nbhkdz.com冰点文库

2012年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷(含答案)


2012 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 查

数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 12

0 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 锥体体积公式:

s?

1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

1 V ? Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案 中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 A. x ? ?1 B. x ? 1 C. y ? ?1 D. y ? 1

2.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , e x ≤ 0 C. ?x ? R , e x ? 0
1 ①z? i; 2

B. ?x ? R , e x ≤ 0 D. ?x ? R , e x ? 0
1 3 ②z?? ? i; 4 4

3.如果执行如图所示的框图,输入如下四个复数:

③z?

2 1 ? i 2 2

④z? ?

1 2

3 i, 2
第 3 题图

那么输出的复数是 A.① B.② C.③ D.④

4. 用 m 、 n 表示两条不同的直线, ? 表示平面,则下列命题正确的是 A.若 m // n, n ? ? ,则 m // ? B.若 m // ? , n ? ? ,则 m / / n

第 1 页 共 11 页

C.若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? ?, n ? ? ,则 m ? n C .若 ,则 D .若 m 2 ? ? ,则 m ? n m ? n , n ? ? ? ?, m ? ? 5. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , 则函数 f (x )? xn ? 2x ? ? 不存在零点的概率 2 2 则函数 f ( x) ? x ? 2x ? ? 不存在零点的概率 为 5. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , 为 1 1 2 1 A. B. C. D. 1 1 2 1 3 2 3 4 A. B. C. D. 2 线上,且与点 C 不 3 重合,若 6 .4 在 ?ABC 中 , 点3O 在 线 段 BC 的 延 长 在 ?ABC???? 中 , 点 O 在 线 段 BC 的 延 长 线 上 , 且 与 点 C 不 重 合 , 若 ???? 6 . ??? ? AO ? x AB ? (1 ? x) AC ,则实数 x 的取值范围是 ???? ??? ? ???? AO ? x AB ? (1 ? x) AC ,则实数 x 的取值范围是 A. ? ??,0 ? B. ? 0, ?? ? C. ? ?1,0 ? D. ? 0,1? A. ? ??,0 ? B. ? 0, ?? ? C. ? ?1,0 ? D. ? 0,1? 7. 如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以 A B 是1 、2 、3、4 中的任何一个 , 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 7. 如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以 A B C D B 方格的数字,则不同的填法共有 是 1、2、3、4 中的任何一个, 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 C D B 方格的数字,则不同的填法共有 A.192 种 B.128 种 C.96 种 D.12 种
A.192 种 B.128 种 C.96 种 D.12 种 【答案】 C 【答案】 8.函数 C f ( x) ? 2cos(? x ? ? )( ? ? 0,0 ? ? ? ? )为奇函数, 8.函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? )( ?B ? 0,0 ? ? ? ? )为奇函数, 该函数的部分图象如图所示,点 A、 分别为该部分图象的最 该函数的部分图象如图所示,点 A、B4分别为该部分图象的最 高点与最低点,且这两点间的距离为 2 ,则函数 f ( x) 图象 高点与最低点,且这两点间的距离为 4 2 ,则函数 f ( x) 图象 的一条对称轴的方程为 第 8 题图 的一条对称轴的方程为 ? ? 第 8 题图 A. x ? B. x ? C. x ? 4 D. x ? 2 2 4 ? ? A. x ? B. x ? C. x ? 4 D. x ? 2 4 x2 y 2 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 a b x y 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 a b P ,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为 T ,延长 FT 交双曲线右支于点 交双曲线右支于点 的中点,则该双曲线的渐近线方程为 FT T ,延长 A. x B. 2 x ? P CFP .4 D. x ? 2 y ? 0 ?y ?0 y ,若 ? 0 T 为线段 x? y?0 A . B C . ? y?0 2x ? y ? 0 4x y ?0 M ?ND x? y? 10 . x 若将有理数集 分成两个非空的子集 与 , 且满足 Q. ?. Q, M2? N0 ??, N? M 10. 若将有理数集 Q 分成两个非空的子集 M ? N ?Q, M ?N ? ?, M 与?N M, , 且满足 N ? 为有理数集的一个分割. 则称 试判 N 中的每一个元素, M 中的每一个元素都小于
第 7 题图
第 7 题图

则称 ? M , N ? 为有理数集的一个分割. 试判 M 中的每一个元素都小于 N 中的每一个元素, 断,对于有理数集的任一分割 成立的是 ? M , N ? ,下列选项中,不可能 ... 断,对于有理数集的任一分割 ? M , N ? ,下列选项中,不可能 成立的是 ... A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 A 有一个最小元素 B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 B N 也没有最小元素 C. M 没有最大元素, 有一个最大元素, N 有一个最小元素 C . 有一个最大元素, 有一个最小元素 N M D 没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) (非选择题 共 100 二、填空题(本大题共 第Ⅱ卷 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 分,把答案填在答题卡的相应位 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位 置上. ) 置上. )
第 2 页 共 11 页

11. sin 47? cos13? + sin13? sin 43? 的值等于 ★ ★ ★ . 12.函数 f ( x) ? x3 ? ax ( x ? R )在 x ? 1 处有极值,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线 方程是 ★ ★ ★ .

? x ? 1, ? 13.在约束条件 ? y ? 2, 下,目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为 1, ?x ? y ?1 ? 0 ?
则 ab 的最大值等于 ★ ★ ★ . 14.设函数 f ? x ? ?
1 ? ? ?1? 2
x

( x?Z ) .给出以下三个判断:

① f ? x ? 为偶函数;② f ? x ? 为周期函数;③ f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 . 其中正确判断的序号是 ★ ★ ★ (填写所有正确判断的序号) . 15. 一个平面图由若干顶点与边组成,各顶点用一串从 1 开始 的连续 自然数进行编号,记各边的编号为它的两个端点的编号差的 .. 绝对值,若各条边的编号正好也是一串从 1 开始的连续自然数,则 称这样的图形为“优美图” .已知图 15 是“优美图” ,则点 A、B 与 边 a 所对应的三个数分别为 ★ ★ ★ .
第 15 题图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. ) 16. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在直线 y ? 2 x 上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
? 1 ? (Ⅱ)若 bn ? log2 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ? bn ?1 ? 17.(本小题满分 13 分)

假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗 户或被敞开或被关闭,且概率均为 0.5 ,记此时教室里敞开的窗户个数为 X . (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞 开, 否则维持原状不变. 记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y , 求Y 的数学期望.

第 3 页 共 11 页

18.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下顶点分别为 a 2 b2

A 、 B ,已知点 B 在直线 l : y ? ?1 上,且椭圆的离心率
e? 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PQ ? y 轴,Q 为垂足, M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l 于点
第 18 题图

C , N 为线段 BC 的中点,求证: OM ? MN .

19.(本小题满分 14 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60? .点 E、F 分别在边 CD、CB 上, 点 E 与点 C 、 D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF 的位 置,使平面 PEF ⊥平面 ABFED . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 POA ; (Ⅱ)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (ⅰ)求四棱锥 P ? BDEF 的体积; ???? ??? ? (ⅱ)若点 Q 满足 AQ=? QP(? ? 0) ,试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是 否一定大于

? ?并说明你的理由. 4

第 19 题图

第 4 页 共 11 页

20.(本小题满分 14 分) 如图①,一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C,村庄 B 与 A、C 的直线 距离都是 2km ,BC 与河岸垂直,垂足为 D .现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A、B 供 电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元 /km 、 4 万元 /km . (Ⅰ)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆 AB ,需要改造,旧电缆的改造费用是 0.5 万元 /km .现决定利用旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总 施工费用的最小值. (Ⅱ) 如图②, 点 E 在线段 AD 上, 且铺设电缆的线路为 CE 、EA 、EB .若 ?DCE ? ? (0 ?? ?

?
3

) ,试用 ? 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

第 20 题图

21. 本题有(1)、 (2)、 (3)三个选做题, 每题 7 分, 请考生任选 2 题作答, 满分 14 分. 如 果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 ?3x ? y ? 2, 利用矩阵解二元一次方程组 ? . ?4 x ? 2 y ? 3 (2 ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的
? x ? 1 ? r cos ? , 极坐标方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 .圆的参数方程为 ? ( ? 为参数, r ? 0 ) , ? y ? 1 ? r sin ?

若直线 l 与圆 C 相切,求 r 的值. (3 ) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? b ? c ? 1 ( a , b , c ? R ) ,求 a ? b ? c 的最大值.
2 2 2

第 5 页 共 11 页

2014 年福建省高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. ) 11.

3 2

12. 3x ? y ? 0

13.

1 8

14. ①②③ 15. 3、6、3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 an ?1 ? 2an ,所以
an ?1 ?2 an

又 a1 ? 2 ,

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 所以 an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n (n ? N* ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ,所以 bn ? log 2 an ? n, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 所以
1 1 1 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? ? ? bn ? bn ?1 n ? (n ? 1) n n ? 1

所以 Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ?1 ?
? 1? 1 n . ? n ?1 n ?1

?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?

?1

1 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, X ? B(4, 0.5) , ∴ P( X ? 0) ? C4 ?
0

· · · · · · · · · · · · · ·1 分

1 1 ?1? 1?1? , P ( X ? 1) ? C4 ? ? ? , ? ? 4 ? 2 ? 16 ?2?
4 4

4

4

3 1 2?1? 3?1? P ( X ? 2) ? C4 ? ? ? , P ( X ? 3) ? C4 ? ? ? , 4 ?2? 8 ?2?
1 4?1? P( X ? 4) ? C4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ? ? , · ? 2 ? 16
4

? X 的分布列为

第 6 页 共 11 页

X

0

1

2

3

4

p

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

(Ⅱ) Y 的所有可能取值为 3,4,则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 4 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 P(Y ? 4) ? 1 ? P(Y ? 3) ? , · 4 1 3 15 ?Y 的期望值 E (Y ) ? 3 ? ? 4 ? ? . 4 4 4 15 答: Y 的期望值 E (Y ) 等于 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 4 P(Y ? 3) ? P( X ? 3) ?
18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意,得 b ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分
c 3 2 2 2 2 , a ? c ? b ? 1 ,∴ a ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? a 2 x2 ∴椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 4 (Ⅱ) (法一) 证明:设 P ? x0 , y0 ? , x0 ? 0 ,

∵e ?

则 Q(0, y0 ) ,且

x0 2 ? y0 2 ? 1 . 4

?x ? ∵ M 为线段 PQ 中点, ∴ M ? 0 , y0 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 2 ? ? 2( y0 ? 1) 又 A ? 0,1? ,∴直线 AM 的方程为 y ? x ?1 . x0
? x0 ? 0,? y0 ? 1,

? x ? 令 y ? ?1 ,得 C ? 0 , ?1? . ? 1 ? y0 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

? ? x0 又 B ? 0, ?1? , N 为线段 BC 的中点,∴ N ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 , ?1? . · ? 2(1 ? y0 ) ? ???? ? ?x ? x0 ∴ NM ? ? 0 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 , y0 ? 1? . · ? 2 2(1 ? y0 ) ?

第 7 页 共 11 页

???? ? ???? ? x ?x ? x0 x0 2 x0 2 ∴ OM ? NM ? 0 ? 0 ? ? ? y0 2 ? y0 ? ? y0 ? ( y0 ? 1) ? 2 ? 2 2(1 ? y0 ) ? 4 4(1 ? y0 ) 2 2 x x0 = ( 0 ? y0 2 ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? y0 ? 1 ? (1 ? y0 ) ? y0 ? 0 . · 4 4(1 ? y0 )

∴ OM ? MN . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ? ? x0 ?x ? (法二)同(法一)得: M ? 0 , y0 ? , N ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 , ?1? . · ?2 ? ? 2(1 ? y0 ) ? 当 y0 ? 0 时, x0 ? 2 , 此时 P ? 2, 0? , M ?1, 0 ? , N ?1, ?1? , ∴ kOM ? 0 , kMN 不存在,∴ OM ? MN . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 当 y0 ? 0 时, kOM ?

kMN ?

?2 ?1 ? y0 2 ? ? x0 ?1 ? y0 ?1 ? y0 , ? ? ? x0 x0 x0 y0 x0 y0 2 y0 ? 2 ?1 ? y0 ? 2 2 ?1 ? y0 ?

y0 2 y0 , ? x0 x0 2

∵ kOM ? kMN ? ?1 ,∴ OM ? MN · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 综上得 OM ? MN . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ,∴ PO ? EF . E F? A C 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,

∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ∵ ∵

且 PO ? 平面 PEF , ∴ ∵ ∴ ∵ ∴
PO ? 平面 ABFED ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

BD ? 平面 ABFED ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 PO ? BD . ·
A O? P O ?

, O

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 BD ? 平面 POA . · (Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .
第 8 页 共 11 页

又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x, 2,0) , ??? ? ??? ? ??? ? 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x, 2, ? x) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x) 2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 , 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 2 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ?2 )? 3 ? 3 . · 3 3 4 4 (ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,

由(i)知, OP ? 3 ,则 A(3 3, 0, 0) , B( 3, 2,0) , D( 3, ?2, 0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ? ? a , ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? ? c ? 3? ? c ? 3? ? ? c ? ? ?1 ?

3? ), ? ?1 ???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 , 0, ). ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .

∴ Q(

3 3

? ?1

,0,

??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0 ? ,∴ ? , ? ??4 y ? 0 ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
??? ? ∵ PB ?

?

?

设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,
???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n
1 2

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 9?? 9 ? ?2 2

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 4
第 9 页 共 11 页

?

?

2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 2

因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 20.(本小题满分 13 分)

? ,即结论成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 4

解: (Ⅰ)由已知可得 △ABC 为等边三角形. 因为 CD ? AD ,所以水下电缆的最短线路为 CD . 过 D 作 DE ? AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE 、 AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 又 CD ? 1, DE ?
3 , AB ? 2 , 2

故该方案的总费用为
1? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 0.5 2

? 5 ? 3 (万元)

????6 分
? ?

(Ⅱ)因为 ?DCE ? ? ? 0 ? ? ? 所以 CE ? EB ? 则y?

??

?, 3?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan ? .· cos ?

1 1 ?4? ?2? cos? cos ?

?

3 ? tan ? ? 2 ? 2 ?

?

3 ? sin ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ?2 3, · cos ?

令 g ?? ? ?

? cos2 ? ? ? 3 ? sin ? ?? ? sin ? ? 3sin ? ? 1 3 ? sin ? , · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? , 则 g ? ?? ? ? cos2 ? cos2 ? cos ?

因为 0 ? ? ?

?
3

,所以 0 ? sin ? ?

3 , 2

1 ? 记 sin ?0 ? ,?0 ? (0, ), 3 3

当 0 ? sin ? ? ,即 0 ≤ ? ? ?0 时, g ? ?? ? ? 0, 当 ? sin ? ?
1 3 3 ? ,即 ? 0 < ? ≤ 时, g ? ?? ? ? 0 , 2 3
1 3 ? 2 2 ,从而 y ? 4 2 ? 2 3 , · ? g (? 0 ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 2 3 3?

1 3

所以 g ?? ?min

此时 ED ? tan ?0 ?

2 , 4 2 . 4

因此施工总费用的最小值为( 4 2 ? 2 3 )万元,其中 ED ? 21.(本小题满分 7 分) 选修 4-2,矩阵与变换
第 10 页 共 11 页

· · · · · · · · · · · · · ·13 分

? 3 1?? x ? ? 2? 解:方程组可写为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ?? ? ? ? ? , · ? 4 2?? y ? ?3 ?

系数行列式为 3 ? 2 ? 4 ?1 ? 2 ,方程组有唯一解.
1? ? ?1 ? 1 ?2? ?3 1? 利用矩阵求逆公式得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? ,· ? ?? ? ?2 3 ? ? 4 2? ? ? ? 2 ? 1? 1 ?1? ? ? 1 ? ? x? , ? ? ? 2 ?x? ? ? ? ? 2 2 2 因此原方程组的解为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? y ? ? ?2 3 ? ? 3 ? ? 1 ? ?y ? 1 . ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2? ? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (2) (本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 解:∵直线 l 的极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 , ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又圆 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 , 所以圆心为 (1,1) ,半径为 r . 因为圆心到直线 l 的距离 d ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
1 ?1 ?1 2 ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2

又因为直线 l 与圆 C 相切,所以 r ?

2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (法一)解:∵ a , b , c ? R , a2 ? b2 ? c2 ? 1 , ∴ (a ? b ? c)2 ? (a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1)2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 3 (法二)解:∵ a2 ? b2 ? 2ab , b2 ? c2 ? 2bc , a2 ? c2 ? 2ac ∴ (a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac

当且仅当 a ? b ? c ?

? a2 ? b2 ? c2 ? (a2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ) ? (a2 ? ?c2 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

∵ a2 ? b2 ? c2 ? 1 , ∴ (a ? b ? c)2 ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c ?
3 时等号成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3

∴ a ? b ? c 的最大值为 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

第 11 页 共 11 页


2012年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学

2012年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学_数学_高中教育_教育专区。2012 年福建...本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为...

2012年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷(含答案)

b ? c 的最大值. 2 2 2 第 5 页共 11 页 2012 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 10 小题,每小题...

2012年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷

年福州市高中毕业 毕业班 检查数学 理科) 数学( 2012 年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷一、选择题【本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) ...

2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试(word)

4 的解集。 6 2015 年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试参考答案及评分细则第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 ...

2012年福州市高中毕业班质量检查理科数学

高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 2012 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科) 数学(理科)试卷参考答案及评分标准小题, 一、选择题(本大题共 10 小题...

2012年福建省福州市高中毕业班质量检查数学(理科)答案

2012 年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分标准 年福州市高中毕业班质量检查数学 理科)试卷参考答案及评分标准 数学(小题, 一、选择题(本大题...

2012年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷参考答案及评分标准(图)

2012年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷参考答案及评分标准(图) 隐藏>> 分享到: X 分享到: 使用一键分享,轻松赚取财富值, 了解详情 嵌入播放器: 普通...

2013年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷

3c 的取值范围. 2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种...

福建省福州市2016届高三普通高中毕业班3月质量检查数学(理)试卷

B. ? ?2016, ?2012 ? C. ? ??, ?2016 ? 0? D. ? ?2016, 第Ⅱ...年福州市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)答案第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) ...