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高考数学复习点拨:浅谈椭圆的重要参数“离心率”

时间:2013-07-01


浅谈椭圆的重要参数“离心率”
椭圆的离心率不仅反映了椭圆的扁圆程度,而且把椭圆的参数 a, b, c ,以及焦点坐标、 、顶 点坐标联系起来了,并且溶于数学的各个分支,形成了一个以离心率为中心的知识体系. 1.根据 a 、 b 、 c 与离心率 e 的关系解题 由椭圆的标准方程可知,不论椭圆的焦点在 x 轴或 y 轴都有关系式 a 2 ? b2 ? c2 , e ?

c , a

把参数 a 、 b 、 c 、 e 联系起来了,并且已知其中的任意两个参数,就可以求其它的参数或椭圆 的方程.这是基本而常用的方法. [例 1]已知椭圆

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为( 5 m 5
B.

)

A.3

25 或3 3

C. 5

D.

5 15 或 15 3

[解题分析]:显然椭圆的方程隐含着焦点在 x 轴或在 y 轴两种情况. [解答]:由题意 m ? 0 ,当 5 ? m 时, a ? 5 , b ? m , c ? 5 ? m , 所以, e ?

10 c 5?m ,又 e ? ,解得, m ? 3 ; ? 5 a 5

当 5 ? m 时, a ? m , b ? 5 , c ? m ? 5 , ∴e ?

25 10 c m?5 ,又 e ? ,解得, m ? . ? 3 5 a m

故答案为 B. [解题评注]:熟记参数之间的关系是解题的关键. 2.结合平面几何图形的性质解题 根据题意画好平面图形有时会发现一些意想不到的结果,从而达到直观简捷解题的目的. [例 2]已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点, F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点, 过 若 ?ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A. )

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

[解题分析]: 由题意, 画出过焦点 F1 的直线交椭圆于 A、 两点构成正 ?ABF2 , B 要求参数 e , 只需求得参数 a 、 c 或建立 a 、 c 的关系式,就可以使问题得到解决. [解答]: (如图 1)设正三角形的边长 t ,显然 AB ? F1F2 ,根据正三角形的性质,联想到椭 圆的定义得:

3 3 2c ?| F1F2 |? t , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? t , 2 2
则e ?

y
A

2a 3 ? ,故答案为 A. 2c 3

F1
B

o

F2
图1

x

[解题评注]: :借助平面几何图形可以发现简捷解法,抓住椭 圆的定义是解题的关键.

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3.有关椭圆离心率的旁敲侧击

D B [例 3]如图2, B (-c, , 0) C (c, AH ? BC, 0) 垂足为H, BH ? 3HC . A ? ?4 且 又 D 且 A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上,求椭圆的离心率.

????

????

????

??? ?



[解题分析]:以点的坐标表示出向量的关系,再根据点在椭圆上适合椭圆的方程就可以建 立起参数之间的关系.

x2 y 2 [解答]:设以以 B、C 为焦点的椭圆为 2 ? 2 ? 1 ,焦距为c.再设点 A、D 的坐标分别 a b 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则|BC|=2c,且 B、C 的坐标分别为(-c,0)(c,0) , , ???? ???? c 由 BH ? 3HC 可得, x1 ? , 2 y ???? ??? ???? ? ??? ? 又 AD ? ?4 DB 得 AD ? 4BD A
由向量的坐标运算得: ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? 4( x2 ? c, y2 ) , 因此, x2 ? x1 ? 4( x2 ? c) , y2 ? y1 ? 4 y2 ,又 x1 ? 所以, x2 ? -

c , 2

D

B

O H

C
图 2

x

y 3c , y2 ? ? 1 , 2 3
y 3c ,? 1 ) 2 3

2

得 A( , y1 ) ,D(-

c 2

? e2 y12 ? 4 ? b2 ? 1 ? 代入椭圆方程得: ? 2 2 ? 9e ? y1 ? 1 ? 4 9b 2 ?
以整体代入法解得 e ?

10 5

[解题评注]:此题以椭圆为载体,突出了以向量的坐标运算求参数.解析几何与向量结合 的综合型题目将成为高考的重点.

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