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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分62 排列与组合


开卷速查(六十二)

排列与组合

A 级 基础巩固练 1.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片 至多 1 张,不同取法的种数为( A.232 C.472 ) B.252 D.484

解析:由题意可知,抽取的三张卡片可以分为

两类,一类为不含 红色的卡片,一类是含一张红色的卡片,第一类抽取法的种数为 C3 12-
3 3C4 =208,第二类抽取法的种数为 C1 C2 4· 12=264,故而总的种数为 208

+264=472. 答案:C 2.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地 参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安 排方案共有( A.12 种 C.9 种 ) B.10 种 D.8 种

1 2 解析: 因为 2 名教师和 4 名学生按要求分成两组共有2C1 2C4种分法, 1 1 2 2 再分到甲、乙两地有2C2 C4A2=12 种,所以选 A. 答案:A 3.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所 有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( A.10 种 C.20 种 B.15 种 D.30 种 )

解析:分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种情形;恰好打 4 局(一人 前 3 局中赢 2 局,输 1 局,第 4 局赢),共有 2C2 3=6(种)情形;恰好打
2 5 局(一人前 4 局中赢 2 局, 输 2 局, 第 5 局赢), 共有 2C4 =12(种)情形. 所

有可能出现的情形共有 2+6+12=20(种). 答案:C 4.新学期开始,某校接受 6 名师大毕业生到校学习,学校要把他 们分配到三个年级,每个年级 2 人,其中甲必须在高一年级,乙和丙 均不能在高三年级,则不同的安排种数为( A.18 C.12 B.15 D.9 )

2 解析:先安排高三年级,从除甲、乙、丙的 3 人中选 2 人,有 C3 种 2 选法;再安排高一年级,有 C1 3种方法,最后安排高二年级,有 C2种方 1 2 法,由分步乘法计数原理,得共有 C2 3C3C2=9(种)安排方法.

答案:D 5.三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字 都小,则称这个数为凹数,如 524,746 等都是凹数,那么,各个数位上 无重复数字的三位凹数有( A.72 个 C.240 个 ) B.120 个 D.360 个

解析:从 0~9 这 10 个数字中任选 3 个,有 C3 10种,这三个数字组
3 2 成的凹数有 A2 2个,故共有 C10A2=240(个).

答案:C 6.用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个 数字出现两次的四位数的个数为( A.144 ) B.120

C.108

D.72

1 2 2 解析:若四位数中不含 0,则有 C3 C4A2=36(种);若四位数中含有 1 2 1 2 2 一个 0,则有 C1 3C3C3A2=54(种);若四位数中含有两个 0,则有 C3A3=

18(种),∴共有 36+54+18=108(种),选 C. 答案:C 7.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每 个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间, 则不同分法的种数为__________.
1 1 解析:若甲、乙分到的车间不再分人,则分法有 C3 ×A2 2×C3=18 1 种;若甲、乙分到的车间再分一人,则分法有 3×A2 2×C3=18(种).所

以满足题意的分法共有 18+18=36(种). 答案:36 8.从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交 通、礼仪三项义工活动,要求翻译有两人参加,交通和礼仪各有 1 人 参加,则不同的选派方法共有__________种. 解析:本题可分三步完成. 第一步:先从 5 人中选出 2 名翻译,共 C2 5种选法, 第二步:从剩余 3 人中选 1 名交通义工,共 C1 3种选法, 第三步:从剩余两人中选 1 名礼仪义工,共 C1 2种选法,
1 1 所以不同的选派方法共有 C2 5C3C2=60(种).

答案:60 9.有一个不规则的六面体盒子(六个面大小不同),现要用红、黄、 蓝三种颜色刷盒子的六个面,其中一种颜色刷 3 个面,一种颜色刷两 个面,一种颜色刷 1 个面,则刷这个六面体盒子的刷法有__________ 种.

2 1 解析:可先分组后分配,即将 6 个面分成 3,2,1 三组共有 C3 6C3C1种

分组方法,然后每一组用三种颜色去刷,各有 A3 3种,由分步计数原理
2 1 3 可知共有 C3 A3=360(种)刷法. 6C3C1·

答案:360 10.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数: (1)能组成多少个五位数? (2)能组成多少个正整数? (3)能组成多少个六位奇数? (4)能组成多少个能被 25 整除的四位数?
1 解析:(1)因为万位上数字不能是 0,所以万位数字的选法有 A5 种, 4 4 其余四位上的排法有 A5 种,所以共可组成 A1 5A5=600(个)五位数.

(2)组成的正整数,可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 数,相应的排法种数依次为 A5 ,A1 5A5,A5A5,A5A5,A5A5,A5A5, 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 所以可组成 A5 + A1 5A5 +A5A5 +A5A 5+A5 A 5+A5 A5 =1 630(个)正整

数. (3)首位与个位的位置是特殊位置,0,1,3,5 是特殊元素,先选个位
1 1 数字,有 A3 种不同的选法;再考虑首位,有 A4 种不同的选法,其余四 4 个位置的排法有 A4 种. 1 1 4 所以能组成 A3 A4A4=288(个)六位奇数.

(4)能被 25 整除的四位数的特征是最后两位数字是 25 或 50,这两
1 1 2 种形式的四位数依次有 A3 · A3和 A4 个, 1 2 所以,能组成 A1 3A3+A4=21(个)能被 25 整除的四位数.

B 级 能力提升练 11.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a, b,共可得到 lga-lgb 的不同值的个数是( )

A.9 个 C.18 个

B.10 个 D.20 个

解析: 记基本事件为(a, b), 则基本事件空间 Ω={(1,3), (1,5), (1,7), (1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3), (7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有 20 个基本事件,而 lga-lgb a a =lgb,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使 lgb的值相等,则不同 值的个数为 20-2=18(个),故选 C 项. 答案:C

12.[2015· 江西景德镇质检 ]工人在安装一个正六边形零件时,需 要固定如图所示的六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝, 接着拧它对角线上(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝, 第四个也拧它对角线上螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝 都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的 2 个 螺丝,则不同的固定方式有__________种. 解析:第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有
1 C1 6种方法,再随意拧第三个螺丝,和其对角线上的,有 C4种方法,然

后随意拧第五个螺丝,和其对角线上的,有 C1 2种方法;第二阶段:先 随意拧一个螺丝,有 C1 6种方法,再随意拧不相邻的,若拧的是对角线 上的,则还有 4 种拧法,若拧的是不相邻斜对角上的,则还有 6 种拧
1 1 1 1 法.完成上述过程分类进行,所以总共的固定方式有 C6 C4C2C6×(4+

6)=2 880 种. 答案:2 880 13.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答). 解析: 如图六个位置 1 2 3 4 5 6 .若 C 放在第一个位置, 则满足
5 条件的排法共有 A5 种情况;若 C 放在第 2 个位置,则从 3,4,5,6 共 4 个 3 位置中选 2 个位置排 A,B,再在余下的 3 个位置排 D,E,F,共 A2 4A3

种排法;若 C 放在第 3 个位置,则可在 1,2 两个位置排 A,B,其余位
2 3 置排 D,E,F,则共有 A2 A3种排法或在 4,5,6,共 3 个位置中选 2 个位 2 3 置排 A,B,再在其余 3 个位置排 D,E,F,共有 A3 A3种排法;若 C 2 3 2 3 放在第 4 个位置,则有 A2 A3+A3 A3种排法;若 C 放在第 5 个位置,则 2 3 有 A4 A3种排法;若 C 放在第 6 个位置,则有 A5 5种排法. 5 3 2 3 2 3 综上,共有 2(A5 +A2 4A3+A3A3+A2A3)=480(种)排法.

答案:480 14.有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的 分配方式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (3)分成每组都是 2 本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本.
1 解析:(1)分三步:先选一本有 C6 种选法;再从余下的 5 本中选 2 2 3 本有 C5 种选法;对于余下的三本全选有 C3 种选法,由分步乘法计数原 2 3 理知有 C1 6C5C3=60(种)选法.

(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分
2 3 3 配的问题,因此共有 C1 6C5C3A3=360(种)选法.

2 2 (3)先分三步,则应是 C2 6C4C2种选法,但是这里面出现了重复,不

妨记 6 本书分别为 A、B、C、D、E、F,若第一步取了(AB,CD,EF),
2 2 则 C2 6C4C2种分法中还有(AB、EF、CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、 3 AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有 A3 3种情况,而且这 A3种情

况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方
2 2 2 C6 C4C2 式有 A3 =15(种). 3

(4)在问题(3)的基础上再分配,故分配方式有
2 2 2 C6 C4C2 3 2 2 2 · A3=C6 C4C2=90(种). A3 3


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