变换,再进行平移变换, φ 此时平移不再是|φ|个单位,而是| |个单位,原则是保证 x ω 的系数为 1,同时注意变换的方法不能出错.

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思考题 2

(2012· 东北三校一模)要得到函数 f(x)= )

π sin(2x+ )的导函数 f′(x)的图像, 只需将 f(x)的图像( 3

π A.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原 2 来的 2 倍 π B.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原 2 1 来的 2
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π C.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原 4 来的 2 倍 π D.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原 4 1 来的2倍

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π 【解析】 依题意得 f′(x)=2cos(2x+ ),先将 f(x) 3 π π π 的图像向左平移4个单位得到的是 y=sin[2(x+4 )+3 ]= π cos(2x+3)的图像;再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 π (横坐标不变)得到的是 y=2cos(2x+ )的图像,因此选 C. 3
【答案】 C

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题型三

由函数图像求解析式

例 3 已知函数 y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为 M(2,2 2),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0),求这个 函数的解析式. 【思路】 根据题意,可知点 M、N 是函数 y=Asin(ωx

+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0)图像的五个关键点中的两个,可 作出其函数的大致图像,如图所示.
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【解析】 方法一 (最值点法):

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T 根据题意,可知 A=2 2, 4 =6-2=4, 2π π 所以 T=16.于是 ω= = , T 8 π 将点 M(2,2 2)代入 y=2 2sin( x+φ), 8 π 得 2 2=2 2sin( · 2+φ), 8 π π π π ∴sin(4+φ)=1.所以4+φ=2,即 φ=4.
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从而所求函数的解析式是 π π y=2 2sin( x+ ),x∈R. 8 4 方法二 (零点法) π 由方法一可知 T=16,A=2 2,ω= , 8 根据题意知 N 是第二个零点,故 x3=6. π 又由 ωx3+φ=π,得 φ=4.

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探究 3

解决问题的关键是确定初相 φ.本题所用的

三种解法具有普遍性, 对多数的同类变式题均适用. 其中 要注意两点:①“五点法”中的五点是令相位角 ωx+φ π 3 分别为 0、 、π、 π、2π 而确定的;②若用平移解答时, 2 2 应注意是由什么函数经过怎样的平移变换而得到的; ③用 最值求解一定要解出角的通解, 然后根据题意条件, 决定 φ 的取值范围.

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思考题 3 (2011· 江苏)

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函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0) 的部分图像如图所示,则 f(0)的值是________.

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T 7π π π 【解析】 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T 4 12 3 4 2π π π =π,ω= T =2,又函数图像经过点(3,0),所以 2×3+ π π φ=π,则 φ=3,故函数的解析式为 f(x)= 2sin(2x+3), π 6 所以 f(0)= 2sin3= 2 .
【答案】 6 2

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题型四

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函数 y=Asin (ωx+φ )+b 模型的简单应用

例4

如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆

上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈, 图中 OA 与地面 垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面 距离是 h.

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(1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时 间是多少?
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【思路】 (1)以圆心 O 为原点建立平面直角坐标系, 利用三角函数的定义求出点 B 的纵坐标, h 与 θ 之间的 则 关系可求. (2)把 θ 用 t 表示出来代入 h 与 θ 的函数关系式即可.

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【解析】 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平 面直角坐标系,

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π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ-2, π π 故点 B 的坐标为(4.8 cos(θ-2),4.8sin(θ-2)), π ∴h=5.6+4.8sin(θ-2). π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30

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π π ∴h=5.6+4.8sin( t- ),t∈[0,+∞). 30 2 到达最高点时,h=10.4 m. π π π π π 由 sin( t- )=1 得 t- = ,∴t=30, 30 2 30 2 2 ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.

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探究 4 面对实际问题时, 能够迅速地建立数学模型 是一项重要的基本技能. 这个过程并不神秘, 比如本例题, 在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数 学语言”,这个过程就是数学建模的过程,在高考中,将 实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有: 求 出三角函数的解析式; 画出函数的图像以及利用函数的性 质进行解题.

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思考题 4 已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t),下面是 某日各时的浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

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经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y= Acosωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小正周 期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好 者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的 8:00 至 20: 00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

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【解析】 (1)由题意知,T=12, 2π 2π π ∴ω= T =12=6. 由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5.① 由 t=3,y=1.0 得 b=1.0.② ∴A=0.5,b=1. 1 1 π ∴振幅为2.∴y=2cos6t+1.

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(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π ∴2cos6t+1>1. π π π π ∴cos t>0.∴2kπ- < t<2kπ+ , 6 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3.③ ∵0≤t≤24,故可令③中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t≤3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定的 8:00 至 20:00 之间,有 6 个小时时间 可供冲浪者运动,即 9:00 至 15:00.
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1.五点法作函数图像及函数图像变换问题 (1)当明确了函数图像基本特征后, “描点法”是作函 数图像的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图 像时,应取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向.

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(2)在进行三角函数图像变换时,提倡“先平移,后 伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所 以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化, 而不是“角”变化多少.

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2.由图像确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图像确定 A、ω、φ 的题型, φ 常常以“五点法”中的第一零点(- ,0)作为突破口,要 ω 从图像的升降情况找准第一零点的位置. 要善于抓住特殊 量和特殊点.

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