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用放缩法证明与数列和有关的不等式


用放缩法证明与数列和有关的不等式 一.先求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ?的前 n 项的和 Sn ,满足 2 (1)数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn
? 1 a n a n ?1

S n ? a n ? 1,试求:

,数列 ?bn ?的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 1

2<

br />
解: (1)由已知得 4Sn ? (an ? 1) 2 , n ? 2 时, 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 , 作差得: 4an ? an2 ? 2an ? an2?1 ? 2an?1 , ∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,又∵ ?an ?为正数数列 ∴ an ? an?1 ? 2 ,即 ?an ?是公差为 2 的等差数列,由 2 得 a1 ? 1 ∴ an ? 2n ? 1 (2) bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

S1 ? a1 ? 1,

∴ Bn ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
2 3 3 5

1 1 1 1 1 ? )? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2

注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前 n 项和能 直接求和或者通过恒等变形可后求和,则采用先求和再放缩 的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、 差比数列(这里所谓的差比数列,即指数列 {an } 满足条件
an?1 ? an ? f ?n?)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来

求和.

二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和 例 2 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且
2 an ? an ? 2Sn .

(1)

an 2 ? an ?12 求证: Sn ? 4


Sn ?1 ? 1 2

(2) 求证:

Sn 2

? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ?

? a1 ? 0 解: (1) 在条件中, 令 n ? 1, 得 a12 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,

? a1 ? 1



又由条件 an2 ? an ? 2S n 有 an2?1 ? an?1 ? 2Sn?1 ,上述两式相减,注意到
an?1 ? S n?1 ? S n 得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0

∴ an?1 ? an ? 1

∴ an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n , Sn ? n(n ? 1)
2

∴ S n ? n(n ? 1) ? 1 ? n
2 2

2

? (n ? 1) 2 a n ? a n?1 ? 2 4

2

2

(2)∵ n ? ∴ ∴
?
n 2 ?

n(n ? 1) ? n ? 1

n(n ? 1) n ? 1 ? 2 2
2 3 n ?1 1? 2 2?3 n(n ? 1) ? ? ??? ? ??? 2 2 2 2 2 2

S1 ? S 2 ? ? S n ? n 2 ? 3n 2 2 ? S n?1 ? 1 2


1 2 ? 2 2 ??? n 2 ? n(n ? 1) 2 2 ? Sn 2

S1 ? S 2 ? ? S n ?

2.放缩后成等比数列,再求和 例 3.等比数列{an}中, a
1

??

1 ,前 2
2

n 项的和为 An,且 A7,

A9, A8 成等差数列. 设 bn ? an 1 ? an
证明:Bn< 1 .
3

, 数列{bn}前 n 项的和为 Bn,

解:∵ A9 ? A7 ? a8 ? a9 , A8 ? A9 ? ?a9 , a8 ? a9 ? ?a9 , ∴公比 q ? a ∴ an
a9
8

??

1 2


1 4n 1 1 ? (? ) n 2 ? 1 1 ? n 4 ? (?2) 3 ? 2n
n

1 ? (? ) n . bn ? 2





1 1 (1 ? 2 ) 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 . Bn ? b1 ? b2 ? ?bn ? 1 ? 1 2 ? ? ? 1 n ? 1 ? 2 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1? 2

3.放缩后为可求和(易求和)数列,再求和
a1 ? 1 , 例 4. 已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? (1 ?
a n ?1 ? a n ? 3 ? n ?1 2 n ?1 n )a n , 2n n 求证: )a n (n ? 1,2,3?) . 2n

证明:∵ a n?1 ? (1 ? ∴ an?1 与 an 同号,

又∵ a1 ? 1 ? 0 ,∴ an ? 0 , 即 a n?1 ? a n
? n a n ? 0 ,即 an?1 ? an . 2n

∴数列 {an } 为递增数列, ∴ an ? a1 ? 1, 即 a n?1 ? a n 令 Sn
? ? n n an ? n n 2 2 1 , 累加得: a n ? a1 ? ? 2 2 n ?1 ? ? ? n ?1 . 2 2 2

1 2 n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 1 2 n ?1 ? 3 ? ? ? n ,两式相减得: 2 2 2 2

∴ 1 Sn
2

?

1 1 1 1 1 n ?1 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2

∴ Sn

? 2?

n ?1 ,∴ a n ? 3 ? n n??11 , n ?1 2 2

故得 a n?1 ? a n ? 3 ? n n??11 .
2

4.放缩后为裂项相消,再求和 例 5.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1,P2,…,Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列 的逆序数. 记排列(n
? 1) ,n, (n ? 1) , ?, 3, 2, 1 的逆序数为 an,

如排列 2, 1 的逆序数 a1 ? 1 , 排列 4, 3, 2, 1 的逆序数 a3 ? 6 . (1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn ?
an an?1 ? ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…. an?1 an
? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n(n ? 1) . 2

解(1)由已知得 a4 ? 10, a5 ? 15 , a n (2)∵ bn ?

an a n n?2 n n?2 ? n?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2,? , an?1 an n?2 n n?2 n

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n . 又∵ bn
? n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ? , n?2 n n n?2 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 2 4 n n?2

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn

= 2n ? 3 ? 综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ?.

2 2 ? ? 2n ? 3 . n ?1 n ? 2

注:常用放缩的结论: (1) 1 ?
k 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? (k ? 2) k ? 1 k (k ? 1) k k (k ? 1) k ? 1 k ? 1 k ?1 )? 2 k ? k ?1 ? 1 k ? 2 k ? k ?1 ? 2( 1 k ?1 ? 1 k )(k ? 2)

(2)2(

1 k

在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般 要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论 n
n(n ? 1) 2 2
2

? 3n

2 2



为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数
1 1 ) ? 为等比数 n 3 2

列,再求和即可;如例 3 要证明的结论 1 (1 ?
3

列求和结果的类型, 则把通项放缩为等比数列, 再求和即可; 如例 4 要证明的结论 3 ? n n??11 为差比数列求和结果的类型,则
2

把通项放缩为差比数列,再求和即可;如例 5 要证明的结论
2n ? 3 ? 2 2 为裂项相消求和结果的类型,则把通项放缩 ? n ?1 n ? 2

为相邻两项或相隔一项的差,再求和即可. 先确定能不能直接求和,若不能直接求和则要考虑把通 项朝什么方向进行放缩.


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