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全国中学生物理竞赛集锦光学 新课标 人教版


全国中学生物理竞赛集锦光学 第 21 届预赛 2004.9.5
一、(15分)填空 1.d.一个可见光光子的能量的数量级为_________J。 2.已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80%。试判断下列说法是否正确,并简述理 由。 a. 反射光子数为入射光子数的80%; b.每个反射光子的能量是入射光子能量的80%。 六、(15分)有一种高脚酒杯,如图所示。杯内底

面为一凸起的球面,球心在顶 点O下方玻璃中的C点,球面的半径R=1.50cm,O到杯口平面的距离为8.0cm。在 杯脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时,若在杯口 处向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方 向观看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34。 试通过分析计算与论证解释这一现象。

第 21 届复赛
四、 分)目前, (20 大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直 线上的长条状,通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束,光 能分布很不集中,不利于传输和应用.为了解决这个问题,需要根据具体应用的要求,对光束 进行必需的变换(或称整形) .如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的 平行光束,对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的.为此,有人提出了先把多束发散光 会聚到一点,再变换为平行光的方案,其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明. 如图,S1、S2、S3 是等距离(h)地 排列在一直线上的三个点光源,各自向 垂直于它们的连线的同一方向发出半顶 用三个完全相同的、 焦距为 f = 1.50h、 半 径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜, 经加工、 h S2 S3 角为? =arctan ?1 4 ? 的圆锥形光束.请使 h S1

?? ??
z L

??

P

组装成一个三者在同一平面内的组合透镜, 使三束光都能全部投射到这个组合透镜上, 且经透 镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴(以 S2 为起点,垂直于三个点光源连线,与光束中心线方 向相同的射线)上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点. (加工时可对透镜进行外形的改变,但不能 改变透镜焦距. ) 1.求出组合透镜中每个透镜光心的位置. 2.说明对三个透镜应如何加工和组装,并求出有关数据.

第 20 届预赛
一、 (20 分)两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置,如图 所示.已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距 f2=—f,两透 镜间距离也是 f. 小物体位于物面 P 上, 物距 u1 = 3f.
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(1)小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的__________边,到 L2 的距离为_________,是 __________倍(虚或实) 、____________像(正或倒) ,放大率为_________________。 (2)现在把两透镜位置调换,若还要给定的原物体在原像处成像,两透镜作为整体应沿光轴向 ____________ 边 移 动 距 离 _______________ . 这 个 新 的 像 是 ____________ 像 ( 虚 或 实 ) 、 ______________像(正或倒)放大率为________________。

第 20 届复赛
四、(20 分)如图所示,一半径为 R 、折射率为 n 的玻璃半球,放在空气中,平表面中央半径为 h 0 的区域被涂黑.一平行光束垂直入射到此平面上,正好覆盖整个表面. O x 为以球心 O 为原点, 与平而垂直的坐标轴. 通过计算, 求出坐标轴 O x 上玻璃半球右边有光线通过的各点 (有光线段) 和无光线通过的各点(无光线段)的分界点的坐标.

第 19 届预赛
五、 (20 分)图预 19-5 中,三棱镜的顶角 ? 为 60?,在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f ? 3 0 .0 cm 的两个完全相同的 凸透镜 L1 和 L2. 若在 L1 的前焦 面上距主光轴下方 y ? 1 4 .3 cm 处放一单色点光源 S , 已知其像 S ? 与 S 对该光学系统是左右对 称的.试求该三棱镜的折射率.

第 19 届复赛
五、 (20 分)薄凸透镜放在空气中时,两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的 介质不同,其折射率分别为 n1 和 n 2 ,则透镜两侧各有一个焦点(设为 F1 和 F 2 ) ,但 F1 、 F 2 和 透镜中心的距离不相等,其值分别为 f 1 和 f 2 。现有一个薄凸透镜 L ,已知此凸透镜对平行光束 起会聚作用,在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。 1.试求出此时物距 u ,像距 v ,焦距 f 1 、 f 2 四者之间的关系式。 2.若有一傍轴光线射向透镜中心,已知它与透镜主轴的夹角为 ? 1 ,则与之相应的出射线与 主轴的夹角 ? 2 多大? 3. f 1 , f 2 , n1 , n 2 四者之间有何关系?

六、 (20 分)在 实验室静止的
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相对于 平面直
2

角坐标系 S 中,有一个光子,沿 x 轴正方向射向一个静止于坐标原点 O 的电子.在 y 轴方向探 测到一个散射光子.已知电子的静止质量为 m 0 ,光速为 c ,入射光子的能量与散射光子的能量之 差等于电子静止能量的 1/10. 1.试求电子运动速度的大小 v ,电子运动的方向与 x 轴的夹角 ? ;电子运动到离原点距离为
L0

(作为已知量)的 A 点所经历的时间 ? t . 2.在电子以 1 中的速度 v 开始运动时,一观察者 S ? 相对于坐标系 S 也以速度 v 沿 S 中电子

运动的方向运动(即 S ? 相对于电子静止),试求 S ? 测出的 O A 的长度.

第 18 届预赛
三、 (18 分) 一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射, 经透镜折射后, 会聚于透镜 f ? 4 8 cm 处, 透镜的折射率 n ? 1.5 。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12 c m 处,求最后所成象的位置。

第 18 届复赛
一、 (22 分)有一放在空气中的玻璃棒,折射率 n ? 1 .5 ,中心轴线长 L ? 4 5 cm ,一端是半径为
R1 ? 1 0 c m

的凸球面.

1.要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像于主光轴 上无限远处的望远系统) ,取中心轴线为主光轴,玻璃棒另一端应磨成什么样的球面? 2.对于这个玻璃棒,由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度 ? 1 时, 从棒射出的平行光束与主光轴成小角度,求 ? 2 / ? 1 (此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大 率) .

第 17 届预赛
三、 (15 分)有一水平放置的平行平面玻璃板 H ,厚 cm, 折射率 n ? 1 .5 。 在其下表面下 2.0 cm 处有一小物 在玻璃扳上方有一薄凸透镜 L , 其焦距 f ? 3 0 cm , 透 的主轴与玻璃板面垂直; S 位于透镜的主轴上,如图 17-3 所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到 的像就在 S 处, 问透镜与玻璃板上表面的距离为多少? 3.0 S ; 镜 预
S

第 17 届复赛
二、 (20 分)如图复 17-2 所示,在真空中有一个折射 率为 n ( n ? n 0 , n 0 为真空的折射率) 、半径为 r 的质 地均匀的小球。频率为? 的细激光束在真空中沿直线 B C 传播, 直线 B C 与小球球心 O 的距离为 l ( l ? r ) , 光束于小球体表面的点 C 点经折射进入小球(小球成 为光传播的介质)并于小球表面的点 D 点又经折射进 , 入真空.设激光束的频率在上述两次折射后保持不
用心 爱心 专心 119 号编辑 3

变.求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小.

六、 (25 分)普通光纤是一种可传输光的圆
柱形细丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成, B 的折射率小于 A 的折射率,光纤 的端面和圆柱体的轴垂直,由一端面射入的 光在很长的光纤中传播时,在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射.现在利用普 通光纤测量流体 F 的折射率. 实验方法如下: 让光纤的一端(出射端)浸在流体 F 中.令 与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射 后会聚光纤入射端面的中心 O ,经端面折射 进入光纤,在光纤中传播.由点 O 出发的光 束为圆锥形,已知其边缘光线和轴的夹角为
?0, 如图复 17-6-1 所示. 最后光从另一端面

出射进入流体 F .在距出射端面 h 1 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D ,在 D 上出现一圆形 光斑, 测出其直径为 d 1 , 然后移动光屏 D 至距光纤出射端面 h 2 处, 再测出圆形光斑的直径 d 2 , 如图复 17-6-2 所示. 1.若已知 A 和 B 的折射率分别为 n A 与 n B ,求被测流体 F 的折射率 n F 的表达式. 2.若 n A 、 n B 和 ? 0 均为未知量,如何通过进一步的实验以测出 n F 的值?

第 16 届预赛
五、 (15 分)一平凸透镜焦距为 f ,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2 f 处,垂直于主轴 放置一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上(如图预 16-5) 。 1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 2. 用计算法求出此像的位置和大小。

第 16 届复赛
二、 (25 分)两个焦距分别是 f1 和 f 2 的薄透镜 L1 和 L 2 ,相距为 d ,被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意图。
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2. 根

4

全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案 第 21 届预赛 2004.9.5
一、1. d. 10 19 2. a正确,b不正确。理由:反射时光频率? 不变,这表明每个光子能量h? 不变。 评分标准:本题15分,第1问10分,每一空2分。第二问5分,其中结论占2分,理由占3分。 六、把酒杯放平,分析成像问题。


图1

1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1。在图1中,P为画片中心, 由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中;由P发出的与PO成? 角的另一光 线PA在A处折射。设A处入射角为i,折射角为r,半径CA与PO的夹角为? ,由折射定律和几何 关系可得 n1sini=n0sinr (1) ? =i+? (2) 在△PAC中,由正弦定理,有
R s in ? ? PC s in i

(3)

考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有
r ? n1 n0 i

(4)

? ?

R PC

i

(5)

由(2)、(4)、(5)式、n0、nl、R的数值及 P C ? P O ? C O ? 4 .8 cm可得

? =1.31i

r =1.56i 由(6)、(7)式有 r>? (8) 由上式及图1可知,折射线将与PO延长线相交于P?,P? 即为P点的实像.画面将成实像于P? 处。 在△CAP? 中,由正弦定理有
R sin ? ? CP? sin r

(6) (7)

(9) (10)
119 号编辑 5

又有 r=? +? 考虑到是近轴光线,由(9)、(l0)式可得
用心 爱心 专心

CP? ?

r r ??

R

(11)

又有
OP? ? CP? ? R

(12)

由以上各式并代入数据,可得
O P ? ? 7 .9

cm

(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距 离为8.0cm, 当人眼在杯口处向杯底方向观看时, 该实像离人眼太近, 所以看不出画片上的景物。 2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n1和n2,如图2所示,考虑 到近轴光线有

图2

r ?

n1 n2

i

(14)

代入n1和n2的值,可得 r=1.16i (15) 与(6)式比较,可知 r<? (16) 由上式及图2可知,折射线将与OP延长线相交于P?,P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。 计算可得
CP? ? r

? ?r

R

(17)

又有
OP? ? CP? ? R

(18)

由以上各式并代入数据得
O P ? ? 13

cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P?处,距O点13cm.即距杯口21 cm。虽然该虚像还 要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处 向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。 评分标准: 本题15分.求得(13)式给5分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5分,说明“看 到”再给3分。

用心 爱心 专心

119 号编辑

6

第 21 届复赛
四、1.考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透 镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所在的平面应垂 直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光 S1 源的连线,O2 位于 z 轴上,如图 1 所示.图中 M M ? 表 h S2 ? ? 示组合透镜的平面, S 1? 、 S 2 、 S 3 为三个光束中心光线 h 与该平面的交点. S 2 O 2 = u 就是物距.根据透镜成 像公式
1 u ? 1 L ?u ? 1 f

??
O1

M S?
1

O2(S2’) S3’ L M’
图1

?? ??
u

O3

P z

(1)

可解得
u ? 1 2 [L ? L ? 4 fL ]
2

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点, 来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉, 必须有 2utan? ≤h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,算得
u ? (6 ? 3 2 )h

≈1.757h

(2)

此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线.为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的光心 O1、O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) .由几何关系知,有
O1O 2 ? O 2 O 3 ? L ?u L h ? ( 1 2 ? 1 4 2 ) h ? 0 .8 5 4 h

(3) 即光心 O1 的位置应在 S 1? 之下与 S 1? 的距离为
? S 1 O 1 ? h ? O 1 O 2 ? 0 . 146 h

(4)

? ? 同理,O3 的位置应在 S 3 之上与 S 3 的距离为 0.146h 处.由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心 之间距离必须等于 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合透镜. 因为三个透镜的半径 r = 0.75h, 将它们的光心分别放置到 O1、 2、 3 处时, O O 由于 O 1 O 2 =O 2 O 3 =0.854h<2r,透镜必然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然后再将它们粘 起来,才能满足(3)式的要求.由于对称关系,我们只需讨论上半部分的情况. 图 2 画出了 L1、L2 放在 M M ? 平面内时相互交叠的情况(纸面为 M M ? 平面) .图中 C1、C2 ? 表示 L1、L2 的边缘, S 1? 、 S 2 为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 与 O1O2 的 交点.

S 1? 为圆心的圆

? 1 和以 S 2(与 O2 重合) 为圆心的圆 2 分别是

光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径 均为 ? ? u tan ? ? 0 . 439 h (5) 根据题意, 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜. 圆 首先, 圆 1 的 K 点(见图 2)是否落在 L1 上?由几何关系可知
? O 1 K ? ? ? O 1 S 1 ? ? 0 . 439 ? 0 . 146 ?h ? 0 . 585 h ? r ? 0 . 75 h

K
圆1 S1’ 0.439h Q T N 0.439h O1 W2

C1

0.146h Q’ N’

x2
T’ 0.854h

h

(6)

W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ 7 图2

x1

故从 S1 发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进
用心 爱心 专心 119 号编辑

入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分. 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法.在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 Q Q ? 和 N N ? . 若沿位于 Q Q ? 和 N N ? 之间且与它们平行的任意直线 T T ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割,去掉两透镜的弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的 上半部.同理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来,就得到符合 需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都会聚到 P 点. 现在计算 Q Q ? 和 N N ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件. 设透镜 L1 被切 去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则 对任意一条切割线 T T ? , x1、x2 之和为
d ? x 1 ? x 2 ? 2 r ? O 1 O 2 ? 0 . 646 h

(7)

由于 T T ? 必须在 Q Q ? 和 N N ? 之间,从图 2 可看出,沿 Q Q ? 切割时,x1 达最大值(x1M),x2 达最小 值(x2m),
? x1M ? r ? S 1O 1 ? ?

代入 r,??和 S 1? O 1 的值,得
x 1 M ? 0 . 457 h

(8) (9)

代入(7)式,得
x 2 m ? d ? x 1 M ? 0 . 189 h

由图 2 可看出,沿 N N ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m),
x2M ? r ? ?

代入 r 和??的值,得
x 2 M ? 0 . 311 h

(10) (11)

x 1 m ? d ? x 2 M ? 0 . 335 h

由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同. 评分标准: 本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分, 第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分. 如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保 留,透镜其它部分可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成透镜组 合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分) .

第 20 届预赛
一、参考解答 (1) 右 f 实 倒 1 。 (2) 左 2f 实 倒 1 。 评分标准:本题 20 分,每空 2 分。

第 20 届复赛
四、参考解答 图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入的区 域) 光线在球面上的入射角和折射角分别为 i 和 i ? , , 折射光线与坐标轴的交点在 P 。 令轴上 O P 的距离为 x , M P 的距离为 l ,根据折射定律,有
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s in i ? s in i

? n

(1)

在 ?OM P 中
l s in i
l
2

?
2

x s in i ?
2

(2) (3)

? R

? x ? 2 R x co s i

由式(1)和式(2)得
x ? nl

再由式(3)得
x
2

? n (R

2

2

? x ? 2 R x co s i )

2

设 M 点到 O x 的距离为 h ,有
h ? R sin i

R co s i ?

R

2

? R sin i ?

2

2

R

2

?h

2


x n
2
2 2

? R

2

? x ? 2x
2

2

R

2

?h

2

x (1 ?

1 n
2

) ? 2x

R

?h

2

? R

2

?0

(4)

解式(4)可得
x ? n
2

R

2

?h

2

? n
2

R

2

?n h

2

2

n ?1

(5)

为排除上式中应舍弃的解,令 h ? 0 ,则 x 处应为玻璃半球在光轴 O x 上的傍轴焦点,由上式
x? n ( n ? 1) n ?1
2

R ?

n n ?1

R 或

n n ?1

R

由图可知,应有 x ? R ,故式(5)中应排除±号中的负号,所以 x 应表示为
x ? n
2

R

2

?h

2

? n
2

R

2

?n h

2

2

n ?1

(6)

上式给出 x 随 h 变化的关系。 因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有 h ? h 0 ,其中折射光线
用心 爱心 专心 119 号编辑 9

与 O x 轴交点最远处的坐标为
x0 ? n
2

R

2

? h0 ? n n ?1
2

2

R

2

? n h0

2

2

(7)

在轴上 x ? x 0 处,无光线通过。 随 h 增大,球面上入射角 i 增大,当 i 大于临界角 i C 时,即会发生全反射,没有折射光线。 与临界角 i C 相应的光线有
h C ? R sin i C ? R 1 n

这光线的折射线与轴线的交点处于
n R 1? xC ? n ?1
2 2

1 n
2

?

nR n ?1
2

(8)

在轴 O x 上 R ? x ? x C 处没有折射光线通过。 由以上分析可知,在轴 O x 上玻璃半球以右
xC ? x ? x0

(9)

的一段为有光线段,其它各点属于无光线段。 x 0 与 x C 就是所要求的分界点,如图复解 20-4-2 所示

评分标准:本题 20 分。 求得式 (7) 并指出在 O x 轴上 x ? x 0 处无光线通过, 10 分; 给 求得式 (8) 并指出在 O x 轴上 x ? x 0 处无光线通过,给 6 分;得到式(9)并指出 O x 上有光线段的位置,给 4 分。

第 19 届预赛
五、参考解答

用心 爱心 专心

119 号编辑

10

由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光线在 棱镜中的部分与光轴平行。由 S 射向 L 1 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。 由对称性可知
i1 ? r2 i 2 ? r1

① ② ③

由几何关系得 由图可见

r1 ? i 2 ? ? ? 6 0 ?

i1 ? ? ? r1



又从 ? F S O 1 的边角关系得
tan ? ? y / f

⑤ ⑥

代入数值得
? ? arctan (1 4 .3 / 3 0 .0 ) ? 2 5 .4 9 ?

由②、③、④与⑥式得 r1 ? 3 0 ? , i1 ? 5 5 .4 9 ? 根据折射定律,求得
n ? s in i1 s in r1 ? 1 .6 5



评分标准:本题 20 分 1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。 2. ①、②、③、④式各给 2 分,⑤式给 3 分,⑥式给 1 分,⑦式给 4 分。

第 19 届复赛
五、参考解答 利用焦点的性质,用作图法可求得小物 P Q 的像 P ?Q ? ,如下图所示。

Q
y

n1 f1

n2

F2
f2

P?
y?

P

v u 用心 爱心 专心 119 号编辑
图复解 19-5-1

F1

Q?
11

(1)用 y 和 y ? 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得
y y? u ? f1 f1 f2 v ? f2

?

?

(1)

( u ? f 1 )( v ? f 2 ) ? f 1 f 2

简化后即得物像距公式,即 u , v , f 1 , f 2 之间的关系式
f1 u ? f2 v ?1

(2)

(2)薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出,放大后的光路如 图复解19-5-2所示。图中 ? 1 为入射角,? 2 为与之相应的出射角, ? 为平行板中的光线与法线的 夹角。设透镜的折射率为 n ,则由折射定律得
n1 sin ? 1 ? n sin ? ? n 2 sin ? 2

(3)

对傍轴光线, ? 1 、 ? 2 ≤1,得 sin ? 1 ? ? 1 , sin ? 2 ? ? 2 ,因而得
?2 ?
n1 n2

?1

(4)

?1

n1 n
? ?

n2
?2

(3)由物点 Q 射向中心 O 的入射线,经 L 折 射后,出射线应射向 Q ? ,如图复解19-5-3所示,

图复解 19-5-2

Q
y

n1

L

?1

n2

F2
?2

P?
y?

P

F1 u

v u
图复解 19-5-3

Q?

在傍轴的条件下,有
y u ? ta n ? 1 ? ? 1, y? v ? ta n ? 2 ? ? 2

(5)

二式相除并利用(4)式,得
y ?u yv ? n1 n2

(6)

用(1)式的 y ? / y ? f1 /( u ? f1 ) 代入(6)式,得
用心 爱心 专心 119 号编辑

12

f1u ( u ? f1 ) v

?

n1 n2



f1 ?

n1 u v n 2 u ? n1 v

(7)

用(1)式的 y ? / y ? ( v ? f 2 ) / f 2 代入(6)式,得
(v ? f 2 )u f2v n2uv n 2 u ? n1 v ? n1 n2



f2 ?

(8)

从而得 f 1 , f 2 , n1 , n 2 之间关系式
f2 f1 ? n2 n1

(9)

六、参考解答 (1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
m0c
2 2 2

1 ? (v / c )

? 1 .1 0 m 0 c

2

(1)

由此可解得
v ? 0 .2 1 1 .1 0 ? 0 .4 1 7 c ? 0 .4 2 c

(2)
h? c

入射光子和散射光子的动量分别为 p ?

和 p? ?

h? ? c

,方向如图复解19-6所示。电子的动

量为 m v , m 为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可 得
m0v 1 ? (v / c ) m0v 1 ? (v / c )
2 2 2 2

光子散射方向 电子 光子入射方向

cos? ?

h? c h? ? c

(3)

?

sin ? ?

(4)

光子入射方向
图复解 19-6

A

已知

2 h? ? h? ? ? 0 .1 0 m 0 c

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式可解得
? ? 0 .3 7 m 0 c / h
2

(6) (7)

? ? ? 0 .2 7 m 0 c / h
2

用心 爱心 专心

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13

? ? ta n

-1

?? ?

? a rc ta n (

27 37

) ? 3 6 .1 ?

(8)

电子从 O 点运动到 A 所需时间为
?t ? L0 v ? 2 .4 L 0 / c

(9)

(2)当观察者相对于 S 沿 O A 方向以速度 v 运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得
L ? L0 1 ? (v / c )
2 2

(10) (11)

L ? 0 .9 1 L 0

第 18 届预赛
三、参考解答 1.先求凸球面的曲率半径 R 。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射,它在球面上 发生折射,交主光轴于 F 点,如图预解 18-3-1 所 示 。 C 点 为 球 面 的 球 心 ,
C O ? R ,由正弦定理,可得
R ? f R sin r sin ( r ? i )

?

(1)

由折射定律知
s in i s in r ? 1 n

(2)

当 i 、 r 很小时, sin r ? r , sin ( r ? i ) ? r ? i , sin i ? i ,由以上两式得
1? f R ? r r ?i ? n n ?1 ?1? 1 n ?1

(3)

所以
R ? ( n ? 1) f

(4)

2. 凸面镀银后将成为半径为 R 的凹面镜,如图预解 18-3-2 所示 令 P 表示物所在位置, P 点经平 面折射成像 P ? ,根据折射定律可推出
P ?O ? n P O

(5)

由于这是一个薄透镜, P ? 与凹面镜的 距离可认为等于 P ?O ,设反射后成像 于 P ?? ,则由球面镜成像公式可得
1 P ??O ? 1 P ?O ? 2 R

(6)

由此可解得 P ??O ? 3 6 cm ,可知 P ?? 位于平面的左方,对平面折射来说, P ?? 是一个虚物,经平面 折射后,成实像于 P ??? 点。

用心 爱心 专心

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14

P ???O P ??O

?

1 n

(7)

所以

P ???O ? 2 4 cm

(8)

最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。 评分标准:本题 18 分 (1)(2)式各 2 分; 、 (3)或(4)式 2 分; (5)式 2 分; (6)式 3 分; (7)式 4 分; (8)式 3 分。

第 18 届复赛
一、参考解答 1. 对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光 线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远处,如图复解 18-1-1 所示,图中 C 1 为左端球面的球心.

由正弦定理、折射定律和小角度近似得
A F1 ? R R1
1

?

s in r

1

sin ( i 1 ? r ) 1

?

r

1

i ?r 1

?
1

1 ( i / r1 ) ? 1 1

?

1 n ?1

(1) (2)



A F1 R1

?1?

1 n ?1

光线 P F1 射到另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的光线,由此可知该端面的球心 C 2 一定在端面顶点 B 的左方, C 2 B 等于球面的半径 R 2 ,如图复解 18-1-1. 仿照上面对左端球面上折射的关系可得
B F1 R2 ?1? 1 n ?1

(3) (4) (5)

又有

B F1 ? L ? A F1

由(2)(3)(4)式并代入数值可得 、 、
R 2 ? 5 cm

即右端为半径等于 5 c m 的向外凸的球面. 2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示,令①过 C 1 ,②过 A ,如图复解 18-1-2 所示, 则这两条光线经左端球面折射后的相交点 M , 即为左端球面对此无限远物点成的像点. 现 在求 M 点的位置。在 ? A C 1 M 中

用心 爱心 专心

119 号编辑

15

AM sin (? ? ? 1 )

?

AC sin ? 1

?

R1 sin (? 1 ? ? 1? )

(6) (7)



n sin ? 1? ? sin ? 1

已知 ? 1 , ? 1? 均为小角度,则有
AM

?1

?

R1

? 1 (1 ?

1 n

(8)
)

与(2)式比较可知, A M ? A F1 ,即 M 位于过 F1 垂直于主光轴的平面上.上面已知,玻璃棒 为天文望远系统,则凡是过 M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易 看出,从 M 射出 C 2 的光线将沿原方向射出,这也就是过 M 点的任意光线(包括光线①、②) 从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ? 2 ,由图复 18-1-2 可得
?1 ?2
? C 1 F1 C 2 F1 ? A F1 ? R1 B F1 ? R 2

(9)

由(2)(3)式可得 、
A F1 ? R 1 B F1 ? R 2 ? R1 R2


?2 ?1
? R1 R2 ? 2

(10)

第 17 届预赛
三、参考解答 物体 S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设 透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为 A 和 B , S 作为物,通过玻璃板 H 的下表面折射成像于点 S 1 处,由图预解 17-3,根据折射定律,有
n ? sin i ? n sin r

式中 n? ? 1 . 0是空气的折射率,对傍轴光线, i 、 r 很小, s i ni ? t a n , sin r ? tan r ,则 i
AD SA ? n AD S1 A

用心 爱心 专心

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16

式中 S A 为物距, S 1 A 为像距,有
S1 A ? n S A

(1)

将 S 1 作为物,再通过玻璃板 H 的上表面折射成像于点 S 2 处,这时物距为 S 1 B ? S 1 A ? A B .同 样根据折射定律可得像距
S2B ? S1 B n

(2)

将 S 2 作为物,通过透镜 L 成像,设透镜与 H 上表面的距离为 x ,则物距 u ? x ? S 2 B .根据题意 知最后所成像的像距 v ? ? ( x ? S A ? A B ) ,代入透镜成像公式,有
1 x ? S2B ? 1 x ? SA ? AB ? 1 f

(3)

由(1)、(2)、(3)式代入数据可求得
x ? 1 .0 cm

(4)

即 L 应置于距玻璃板 H 上表面1.0 cm 处。

第 17 届复赛
二、参考解答 在由直线 B C 与小球球心 O 所确定的平面中,激光光束两次折射的光路 B C D E 如图复解 17-2 所示,图中入射光线 B C 与出射光线 D E 的延长线交于 G ,按照光的折射定律有
n 0 sin ? ? n sin ?

(1)

式中 ? 与 ? 分别是相应的入射角和折射角,由几何关系还可知
s in ? ? l r

(2)

激光光束经两次折射,频率? 保持不变,故在两次 折射前后,光束中一个光子的动量的大小 p 和 p ? 相 等,即
p ? h? c ? p?

(3)

式中 c 为真空中的光速,h 为普朗克常量. 因射入小 球的光束中光子的动量 p 沿 B C 方向,射出小球的 光束中光子的动量 p ? 沿 D E 方向,光子动量的方向 由于光束的折射而偏转了一个角度 2? , 由图中几何 关系可知
2? ? 2 (? ? ? )

(4)

用心 爱心 专心

119 号编辑

17

若取线段 G N 1 的长度正比于光子动量 p , G N 2 的长度正比于光子动量 p ? ,则线段 N 1 N 2 的长度 正比于光子动量的改变量 ? p ,由几何关系得
? p ? 2 p sin ? ? 2 h? c sin ?

(5) 与 C D 平行,故光子动量的改变量 ? p 的方向沿

? G N 1 N 2 为等腰三角形,其底边上的高 G H

垂直 C D 的方向,且由 G 指向球心 O . 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间,即
?t ? 2 r cos ? cn0 / n

(6)

式中 cn 0 / n 是光在小球内的传播速率。 按照牛顿第二定律,光子所受小球的平均作用力的大小为
f ? ?p ?t ? n 0 h? sin ? nr cos ?

(7)

按照牛顿第三定律,光子对小球的平均作用力大小 F ? f ,即
F ? n 0 h? sin ? nr cos ?

(8)

力的方向由点 O 指向点 G .由(1)(2)(4)及(8)式,经过三角函数关系运算,最后可得 、 、
F ? n 0 lh? ? ?1 ? 2 nr ? ? r
2

?l
2

2 2

(nr / n0 ) ? l

? ? ? ?

(9)

评分标准:本题 20 分 (1)式 1 分, (5)式 8 分, (6)式 4 分, (8)式 3 分,得到(9)式再给 4 分。
六、参考解答

1.由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线都与轴相交,位于通过 轴的纵剖面内,图复解 17-6-1 为纵剖面内的光路图,设由 O 点发出的与轴的夹角为 ? 的光线, 射至 A 、 B 分界面的入射角为 i ,反射角也为 i .该光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i , 射至出射端面时的入射角为 ? .若该光线折射后的折射角为 ? ,则由几何关系和折射定律可得 i ? ? ? 90? (1)
n A sin ? ? n F sin ?

(2)

当 i 大于全反射临界角 iC 时将发生全反射,没有光能损失,相应的光线将以不变的光强射向出 射端面,而 i ? iC 的光线则因在发 生反射时有部分光线通过折射进 入B , 反射光强随着反射次数的增 大而越来越弱, 以致在未到达出射 端面之前就已经衰减为零了. 因而 能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于或等于 iC , iC 的值由下式决定
用心 爱心 专心 119 号编辑 18

n A sin iC ? n B

(3)

与 iC 对应的 ? 值为
? C ? 9 0 ? ? iC

(4)
1 ? sin iC ?
2



?0 ? ?C 时
2

, 即
2

sin ? 0 ? sin ? C ? co s iC ?

1 ? (nB / n A )

2

时 , 或

n A sin ? 0 ?

n A ? nB

时,由 O 发出的光束中,只有 ? ? ? C 的光线才满足 i ? iC 的条件,才能射

向端面,此时出射端面处 ? 的最大值为
? m ax ? ? C ? 9 0 ? ? iC

(5)

若 ? 0 ? ? C ,即 n A sin ? 0 ?

n A ? nB
2 2

时,则由 O 发出的光线都能满足 i ? iC 的条件,因而都能射

向端面,此时出射端面处 ? 的最大值为
? m ax ? ? 0

(6)

端面处入射角 ? 最大时,折射角 ? 也达最大值,设为 ? m a x ,由(2)式可知
n F sin ? m ax ? n A sin ? m ax

(7)

由(6)(7)式可得,当 ? 0 ? ? C 时 、
nF ? n A sin ? 0 sin ? m a x

(8)

由(3)至(7)式可得,当 ? 0 ? ? C 时
n A c o s iC sin ? m a x n A ? nB
2 2

nF ?

?

sin ? m a x

(9)

? m a x 的数值可由图复解 17-6-2 上的几何关系求得
s in ? m a x ? (d 2 ? d1 ) / 2

(10)
2

?(d 2

? d 1 ) / 2 ? ? ( h 2 ? h1 )
2

于是 n F 的表达式应为

n F ? n A s in ? 0

?(d 2

? d 1 ) / 2 ? ? ( h 2 ? h1 )
2

2

( d 2 ? d1 ) / 2

( a0 ? aC )
2

(11)

nF ?

nA ? nB
2 2

?(d 2

? d 1 ) / 2 ? ? ( h 2 ? h1 )
2

(d 2 ? d1 ) / 2

( a0 ? aC )

(12)
19

用心 爱心 专心

119 号编辑

2. 可将输出端介质改为空气,光源保持不变,按同样手续再做一次测量,可测得 h1? 、h 2 ? 、
d 1?

、 d 2 ? ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同.已知空气的折射率等于 1,故有
?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? )2 1 2 1 ? 2 ? ( d 2 ? ? d 1? ) / 2
2

2

当 a0 ? aC 时

1 ? n A s in ? 0

(13)

当 a0 ? aC 时

1?

nA ? nB
2 2

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? )2 1 2 1 ? 2 ? ( d 2 ? ? d 1? ) / 2

(14)

将(11)(12)两式分别与(13)(14)相除,均得 、 、
nF ? d 2 ? ? d 1? d 2 ? d1

?(d 2

? d 1 ) / 2 ? ? ( h 2 ? h1 )
2 2

2

(15)

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? )2 1 2 1 ? 2 ?

这结果适用于 ? 0 为任何值的情况。 评分标准:本题 25 分 1. 18 分。 (8)式、 (9)式各 6 分,求得(11)式、 (12)式再各给 3 分 2. 7 分。 (13)式、 (14)式各 2 分,求得(15)式再给 3 分。如果利用已知其折射率的液体代 替空气,结果正确,照样给分。

第 16 届预赛
五、参考解答 1. 用作图法求得物 A P ,的像 A ' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 L M ,如图预解16-5所示.图中 O 为 L 的光心, A O F ' 为主轴, F 和 F ' 为 L 的两个焦点, A P 为物,作图时利用了下列三条特征光线:
用心 爱心 专心 119 号编辑 20

(1)由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 ? 。反射线射入透镜时通过光心 O ,故由透镜 射出时方向与上述反射线相同,即图中的 O P ' . (2)由 P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 P F R ,它经过 L 折射后的出射线与主轴平 行,垂直射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L ,经 L 折 射后的出射线通过焦点 F ,即为图中的 R F P . (3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 P Q ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点 F ', 即沿图中的 Q F ' 方向射向平面镜, 然后被 M 反射, 反射线指向与 F ' 对称的 F 点, 即沿 Q F 方向。 此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出: 通过 O 作平行于 Q F 的辅助线 S ' O S ,S ' O S 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点,由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的 同一点,故 Q F 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 Q T 即为 Q F 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P ' 即为 L M 组合所成的 P 点的像,对应的 A ' 即 A 的像点.由图 可判明,像 A ' P ' 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A ' P ' ,即为正确的解答。 2. 按陆续成像计算物 A P 经 L M 组合所成像的伙置、大小。 物 A P 经透镜 L 成的像为第一像,取 u 1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 v1 ? 2 f ,即像在平向镜 后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2 f 处,对 M 来说是虚 物,成实像于 M 前 2 f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物,而经透镜 L 而成的像为第三像,这时因为光线由 L 右方入射,且物(第二 像)位于 L 左方,故为虚物,取物 u 3 ? ? 2 f ,由透镜公式
1 u3 ? 1 v3 ? 1 f

可得像距

v3 ?

fu 3 u3 ? f

?

2 3

f ? 0

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离
H ??? H ?? v3 u3 1 3

2 3

f

处,像的大小 H ??? 可



?

?

求得,即
1 3 1 3

H ??? ?

H ?? ?

H

像高为物高的 。
3

1

用心 爱心 专心

119 号编辑

21

第 16 届复赛
二、参考解答 l.在所示的光路图(图复解16-2-1)中,人射光 A B 经透镜 L1 折射后沿 B C 射向 L 2 ,经 L 2 折射后沿 C D 出射. A B 、 B C 、 C D 与透镜主轴的交点分别为 P 、 P ? 和 P ?? ,如果 P 为物点, 因由 P 沿主轴射向 O 1 的光线方向不变,由透镜性质可知,P ? 为 P 经过 L1 所成的像,P ?? 为 P ? 经
L 2 所成的像,因而图中所示的 u 1 、 v1 、 u 2 、 v 2 之间有下列关系:

1 u1

?

1 v1

?

1 f1

(1)

1 u2

?

1 v2

?

1 f2

(2)

d ? u 2 ? v1

(3)

当入射光线 P B 与出射光线平行时,图中的 ? ? ? ? ,利用相似三角形关系可求得
h? h ? v2 u1
u2 v1

,

h? h

?

u2 v1

从而求得

v2 u1

?

(4)

联立方程(1)、(2)、(3)、(4),消去 v1 、 u 2 和 v 2 ,可得
u1 ? f1 d d ? ( f1 ? f 2 )

(5)

用心 爱心 专心

119 号编辑

22

由于 d 、 f 1 、 f 2 均已给定,所以 u 1 为一确定值,这表明:如果入射光线与出射光线平行, 则此入射光线必须通过主轴上一确定的点,它在 L1 的左方与 L1 相距 u 1 ?
f1 d d ? ( f1 ? f 2 )

处,又由

于 u 1 与 ? 无关,凡是通过该点射向 L1 的入射光线都和对应的出射光线相互平行. 2.由所得结果(5)式可以看出,当 d ? f 1 ? f 2 时, u 1 ? 0 ,此情况下的光路图就是图复解 16-2-1. 当 d ? f 1 ? f 2 时, u 1 ? ? , ? 解16-2-2.
?0

,此时入射光线和出射光线均平行于主轴,光路如图复

当 d ? f 1 ? f 2 时,u 1 ? 0 ,这表明 P 点在 L1 的右方,对 L1 来说,它是虚物.由(1)式可知, 此时 v1 ? 0 ,由 u 2 ? 图复解16-2-3.
f2 f1 v1 可知, u 2 ? 0

,又由

u2 v2

?

v1 u2

?0

可知, v 2 ? 0 ,所以此时的光路图如

用心 爱心 专心

119 号编辑

23


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