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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:例析变化率与导数问题


例析变化率与导数问题
导数是微积分的核心概念之一,考虑到同学们初次接触导数的知识,本文对 导数的知识点作一归类,供参考。 一、函数的平均变化率问题 例1
?x ? 求函数 y ? x3 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率, 并计算当 x0 ? 1 , 1 2

时平均变化率的值。 分析:直接利用概念求平均变化率,先求出表达式,再

直接代入数据就可以 求得相应的平均变化率。 解析:当自变量 x0 变化到 x0 ? ?x 时,函数的平均变化率为
3 ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x)3 ? x0 2 ? ? ? 3x0 ? 3x0?x ? ?x2 。 ?x ?x ?x

当 x0 ? 1 , ?x ?

1 1 1 19 时,平均变化率的值为 3 ? 12 ? 3 ? 1? ? ( ) 2 ? 。 2 2 2 4

评注:解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意义,只要求出平均变化率 的表达式,它的值就可以很容易算出。 二、割线的斜率问题 例2 过曲线 y ? f ( x) ? x3 上两点 P(1,1) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y) 作曲线的割线,求

当 ?x ? 0.1 时割线的斜率。 分析:割线 PQ 的斜率即为函数 f ( x) 从 1 到 1 ? ?x 的平均变化率
?y 。 ?x

解析:∵ ?y ? f (1 ? ?x) ? f (1) ? (1 ? ?x)3 ?1 ? 3?x ? 3(?x)2 ? (?x)3 , ∴割线 PQ 的斜率为
?y (?x)3 ? 3(?x)2 ? 3?x ? ? (?x)2 ? 3?x ? 3 。 ?x ?x

∴当 ?x ? 0.1 时,割线 PQ 的斜率为 k ,则
k? ?y ? (0.1) 2 ? 3 ? 0.1 ? 3 ? 3.31 。 ?x

-1-

评注:一般地,设曲线 C 是函数 y ? f ( x) 的图象, P( x0 , y0 ) 是曲线上的定点, 点 Q( x0 ? ?x, y0 ? ?y) 是 C 上与点 P 邻近的点,有 y0 ? f ( x0 ) , y0 ? ?y ? f ( x0 ? ?x) ,

?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,割线 PQ 的斜率为 k ?
三、平均速度问题 例3 自由落体的运动方程为 s ?

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 。 ?x ?x

1 2 gt ,计算 t 从 3s 到 3.1s , 3.01s , 3.001s 各 2

段内的平均速度(位置 s 的单位为 m )。 分析:要求平均速度,就是求
?s 的值,故求出 ?s , ?t 即可。 ?t

解析:设在 ?3,3.1? 内的平均速度为 v1 ,则

?t1 ? 3.1 ? 3 ? 0.1(s) ,
?s1 ? s (3.1) ? s (3) ? 1 1 g ? 3.12 ? g ? 32 ? 0.305 g (m) 。 2 2

∴ v1 ?

?s1 0.305 g ? ? 3.05 g (m / s) ; ?t1 0.1 ?s2 0.03005 g ? ? 3.005 g (m / s) ; ?t2 0.01

同理 v2 ?
v3 ?

?s3 0.0030005g ? ? 3.0005 g (m / s) 。 ?t3 0.001

评注:当 ?t 的值越小时,其平均速度就越接近于一个定值。 四、瞬时速度问题

?3t 2 ? 1 (0 ? t ? 3) 例 4 某一物体的运动方程为 s ? ? 2 ?2 ? 3(t ? 3) (t ? 3)
t ? 3 时的瞬时速度。

求此物体在 t ? 1 和

分析:瞬时速度就是路程对时间的变化率。 解析:当 t ? 1 时, s ? 3t 2 ? 1 , ∴ v ? lim
?s s (t ? ?t ) ? s (t ) 3(1 ? ?t )2 ? 1 ? 3 ?12 ? 1 ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?0 ?t ?t

-2-

6?t ? ?t 2 ?lim ? 。 6 ?t ?0 ?t

当 t ? 3 时, s ? 2 ? 3(t ? 3)2 , ∴ v ? lim
s (t ? ?t ) ? s (t ) 2 ? 3(3 ? ?t ? 3) 2 ? 2 ? 3(3 ? 3) 2 ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

? lim

3(?t ) 2 ? lim 3?t ? 0 。 ?t ?0 ?t ?0 ?t

∴物体在 t ? 1 和 t ? 3 时的瞬时速度分别为 6 和 0。 评注:分段函数的瞬时速度问题应考虑“间断点”及“分段”的条件。 五、切点坐标问题 例5 直线 l : y ? x ? a(a ? 0) 和曲线 C : y ? x3 ? x2 ? 1 相切,求切点的坐标及

a 的值。
分析:设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,根据导数的几何意义,求出切线的斜率后列方 程即可。 解析:设直线 l 与曲线 C 相切于 P( x0 , y0 ) 点,则
f / ( x) ? lim f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)3 ? ( x ? ?x) 2 ? 1 ? ( x3 ? x 2 ? 1) ? lim ?x ?0 ?x ?x

?x ?0

? 3x 2 ? 2 x 。
1 2 由题意知 k ? 1 ,即 3x0 ? 2 x0 ? 1,解得 x0 ? ? 或 x0 ? 1 , 3
1 23 于是切点的坐标为 (? , ) 或 (1,1) 。 3 27 1 23 1 23 32 当切点为 (? , ) 时, ? ? a ? ,解得 a ? ; 3 27 3 27 27

当切点为 (1,1) 时, 1 ? a ? 1 ,解得 a ? 0 (舍去)。 故 a 的值为
32 1 23 ,切点坐标为 (? , ) 。 27 3 27

评注:利用导数的几何意义求切线方程、斜率等是高考常考内容,一般以中、 低档题目出现,多为小题。

-3-

六、切线问题 例6 如果曲线 y ? x2 ? x ? 3 的某一条切线与直线 y ? 3x ? 4 平行, 求切点坐标

与切线方程。 分析:利用导数的几何意义求切线方程的步骤:(1)求 f ( x) 在 x ? x0 处的导 数,即为曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线的斜率;(2)利用点斜式写出切线方程。 解析:∵切线与直线 y ? 3x ? 4 平行,∴斜率为 3。 设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 y / 又y
/ x ? x0
x ? x0

? 3,

2 ( x0 ? ?x)2 ? ( x0 ? ?x) ? 3 ? x0 ? x0 ? 3 ? lim ?x ?0 ?x

? lim (?x ? 2 x0 ? 1) ? 2 x0 ? 1 ,
?x ? 0

? x ?1 ∴ 2 x0 ? 1 ? 3 ,从而得 ? 0 ? y0 ? ?1

∴切点坐标为 (1, ?1) 。

∴所求切线方程为 y ? 1 ? 3 ? ( x ? 1) ,即 3x ? y ? 4 ? 0 。

-4-


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