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日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二十二(选修2-2和2-3)


日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二十二(选修 2-2 和 2-3)
1.复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ?
3

( A) ?2 ? 2i

( B ) ?2 ? 2i

(C ) ? ? ?i

i ( D) ? ? ?

/>2.若曲线 y ? x ? ax 在坐标原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 ,则实数 a ? A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2 2012 3.设 a ∈Z,且 0≤ a ≤13,若 51 + a 能被 13 整除,则 a = A.0 B.1 C.11 D.12 4.袋子里有 3 颗白球,4 颗黑球,5 颗红球.由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球,抽取后不放回.若每颗球被抽到的 机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 5.曲线 y ? x2 与直线 x ? y ? 2 围成的图形的面积为 6.已知 x 与 y 之间的 一组数据: x y 0 m 1 3 2 5.5 3 7 (A) A.

1 4

(B) B.4

1 3
C.

(C)

2 7
D.5

(D)

3 11

7 2

9 2

^ 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程y=2.1x+0.85,则 m 的值为 A.1 B.0.85 C.0.7 A 1
5

D.0.5 B 1 C1
7

7.如图, 四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形, 现有 4 种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB 与△COD 同色且△BOC 与△AOD 也同色的概率
6

D1
2

8.若函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 A. ? ? 2 ln 2, ?? ?
4

?1 ?2

? ?

B. ? ??,

? ?

1 ? ? 2 ln 2? 2 ?

C. ?2 ? 2ln 2, ???

D. ? ??, 2 ? 2ln 2?

9.函数 f ?x? ? e? ? x 的部分图象大致是

10.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格外跳到第 8 个 格子的方法种数为 1 2 3 4 5 6 7 8

A.8 种 B.13 种 C.21 种 D.34 种 a 15 11.(x+ )(2x- ) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为__________ x x
2 0 2 1 1 2 0 3 0 3 1 2 2 1 3 0 4 0 4 1 3 2 2 3 1 12.已知 C5 ? C2 C3 ? C2 C3 ? C2 C3 ; C8 ? C4 C4 ? C4 C4 ? C4 C4 ? C4 C4 ; C9 ? C3 C6 ? C3 C6 ? C3 C6 ? C3 C6 3 0 3 观察以上等式的规律, 在横线处填写一个合适的式子使得下列等式成立, C10 ? C4 C6 ? ________________ .

13.在共有 2 013 项的等差数列{an}中,有等式(a1+a3+…+a2 013)-(a2+a4+…+a2 012)=a1 007 成立;类比上述性质,在
1

共有 2 011 项的等比数列{bn}中,相应的有等式________成立. 14.把圆周 4 等分,A 是其中一个分点,动点 P 在四个分点上按逆时针方向前进,掷一个各面分别写有数字 1,2,3,4 且质 地均匀的正四面体, P 从点 A 出发按照正四面体底面上所掷的点数前进 (数字为 n 就前进 n 步) , 转一周之前继续投掷, 转一周或超过一周即停止投掷。则点 P 恰好返回 A 点的概率是 15.右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象,给出下列命题: y ① ?3 是函数 y ? f ( x) 的极值点;② ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f ( x) 在区间 (?3, 1) 上 单调递增.。则正确命题的序号是__________
-3 -2 -1 O 1 x

16.为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校 选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 人数 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁

4

4

2

2

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 17.设函数 f ( x ) =

e x -1 . x

(1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)-1<a 成立. 18.有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币,其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为 然后小红再抛掷这三枚硬币. (1)求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率; (2)若用 ? 表示小华抛得正面的个数,求 ? 的分布列和数学期望; (3)求小华和小红抛得正面个数相同(包括 0 个)的概率. 19.已知函数 f(x) ? (2x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 (a ? 0) (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)设 ?x ??1, ??? ,不等式 (2 x ? 4a) ln x ? ? x 恒成立,求 a 的取值范围。 20. 某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下: 每人连续投掷 5 支飞镖,累积 3 支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投掷:①累积 3 支飞镖掷中目标;②累积 3 支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数 p( p ? 0.5) ,且掷完 3 支飞镖就中止投掷的概率为 (1)求 p 的值; (2)记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 21.已知函数 f ( x) ? e ?1 ? ax(a ? R)
x

2 .小华先抛掷这三枚硬币, 3

1 . 3

(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)试探究函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点,若存在,请指出
x 有几个零点;若不存在,请说明理由; ( 3)若 g ( x) ? ln(e ? 1) ? ln x ,且 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,

求实数的取值范围
2

日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二十二(选修 2-2 和 2-3)答案
DCDDC DCCCC

125 b1· b3· b5·…·b2 011 =b1 006;14. P ? ;15. ①④ b2· b4· b6·…·b2 010 256 16.解: (I)“从这 12 名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件 A ,
1 2 2 1 3 0 11. 40;12. C4 C6 ? C4 C6 ? C4 C6 ;13.

则 P ( A) ?

2 2 2 2 C4 ? C4 ? C2 ? C2 7 . ? 2 33 C12

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 则 P (? ? 0) ?
0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 33 33 11 C12 C12 C12

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

14 33 14 16 1 2 ∴ E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3

16 33

1 11

xex-(ex-1) (x-1)ex+1 17.解:(1) 由题意知: ,f?(x)= = , 令 h(x)=(x-1)ex+1,则 h?(x)=x ex>0, x2 x2 ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,又 h(0)=0,∴h(x)>0,则 f?(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. (2) f(x)-1= ex- x -1 ,不等式 f(x)-1<a 可化为 ex-(a+1)x-1<0, x 由 G?(x)=0 得:x=ln(a+1),

令 G(x)= ex-(a+1)x-1, G?(x)=ex-(a+1),

当 0<x< (ln(a+1)时,G?(x)<0, 当 x>ln(a+1)时,G?(x)>0, a 1 1 a ∴当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1), 令?(a)= - ln(a+1),(a≥0) ??(a)= =- <0, 2a+1 (a+1) a+1 (a+1)2 又?(0)=0,∴当 a>0 时,?(a)< ?(0)=0,即当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0. 故存在正数 x=ln(a+1),使不等式 F(x)-1<a 成立. 18.解: (1)设 A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”, B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”,

1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 5 则 P(A)= ( ? ? ) ? 2 ? ? ? ? , P(B)= ( ? ? ) ? 2 ? ? ? ? , 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 12 则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为 1 5 5 P(AB)= P(A)P(B)= ? ? . 3 12 36 1 1 1 1 (2) 由题意 ? 的取值为 0, 1, 2, 3, 且 P(? ? 0 ) ? ? ? ? 2 2 3 1 2 所求随机变量 ? 的分布列为
; P(? ? 1) ?

1 5 1 1 2 1 ; P(? ? 2) ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? . 3 12 2 2 3 6

?
P

0

1

2

3

1 12

1 3

5 12

1 6

数学期望 E(? ) ? 0 ?

1 1 5 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 3 12 6 3
3

(3)设 C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”,

1 1 5 1 23 则所求概率为 P(C) ? P(? ? 0)2 ? P(? ? 1)2 ? P(? ? 2)2 ? P(? ? 3)2 ? ( )2 ? ( )2 ? ( )2 ? ( )2 ? . 12 3 12 6 72
所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为

23 . 72

1 (2 x 2 ? 4ax) ? (4 x ? 4a) lnx ? 2 x 19.解:(Ⅰ)f’(x)= x . ? (4 x ? 4a) ? (4 x ? 4a) ln x ? 4( x ? a)(ln x ? 1)( x ? 0). 1 当 0<a< 时, e f ?( x ) , f ( x) 在(0,+∞)上随 x 的变化情况如下: 1 1 1 (0, a) x ( , ??) (a, ) a e e e f ?( x ) + 0 0 + f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 1 所以 f(x)在(0,a)和( ,+∞)上是单调递增,在(a, )上单调递减 e e 1 当 a= 时,f’(x)≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增 e 1 当 a> 时, e f ?( x ) , f ( x) 在(0,+∞)上随 x 的变化情况如下: 1 1 1 (a, ??) x (0, ) ( , a) a e e e f ?( x ) 0 0 ? ? ? f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 1 所以,f(x)在 (0, ) 和 (a, ??) 上单调递增,在 ( , a) 上单调递减 e e
由(Ⅰ)可知,当 0<a≤ 0<a≤ 当

(Ⅱ)因为 x≥1,所以由(2x-4a)lnx>-x,得(2x2-4ax)lnx+x2>0, 即 f(x)>0 对 x≥1 恒成立。

1 时,f(x)在 ?1, ?? ? 上单调递增,则 f(x)min=f(1)>0 成立, e

1 e

1 ? a ? 1 时,f(x)在[1,+ ∞)为增函数,f(x)min=f(1)=1>0 恒成立,符合要求 e

当 a>1 时,f(x)在(1,a)上单调递减, (a,+∞)上单调递增,则 f(x)min=f(a)>0 即(2a2-4a2)lna+a2>0, 1<a< e 综上所述,0<a< e 20.

4

21.解: (1)由 f ( x) ? e ? 1 ? ax, ( x ? R, a ? R) ? f ' ( x) ? e ? a …………(1 分)
x x

① 当 a ? 0 时,则 ?x ? R 有 f ' ( x) ? 0 ? 函数 f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增;…(2 分) ② 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ? x ? ln a , f ' ( x) ? 0 ? x ? ln a

? 函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a,??) ,单调减区间为 (??, ln a) 。…………(4 分)
综合①②的当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间 为 (??,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a,??) ,单调减区间为 (??, ln a) 。………(5 分) (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 定义域为 (0,??) 又 F ( x) ? 0 ? a ?
5

ex ?1 ? ln x, x ? 0 x

令 h( x ) ?

ex ?1 ? ln x, x ? 0 x

则 h' ( x ) ?

(e x ? 1)(x ? 1) ,x?0 x2
y y=h(x) y=a

? h' ( x) ? 0 ? x ? 1, h' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1
故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增。? h( x) ? h(1) ? e ? 1 有由(1)知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0

ex ?1 ? 1 ? 当 x ? 0 且 x 趋向 0 时, h( x) 趋向 ? ? 即e ?1? x ? x
x

o

x

随着 x ? 0 的增长, y ? e x ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 2 的增长速度,而 y ? ln x 的增长速度则 会越来越慢。故当 x ? 0 且 x 趋向 ? ? 时, h( x) 趋向 ? ? 。得到函数 h( x) 的草图如图所示 故①当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有两个不同的零点; ②当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有且仅有一个零点;③当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 无零点 (3)由(2)知当 x ? 0 时, e ? 1 ? x ,故对 ?x ? 0, g ( x) ? 0 ,
x

先分析法证明: ?x ? 0, g ( x) ? x 即证 ?x ? 0, xe ? e ? 1 ? 0
x x
x x

要证 ?x ? 0, g ( x) ? x
x x

只需证 ?x ? 0,

ex ?1 ? ex x

构造函数 H ( x) ? xe ? e ? 1, ( x ? 0)

? H ' ( x) ? xe x ? 0, ?x ? 0

x x 故函数 H ( x) ? xe ? e ? 1 在 (0,??) 单调递增,? H ( x) ? H (0) ? 0 ,则 ?x ? 0, xe ? e ? 1 ? 0 成立。

①当 a ? 1 时,由(1)知,函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递增,则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上恒成立。 ②当 a ? 1 时,由(1)知,函数 f ( x) 在 (ln a,??) 单调递增,在 (0, ln a) 单调递减, 故当 0 ? x ? ln a 时, 0 ? g ( x) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x)) ? f ( x) ,则不满足题意。 综合①②得,满足题意的实数 a 的取值范围 (??,1]

6


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