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2014-2015学年高一数学暑期作业(套卷)(10)

时间:2015-12-11


暑假作业(十)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) π π π π 1.(cos -sin )(cos +sin )=________. 12 12 12 12 2. 3tan 15° +1 的值是________. 3-tan 15°

2 2 3.已知 sin x-sin y=- ,cos x-cos y= ,且 x,y 为锐角,则 sin(x+y)=________. 3 3 4.设 a=sin 14° +cos 14° ,b=sin 16° +cos 16° ,c= 的顺序排列为________. 5 ,则 sin 2α=________. 5 1 1 6.若 sin x-sin y=- ,cos x-cos y= ,则 cos(x-y)的值是________. 3 4 5.已知 sin(45° +α)= 7.若函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数,则 θ 的取值集合是________. 8.已知 tan 2θ=-2 2,π<2θ<2π,则 tan θ 的值为________. 9.函数 y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为______. 1+sin 4α-cos 4α 10.化简: =________. 1+sin 4α+cos 4α π 11.已知 sin α=cos 2α,α∈( ,π),则 tan α=______. 2 sin α+cos α 12.若 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α 6 ,则 a、b、c 按从小到大 2

2x ? 2x ? ) 的图象中相邻对称轴的距离是________. +cos ( 3 3 6 3 5 π π 14.已知 cos(α-β)= ,sin β=- ,且 α∈(0, ),β∈(- ,0),则 sin α=________. 5 13 2 2
13.函数 y=sin 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) π 3π 15.(14 分)已知 tan α,tan β 是方程 6x2-5x+1=0 的两根,且 0<α< ,π<β< . 2 2 求:tan(α+β)及 α+β 的值.

16.(14 分)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x-4cos x. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值.

1

17.(14 分)已知向量 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), α∈ (

3? ? 2? ) , 且 a⊥b. 2

(1)求 tan α 的值; (2)求 cos (

?

2

?

?

3

) 的值.

18.(16 分)已知函数 f(x)=2sin2 (

? ? x ) - 3cos 2x. 4

(1)求 f(x)的周期和单调递增区间;

(2)若关于 x 的方程 f(x)-m=2 在 x∈ [

? ?

, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

19.(16 分)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos 2x0 的值. 5 4 2

π α 1 2 20.(16 分)已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

2

暑假作业(十)参考答案
一、填空题 3 1. 2 π π π π -sin )(cos +sin ) 12 12 12 12 π π π 3 =cos2 -sin2 =cos = . 12 12 6 2 2.1 3-tan 15° tan 60° -tan 15° 解析 ∵ = 1 + tan 60° tan 15° 3tan 15° +1 =tan 45° =1, 3tan 15° +1 ∴ =1. 3-tan 15° 3.1 2 2 解析 ∵sin x-siny=- ,cos x-cos y= ,两式相加得: 3 3 sin x+cos x=sin y+cos y, ∴sin 2x=sin 2y, 又∵x,y 均为锐角且 x≠y, π ∴2x=π-2y,x+y= , 2 ∴sin(x+y)=1. 4.a<c<b 3 6 解析 a= 2sin 59° < 2× = ,a<c. 2 2 3 6 b= 2sin 61° > 2× = ,b>c. 2 2 从而 a<c<b. 3 5.- 5 2 5 解析 sin(α+45° )=(sin α+cos α)· = , 2 5 10 ∴sin α+cos α= . 5 2 两端平方,∴1+sin 2α= , 5 3 ∴sin 2α=- . 5 263 6. 288 1 sin x-sin y=- ① 3 解析 由 1 cos x-cos y= ② 4 解析 (cos

? ? ?

①2+②2 得 25 2-2(sin xsin y+cos xcos y)= . 144 263 ∴cos(x-y)= . 288
3

π ? ? 7.?θ|θ=kπ-3,k∈Z?
? ?

f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ) π ? =2sin? ?2x+3+θ?. π ? f(0)=2sin? ?3+θ?=0. π π ∴ +θ=kπ,即 θ=kπ- ,k∈Z. 3 3 2 8.- 2 解析 ∵π<2θ<2π, π ∴ <θ<π, 2 2tan θ 则 tan θ<0,tan 2θ= =-2 2, 1-tan2θ 化简得 2tan2θ-tan θ- 2=0, 2 解得 tan θ=- 或 tan θ= 2(舍去), 2 2 ∴tan θ=- . 2 9. 2+1 解析 y=2sin2x+2sin xcos x =1-cos 2x+sin 2x π = 2sin(2x- )+1, 4 ∴ymax= 2+1. 10.tan 2α 2sin22α+2sin 2αcos 2α 解析 原式= 2cos22α+2sin 2αcos 2α 2sin 2α?sin 2α+cos 2α? = =tan 2α. 2cos 2α?cos 2α+sin 2α? 3 11.- 3 解析 ∵sin α=cos 2α=1-2sin2α ∴2sin2α+sin α-1=0, 1 ∴sin α= 或-1. 2 π 1 ∵ <α<π,∴sin α= , 2 2 5 3 ∴α= π,∴tan α=- . 6 3 4 12. 3 sin α+cos α tan α+1 解析 = =3,故 tan α=2. sin α-cos α tan α-1 又 tan(α-β)=2,故 tan(β-α)=-2, ∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] tan?β-α?-tan α 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 3 3π 13. 2 解析
4

2x π? 2x 2x π 2x π 2x π 2x π 2π y=sin +cos cos -sin · sin =cos cos +sin sin =cos? ? 3 -6?,T= 2 = 3 3 6 3 6 3 6 3 6 3 3π,相邻两对称轴的距离是周期的一半. 33 14. 65 π π 解析 由于 α∈(0, ),β∈(- ,0), 2 2 因此 α-β∈(0,π). 3 π 又由于 cos(α-β)= >0,因此 α-β∈(0, ). 5 2 4 12 sin(α-β)= 且 cos β= , 5 13 sin α=sin(α-β+β) =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β 4 12 3 5 33 = × + ×(- )= . 5 13 5 13 65 15.解 ∵tan α、tan β 为方程 6x2-5x+1=0 的两根, 5 1 ∴tan α+tan β= ,tan αtan β= , 6 6 5 6 tan α+tan β tan(α+β)= = =1. 1 1-tan αtan β 1- 6 π 3π ∵0<α< ,π<β< , 2 2 5π ∴π<α+β<2π,∴α+β= . 4 π 2π π π 16.解 (1)f( )=2cos +sin2 -4cos 3 3 3 3 3 9 =-1+ -2=- . 4 4 2 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos2x)-4cos x 2 7 =3cos2x-4cos x-1=3(cos x- )2- ,x∈R. 3 3 因为 cos x∈[-1,1], 所以,当 cos x=-1 时,f(x)取得最大值 6; 2 7 当 cos x= 时,f(x)取得最小值- . 3 3 17.解 (1)∵a⊥b,∴a· b=0. 而 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), 故 a· b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0. 由于 cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0. 4 1 解之,得 tan α=- ,或 tan α= . 3 2 3π 1 ? ∵α∈? ? 2 ,2π?,tan α<0,故 tan α=2(舍去). 4 ∴tan α=- . 3 3π α ?3π ? ? (2)∵α∈? ? 2 ,2π?,∴2∈? 4 ,π?. 4 α 1 α 由 tan α=- ,求得 tan =- 或 tan =2(舍去). 3 2 2 2 解析

5

α 5 α 2 5 = ,cos =- , 2 5 2 5 α π? α π α π cos? ?2+3?=cos 2cos 3-sin 2sin 3 2 5 1 5 3 =- × - × 5 2 5 2 2 5+ 15 =- . 10 π ? 18.解 (1)f(x)=2sin2? ?4+x?- 3cos 2x π ? =1-cos? ?2+2x?- 3cos 2x =1+sin 2x- 3cos 2x π? =2sin? ?2x-3?+1, π π π 周期 T=π;2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π? 解得 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). π π? π ?π 2π? (2)x∈? ?4,2?,所以 2x-3∈?6, 3 ?, π? ?1 ? sin? ?2x-3?∈?2,1?, 所以 f(x)的值域为[2,3]. 而 f(x)=m+2,所以 m+2∈[2,3],即 m∈[0,1]. 19.解 (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) π = 3sin 2x+cos 2x=2sin (2x+ ), 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 因为 f(x)=2sin (2x+ )在区间[0, ]上为增函数,在区间[ , ]上为减函数,又 f(0)=1, 6 6 6 2 π π π f( )=2,f( )=-1,所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小值为-1. 6 2 2 π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin (2x0+ ). 6 6 π 3 因为 f(x0)= ,所以 sin (2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ], 4 2 6 3 6 π π 4 从而 cos(2x0+ )=- 1-sin2?2x0+ ?=- . 6 6 5 π π 所以 cos 2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(2x0+ )cos +sin (2x0+ )sin = . 6 6 6 6 10 α 2tan 2 4 20.解 (1)tan α= = , α 3 1-tan2 2 sin α 4 所以 = .又因为 sin2α+cos2α=1, cos α 3 ∴sin

6

4 解得 sin α= . 5 π (2)因为 0<α< <β<π,所以 0<β-α<π. 2 2 7 2 因为 cos(β-α)= ,所以 sin(β-α)= . 10 10 所以 sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α 7 2 3 2 4 2 = × + × = . 10 5 10 5 2 π ? 3π 因为 β∈? ?2,π?,所以 β= 4 .

7


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