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2014世纪金榜第七章 第四节


第四节 平面与平面平行

平面与平面平行
(1)判定定理

文字语言 判 定 定 理
如果一个平面内有 相交直线 两条_________ 都 平行于另一个平面, 那么这两个平面平 行.

图形语言

符号语言 a∥β ∵______, b∥β ______, a∩b=P ___

____, a?α ,b?α ____________,
∴α ∥β .

(2)性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 α ∥β ∵_______, α ∩γ =a _________, β ∩γ =b _________, ∴a∥b.

性 质 定 理

如果两个平行平面
同时和第三个平面 相交 ,那么所得 _____ 交线 平行. 的两条_____

(3)两个平行平面间的距离 ①公垂线

都垂直 的直线,叫做这两个平行平面的公垂线. 与两个平行平面_______
②两个平行平面间的距离 公垂线段的长度 叫做两个平行平面间的距离, 两个平行平面的_______________ 两个平行平面的公垂线段都相等.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两
个平面平行.( )

(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线
平行或异面.( )

(3)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两
个平面一定平行.( )

(4)已知平面α ∥平面β ,直线a?α .则a与平面β 内的无数条 直线平行.( )

(5)若平面α ∥平面β ,直线a∥平面α ,则直线a∥平面 β .( )

【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两
个平面平行.

(2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公
共点,则它们平行或异面. (3)错误.不一定平行.如果这无数条直线互相平行,则这两个 平面就可能相交,而不一定平行.

(4)正确.过a作平面γ交平面β于直线b,则a∥b,故直线a平 行于平面β内所有与直线b平行的直线,有无数条. (5)错误.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,则a∥β或 a?β. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×

1.若m,n为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,则以 下命题正确的序号是______. (1)若α ⊥β ,m⊥α ,则m∥β . (2)若m∥n,m⊥α ,则n⊥α . (3)若m∥β ,α ∥β ,则m∥α . (4)若α ∩β =m,m⊥n,则n⊥α .

【解析】(1)中,m与β可平行、也可以在β内;(3)中,m可以 平行于α,m也可以在α内;(4)中,n也能在α内或n∥α或与 α相交. 答案:(2)

2.已知直线l,m,平面α ,β ,下列条件能得出α ∥β 的是 _______. (1)l?α ,m?α ,且l∥β ,m∥β

(2)l?α ,m?β ,且l∥m
(3)l⊥α ,m⊥β ,且l∥m

(4)l∥α ,m∥β ,且l∥m

【解析】如图,在正方体AC1中,AA1⊥平面ABCD,BB1⊥平面
A1B1C1D1且AA1∥BB1,则平面ABCD∥平面A1B1C1D1,故(3)可推出

α∥β.

答案:(3)

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是 ________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1. 【解析】借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线,故 ③错误. 答案:①②④

4.设α ,β 是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给出 下列条件: ①α ,β 都平行于直线a,b; ②a,b是α 内两条直线,且a∥β ,b∥β ; ③若a,b相交,且都在α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β . 其中可判定α ∥β 的条件的序号为_______.

【解析】①、②中的平面可能平行、相交,故不正确;③因为
a,b相交,可设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得

γ∥α,同理可得γ∥β,因此α∥β,故③正确.
答案:③

考向 1

面面平行的判定

【典例1】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,

E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1
的中点,求证:

(1)B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【思路点拨】(1)要证明B,C,H,G四点共面,可证明直线GH 与直线BC共面;(2)可利用面面平行的判定定理证明. 【规范解答】(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点, ∴GH是△A1B1C1的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四点共面.

(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,

∴EF∥平面BCHG.
∵A1G EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,

∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,

∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.

【互动探究】在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,
求证:平面A1BD1∥平面AC1D.

【证明】如图所示,连结A1C交AC1于点H,

∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴H是A1C的中点,
连结HD,D为BC的中点,∴A1B∥HD. ∵A1B?平面A1BD1,DH?平面A1BD1, ∴DH∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1 ∴四边形BDC1D1为平行四边形, ∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1, BD1?平面A1BD1, ∴DC1∥平面A1BD1,又∵DC1∩DH=D, ∴平面A1BD1∥平面AC1D. BD,

【拓展提升】判定面面平行的方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行. (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平 面,则这两个平面平行.

【变式备选】在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求证: (1)A1D∥平面CB1D1.

(2)平面A1BD∥平面CB1D1.
【证明】(1)因为A1B1∥CD,且A1B1=CD,所以,四边形A1B1CD是

平行四边形,所以,A1D∥B1C.又B1C?平面CB1D1,且A1D?平面
CB1D1,所以,A1D∥平面CB1D1.

(2)由(1)知A1D∥平面CB1D1,同理可证A1B∥平面CB1D1.又
A1D∩A1B=A1,所以,平面A1BD∥平面CB1D1.

考向 2

面面平行的性质

【典例2】(2013·徐州模拟)如图,在六面体ABCDEFG中,平面 EFG∥平面ABCD,AE⊥平面ABCD,EF⊥EG,AD∥BC, EF=AE=AB=AD=2,EG=BC=1. (1)求证:GD∥平面BCF.

(2)求三棱锥B -AGD的体积.

【思路点拨】(1)要证GD∥平面BCF可转化为证明平面BCF∥平

面ADGE.
(2)求三棱锥的体积关键是选准底面(其面积易求)和高(易证).

【规范解答】(1)∵平面EFG∥平面ABCD,平面EFG∩平面
ABFE=EF,平面ABCD∩平面ABFE=AB, ∴EF∥AB,同理EG∥AD.

又∵EF=AB,∴四边形ABFE为平行四边形, ∴BF∥AE, 又∵AD∥BC,AD∩AE=A,BC∩BF=B, ∴平面BCF∥平面ADGE. 又∵GD?平面ADGE,GD?平面BCF, ∴GD∥平面BCF.

(2)∵平面EFG∥平面ABCD,且AE⊥平面ABCD,AE=2,
设点G到平面ABD的距离为d,则d=2.

∵AB∥EF,AD∥EG,EF⊥EG,∴AB⊥AD,∴三角形ABD为直角三角
形,

∴S△ABD= 1 AD·AB= 1 ×2×2=2,
4 1 1 ∴VB -AGD=VG -ABD= ×S△ABD·d= ×2×2= . 3 3 3 2 2

【拓展提升】 1.面面平行的性质 (1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面. (2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.

2.面面平行的应用 (1)面面平行常常用来作为判定线面平行或者是线线平行的依 据. (2)面面平行通常与平行公理、等角定理放在一起使用 . (3)如果结合线面垂直,可以通过面面平行得到线面距、点面 距,并且常以长方体或者正方体为载体.

【变式训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,

∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,
PA=2.

(1)证明:直线CE∥平面PAB.
(2)求三棱锥E-PAC的体积.

【解析】(1)取AD中点F,连结EF,CF,

∴在△PAD中,EF是中位线,可得EF∥PA.
∵EF?平面PAB,PA?平面PAB,

∴EF∥平面PAB.
∵Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,

∴AC=

AB =2. cos 60?

又∵Rt△ACD中,∠CAD=60°,

∴AD=4,结合F为AD中点,得△ACF是等边三角形,
∴∠ACF=∠BAC=60°,可得CF∥AB.

∵CF?平面PAB,AB?平面PAB,
∴CF∥平面PAB.

∵EF,CF是平面CEF内的相交直线,
∴平面CEF∥平面PAB. ∵CE?平面CEF,∴CE∥平面PAB.

(2)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又∵AC⊥CD,PA,AC是平面PAC内的相交直线, ∴CD⊥平面PAC. ∵CD?平面DPC,∴平面DPC⊥平面PAC. 过E点作EH⊥PC于H,由面面垂直的性质定理,得EH⊥平面PAC, ∴EH∥CD. Rt△ACD中,AC=2,AD=4,∠ACD=90°,

∴CD=

AD2 ? AC2 ? 2 3.
1 CD= 2

∵E是PD中点,EH∥CD,∴EH=
2

3.

∵PA⊥AC,∴SRt△PAC= 1 ×2×2=2,
3

因此,三棱锥E-PAC的体积 V ? 1 S△PAC ? EH ? 2 3 .
3

考向 3

平行关系的综合应用

【典例3】如图所示,平面α ∥平面β ,点A∈α ,点C∈α , 点B∈β ,点D∈β ,点E,F分别在线段AB,CD上,且 AE∶EB=CF∶FD. (1)求证:EF∥β . (2)若E,F分别是AB,CD的中点, AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角 为60°,求EF的长.

【思路点拨】(1)要证EF∥β,可转化为证明EF与β内的某一
直线平行或证明EF所在的平面与β平行. (2)以EF为边构造三角形可求得EF的长.

【规范解答】(1)①当AB,CD在同一平面内时, 由α∥β,平面α∩平面ABDC=AC, 平面β∩平面ABDC=BD, ∴AC∥BD. ∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD. 又EF?β,BD?β,∴EF∥β.

②当AB与CD异面时,

设平面ACD∩β=DH,且DH=AC. ∵α∥β,α∩平面ACDH=AC, ∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形.

在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,
得GF∥HD.

又∵AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH,
∴EG∥BH.

又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面β.
又EF?平面EFG,∴EF∥β. 综上,EF∥β.

(2)如图所示,连结AD,取AD的中点M,连结ME,MF.

∵E,F分别为AB,CD的中点, ∴ME∥BD,MF∥AC,且ME= 1 BD=3, MF= 1 AC=2,
2 2

∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角), ∴∠EMF=60°或120°. 在△EFM中由余弦定理得
EF ? ME2 ? MF2 ? 2ME? MF? cos?EMF

= 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 13 ? 6,
2

即EF= 7 或EF= 19.

【拓展提升】三种平行关系的转化方向及注意事项
(1)转化方向

如图所示:

(2)注意事项 在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转 化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件 规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经

过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行 .
【提醒】解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具

体条件,选择正确的转化方向.

【变式训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD 的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么 位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下:

∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.

又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO,
QB?平面PAO,PA?平面PAO,

∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,
又D1B∩QB=B,D1B,QB?平面D1BQ,

∴平面D1BQ∥平面PAO.

【满分指导】 平行关系证明题的规范解答 【典例】(14分)(2012·山东高考)如图,几何体E-ABCD是四棱 锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE. (2)若∠BCD=120°,M为线段AE 的中点,求证:DM∥平面BEC.

【思路点拨】

【规范解答】(1)取BD的中点O,连结CO,EO.

由于CB=CD,所以CO⊥BD.????????????1分 又EC⊥BD,EC∩CO=C,

CO,EC?平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,所以BD⊥OE.?????????3分

又O为BD的中点,①
所以BE=DE.??????????????????5分

(2)方法一:取AB的中点N,连结DM,DN,MN.
因为M是AE的中点, 所以MN∥BE.6分 又MN?平面BEC,BE?平面BEC,② 所以MN∥平面BEC.????????????????7分 又因为△ABD为正三角形, 所以∠BDN=30°.

又CB=CD,∠BCD=120°, 因此∠CBD=30°, 所以DN∥BC.③ ??????????????????????9分

又DN?平面BEC,BC?平面BEC,④ 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN=N, 故平面DMN∥平面BEC. ????????????13分 又DM?平面DMN, 所以DM∥平面BEC.??????????????14分

方法二:延长AD,BC交于点F,连结EF.
因为CB=CD,∠BCD=120°,

所以∠CBD=30°.????????????????7分
因为△ABD为正三角形,

所以∠BAD=∠ABD=60°,∠ABC=90°,⑤

所以∠AFB=30°,所以AB=

1 AF.??????????9分 2

又AB=AD,
所以D为线段AF的中点.?????????????11分

连结DM,由点M是线段AE的中点,
因此DM∥EF.

又DM?平面BEC,EF?平面BEC,
所以DM∥平面BEC.???????????????14分

【失分警示】(下文①②③④⑤见规范解答过程)

1.(2013·苏州模拟)已知m,n是两条不同直线,α ,β ,γ 是
三个不同平面,下列命题正确的是_______.

(1)若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β
(2)若m⊥α ,n⊥α ,则m∥n

(3)若m∥α ,n∥α ,则m∥n
(4)若m∥α ,m∥β ,则α ∥β

【解析】若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α与β相交,故(1)错 误;若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交、异面都有可能,故

(3)错误;m∥α,m∥β,则α与β可平行也可相交,故(4)错误; 垂直于同一平面的两条直线平行,故(2)正确. 答案:(2)

2.(2013·徐州模拟)已知直线l,m,平面α ,β ,且l⊥α , m?β ,则“α ∥β ”是“l⊥m”的_____条件.(填“充分不必 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【解析】当α∥β,l⊥α时,有l⊥β,又m?β,故l⊥m. 反之,当l⊥m,m?β时,不一定有l⊥β,故α∥β不一定成立. 因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件. 答案:充分不必要

3.(2013·宿迁模拟)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行 的两条直线; ②若平面α ∥平面β ,则平面α 内任意一条直线m∥平面β ;

③若平面α 与平面β 的交线为m,平面α 内的直线l平行平面β ,
则直线l∥m;

④若平面α 内的三点A,B,C到平面β 的距离相等,则α ∥β .
其中正确命题的个数为______.

【解析】①中,互相平行的两条直线的射影可能重合,①错误;
②正确;由线面平行的性质定理知③正确;④中,若平面α内 的三点A,B,C在一条直线上,则平面α与平面β可以相交, ④错误. 答案:2

4.(2013·淮安模拟)已知a,b,l表示三条不同的直线,α ,β , γ 表示三个不同的平面,有下列三个命题:其中正确的是 _______. ①若α ∩β =a,β ∩γ =b且a∥b,则α ∥γ ; ②若α ⊥β ,α ∩β =a,b?β ,a⊥b,则b⊥α ; ③若a?α ,b?α ,l⊥a,l⊥b,则l⊥α .

【解析】①错误.如图所示.α∩β=a, β∩γ=b且a∥b,但α与γ相交.②正 确.由面面垂直的性质定理知正确. ③错误.若a∥b,则l不一定与α垂直. 答案:②

1.设α ,β ,γ 为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线, 在命题“α ∩β =m,n?γ ,且_______,则m∥n”中的横线处 填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α ∥γ ,n?β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m?γ . 可以填入的条件有_______.

【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,
m?γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行, ③正确. 答案:①或③

2.棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过 C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是_____. 【解析】如图,由面面平行的性质知

截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中
位线,所以截面是梯形CD1MN,CD1=
2 所以梯形面积为 1 ? ( 2 ? 2 2) ? 3 2 ? 9 . 2 2 2 9 答案: 2

2 2,MN=

3 2 ,梯形 CD MN 的高为 1 , 2


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