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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第四章三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例


4.6

正、余弦定理及其应用举例

考纲要求 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.

1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容 __________=2R. (R 为△ABC 外接圆半径)

r />余弦定理 a2=__________; b2=__________; c2=__________.

①a=____,b=______,c= ____; ②sin A=____,sin B= cos A=__________; 变形形 __________, sin C =_____ ____; cos B=__________; 式 ③a∶b∶c=__________; cos C=__________. a+b+c a ④ = . sin A+sin B+sin C sin A ①已知两角和任一边,求另一角 ①已知三边,求各角; 解决 和其他两条边. ②已知两边和它们的夹角,求第 的问题 ②已知两边和其中一边的对角, 三边和其他两个角. 求另一边和其他两个角. 2.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 __________的角叫仰角,在水平线 ______ 的角叫俯角(如图①).

3.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). 4.方向角 相对于某一方向的水平角(如图③).

图③ (1)北偏东 α° :指北方向向东旋转 α° 到达目标方向. (2)东北方向:指北偏东 45° 或东偏北 45° . (3)其他方向角类似. 5.坡角和坡比

坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角 θ 为坡角).

图④ 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡比).
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1.(2012 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( ). 3 A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 2 B a+c 2.在△ABC 中,cos2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 2 2c ( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这艘船 的速度是( ). A.5 海里/时 B.5 3海里/时 C.10 海里/时 D.10 3海里/时 4.如图,为了测量隧道 AB 的长度,给定下列四组数据,无法求出 AB 长度的是( ).

A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,γ 5.(2013 山东实验高三一诊)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a= 3, b= 2,B=45° ,则角 A=________.

一、利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1-1】(2012 辽宁高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B, C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. sin A+sin B 【例 1-2】△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tan C= ,sin(B cos A+cos B -A)=cos C. (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 方法提炼
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应熟练掌握正、 余弦定理及其变形. 解三角形时, 有时可用正弦定理, 也可用余弦定理, 应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 同时,已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A,则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形 关系 式 解的 个数 a<bsin A 无解 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b
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a≤b 无解

一解

请做演练巩固提升 1 二、三角形形状的判定 【例 2-1】△ABC 满足 sin B=cos Asin C,则△ABC 的形状是( ). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【例 2-2】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 方法提炼 判断三角形的形状的基本思想是:利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只 含角的三角函数关系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式; 或将条件化为只含 有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等 边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意 A, B,C 的范围对三角函数值的影响. 提醒:1.在△ABC 中有如下结论 sin A>sin B?a>b. 2.当 b2+c2-a2>0 时,角 A 为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角 三角形; 当 b2+c2-a2=0 时,角 A 为直角,三角形为直角三角形; 3.当 b2+c2-a2<0 时,角 A 为钝角,三角形为钝角三角形. 请做演练巩固提升 2 三、与三角形面积 有关的问题 π 【例 3】在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. 方法提炼 1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要 1 1 1 交替使用;在解决三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A= acsin B 最常用,因为 2 2 2 公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 2.解三角形过程中,要注意三角恒等变换公式的应用. 请做演练巩固提升 5 四、应用举例、生活中的解三角形问题 【例 4-1】某人在塔的正东沿着 南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向, 若沿途测得塔的最大仰角为 30° ,求塔高. 【例 4-2】如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进

行测量.已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE= 200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

方法提炼 1.测量距离问题,需注意以下几点: (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模 型; (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解; (3)应用题要注意作答. 2.测量高度时,需注意: (1) 要准确理解仰、俯角的概念; (2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理; (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形. 3.测量角度时,要准确理解方位角、方向角的概念,准确画出示意图是关键. 请做演练巩固提升 6 忽视三角形中的边角条件而致误 【典例】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1 +2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 1 错解:由 1+2cos(B+C)=0,知 cos A= , 2 π ∴A= . 3 a b bsin A 2 根据正弦定理 = 得:sin B= = , sin A sin B a 2 π 3π ∴B= 或 . 4 4 以下解答过程略. 错因:忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根. 正解:∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π 又∵1 +2cos(B+C)=0,∴1-2cos A=0,∴A= . 3 a b bsin A 2 在△ABC 中,根据正弦定理 = ,得 sin B= = . sin A sin B a 2 π 3π ∴B= 或 . 4 4 π ∵a>b,∴B= . 4 5 ∴C=π-(A+B)= π. 12 6+ 2 2 1 2 3 ∴sin C=sin( B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A= × + × = . 2 2 2 2 4 6+ 2 3+1 ∴BC 边上的高为 bsin C= 2× = . 4 2

答题指导:
1.考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现“会而不对,对而 不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件. 2.解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形中的边角条 件.

1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A +cos2B=( ). 1 1 A. - B. C.-1 D.1 2 2 2.在△ABC 中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 acos B=bcos A,则△ABC 的形状为 __________. 3.(2012 福建高考)在△ABC 中,已知∠BAC=60° ,∠ABC=45° ,BC= 3,则 AC= __________. 4.(2012 陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B= π ,c=2 3,则 b=______. 6 5.(2012 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 6.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘 正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/时的航行速度沿 正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 a b c 1. = = sin A sin B sin C ①2Rsin A 2Rsin B

b2 + c2 - 2bc· cos A

c2 + a2 - 2ca· cos B

a2 + b2 - 2ab· cos C

b2+c2-a2 a b c 2Rsin C ② ③sin A∶sin B∶sin C 2R 2R 2R 2bc 2 2 2 2 2 2 c +a -b a +b -c 2ca 2ab 2.上方 下方 基础自测 BC AC 3 2 AC 1.B 解析:由正弦定理得 = ,即 = ,解得 AC=2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° B a+c 2.B 解析:∵cos2 = , 2 2c a+c B ∴2cos2 -1= -1, 2 c a ∴cos B= , c 2 2 a +c -b2 a ∴ = ,∴c2=a2+b2. 2ac c 3.C 解析:如图,A,B 为灯塔,船从 O 航行到 O′,
[来源 :学科网 ]

OO′ =tan 30° , BO OO′ =tan 15° ,∴BO= 3OO′, AO AO=(2+ 3)OO′. ∵AO-BO=AB=10, ∴OO′·[(2+ 3)- 3]=10, ∴OO′=5, 5 ∴船的速度为 =10 海里/时. 1 2 4.D 解析:利用余弦定理,可由 a,b,γ 或 α,a,b 求出 AB;利用正弦定理,可由 a,α,β 求出 AB, 当只知 α,β,γ 时,无法计算 AB. 5.60° 或 120° 考点探究突破 1 【例 1-1】解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B=60° ,所以 cos B= . 2 (2)方法一:

1 由已知 b2=ac,及 cos B= , 2 根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C,所以 3 sin Asin C=1-cos2B= . 4 方法二: 1 由已知 b2=ac,及 cos B= , 2 2 a +c2-ac 3 根据余弦定理得 cos B= ,解得 a=c,所以 B=A=C=60° ,故 sin Asin C= . 2ac 4 sin A+sin B 【例 1-2】解:(1)因为 tan C= , cos A+cos B sin C sin A+sin B 即 = , cos C cos A+cos B 所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin Ccos B, 得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 即 2C=A+B,得 C= , 3 2π 所以 B+A= . 3 1 又因为 sin(B-A)=cos C= , 2 π 5π 则 B-A= 或 B-A= (舍去), 6 6 π 5π 得 A= ,B= . 4 12 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsin B= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sin A sin C 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3. 【例 2-1】A 解析:∵sin B=cos A· sin C, b2+c2-a2 ∴b= · c.∴b2+a2=c2. 2bc ∴△ABC 为直角三角形,选 A. 【例 2-2】解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc.① 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120° . 2 (2)由①得,sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又 sin B+sin C=1, 1 故 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰钝角三角形. 【例 3】解:(1)由余弦定理及已知条件, 得 a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的面积等于 3, 1 所以 absin C= 3,得 ab=4. 2

2 2 ? ? ?a +b -ab=4, ?a=2, 联立方程组? 解得? ?ab=4, ? ? ?b=2.

(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 4 3 2 3 当 cos A=0 时,A= ,B= ,a= ,b= . 2 6 3 3 所以△ABC 的面积 1 1 4 3 2 3 3 2 3 S= absin C= × × × = ; 2 2 3 3 2 3 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A, 由正弦定理得 b=2a, 2 2 ? ?a +b -ab=4, ? 联立方程组 ?b=2a. ?

?a=2 3 3, 解得? 4 3 ?b= 3 .
1 1 2 3 4 3 3 2 3 所以△ABC 的面积 S= absin C= × × × = . 2 2 3 3 2 3 2 3 综上知,△ABC 的面积为 . 3 【例 4-1】解:依题意画出图,某 人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米, 此时∠DBF=45° , 从 C 到 D 沿途测塔的仰角, 只有 B 到测试点的距离最短, 即 BE⊥CD 时, AB 仰角才最大,这是因为 tan∠AEB= ,AB 为定值,BE 最小时,仰角最大. BE

在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠DBC=135° . 由正弦定理,得 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD 40sin 30° ∴BD= =20 2. sin 135° 在 Rt△BED 中,∠BDE=180° -135° -30° =15° , 6- 2 BE=BDsin 15° =20 2× =10( 3-1). 4 在 Rt△ABE 中,∠AEB=30° , 10 ∴AB=BEtan 30° = (3- 3)(米). 3 10 ∴所求的塔高为 (3- 3)米. 3 【例 4-2】解:作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298, DE= DN2+EN2= 502+1202=130 , EF= (BE-FC)2+BC2= 902+1202=150. 在△DEF 中,由余弦定理, DE2+EF2-DF2 cos∠DEF= 2DE×EF 2 2 130 +150 -102×298 16 = = . 65 2×130×150 演练巩固提升 a b 1.D 解析:根据正弦定理 = =2R 得,a=2Rsin A,b=2Rsin B, sin A sin B 2 ∴acos A=bsin B 可化为 sin Acos A=sin B. ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 2.等边三角形 解析:∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, ∴(a+b)2-c2=3ab. ∴a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 1 ∴cos C= = . 2ab 2 π ∴C= . 3 ∵acos B=bcos A, ∴sin Acos B=sin Bcos A. ∴sin(A-B)=0. ∴A=B. 故△ABC 为等边三角形. 3. 2 解析:如图:

AC BC 由正弦定理得 = , sin B sin A AC 3 AC 3 即 = ,即 = , sin 45° sin 60° 2 3 2 2 故 AC= 2. 4.2 解析:∵b2=a2+c2-2accos B=4+12-2×2×2 3× ∴b=2. 3 =4, 2

5.(1)证明:在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, sin A sin C ? sin A sin C 所以 sin B? , ?cos A+cos C?=cos A· cos C 因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, 所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C, 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sin B, 因此 sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得 b2=ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)解:因为 a=1,c=2, a2+c2-b2 12+22-( 2)2 3 所以 b= 2,由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 4 2×1×2 因为 0<B<π, 7 所以 sin B= 1-cos2B= , 4 1 1 7 7 故△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 6.解:(1)解法一:设相遇时小艇的航行距离为 s 海里,则 s= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90° -30° ) 2 = 900t -600t+400 1?2 = 900? ?t-3? +300. 1 10 3 故当 t= 时,smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3

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即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. 解法二:若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向 为正北方向,如图,设小艇与轮船在 C 处相遇.

在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30° =10 3,AC=20sin 30° =10. 又 AC=30t,OC=vt, 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3.即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相 30 3 1 3 遇时小艇的航行距离最小. (2)如图,设小艇与轮 船在 B 处相遇,由题意,可得(vt)2=202+(30t)2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ).

1 3?2 400 600 化简,得 v2= 2 - +900=400? ? t -4? +675. t t

1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2, 2 t 1 所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13, t 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/时.


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