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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第八篇


第2讲 空间几何体的表面积与体积

【2013年高考会这样考】 考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用 渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所 增大. 【复习指导】 本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公 式,运用这些公式解决一些简单的问题.

基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积<

br />
面 积 圆柱 圆锥 S侧=2πrh S侧=πrl





V=Sh=πr2h 1 1 2 1 2 2 2 V=3Sh=3πr h=3πr l -r 1 V=3(S上+S下+ S上S下)h 1 2 2 = π(r1+r2+r1r2)h 3

圆台

S侧=π(r1+r2)l

直棱 柱 正棱 锥 正棱 台 球

S侧=Ch 1 S侧=2Ch′

V=Sh 1 V=3Sh

1 1 S侧=2(C+C′)h′ V=3(S上+S下+ S上S下)h S球面=4πR2 4 3 V=3πR

2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环 形;它们的表面积等于

侧面积与底面面积之和



两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定 有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正 方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体 对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴 截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心或“切点”、“接点”作出截面图.

(2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提 是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得 到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特 别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过 作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数 值.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S,侧面展开 图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( 2 3 A.4πS B.2πS C.πS D. 3 πS 解析 设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r= 又h=2πr=2 πS,∴S圆柱侧=(2 πS)2=4πS. 答案 A S π, ).

2.(2012· 东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、 a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 解析 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 ).

由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的

体对角线长为 ?2a?2+a2+a2 = 6 a.又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线,∴2R= 6a.∴S球=4πR2=6πa2. 答案 B

3.(2011· 北京)某四面体的三视图如 图所示,该四面体四个面的面积 中最大的是( A.8 C.10 ). B.6 2 D.8 2

解析 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面 积分别为6,6 2,8,10,所以面积最大的是10,故选择C. 答案 C

4.(2011· 湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体 积为( 9 A. π+12 2 9 B. π+18 2 C.9π+42 D.36π+18 ).

解析

该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的

直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求 4 ?3?3 9 体积为2×3 + π?2? = π+18. 3 ? ? 2
2

答案

B

5.若一个球的体积为4 3π,则它的表面积为________. 解析 答案 4π 3 V= 3 R =4 3π,∴R= 3,S=4πR2=4π·3=12π. 12π

考向一

几何体的表面积

【例1】?(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积为( A.48 C.48+8 17 ). B.32+8 17 D.80

[审题视点]

由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何

体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯

形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4, 故腰长为 17,所以该几何体的表面积为48+8 17. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的 三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的 位置关系及数量关系.

【训练1】 若一个底面是正三角形的三 棱柱的正视图如图所示,则其侧面 积等于( A. 3 C.2 3 ). B.2 D.6

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角 形、侧棱为1的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为2×1×3=6. 答案 D

考向二 几何体的体积 【例 2】?(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视 图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为( ).

A.18 3 B.12 3 C.9 3 D.6 3

[审题视点]

根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据

和几何体的体积公式求解. 解析 该几何体为一个斜棱柱,其直观图如

图所示,由题知该几何体的底面是边长为3 的正方形,高为 3,故V=3×3× 3=9 3. 答案 C

h ? 2 ?1 ? 3
2

以三视图为载体考查几何体的体积, 解题的关键是根据三视图 想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素 间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.

【训练2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积等于( ).

28 16 4 A. 3 π B. 3 π C.3π+8 D.12 π

解析

由三视图可知,该几何体是底面半径为2,高为2的圆柱
2

4 和半径为1的球的组合体,则该几何体的体积为π×2 ×2+ 3 π 28 = 3 π. 答案 A

考向三 几何体的展开与折叠 【例 3】 ?(2012· 广州模拟)如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ∠ADC =90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积.

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明BC垂直于平面 ACD内的两条相交线即可;(2)利用体积公式及等体积法证 明. (1)证明 在图中,可得AC=BC=2 2, 从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC, 取AC的中点O,连接DO, 则DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC= AC,DO?平面ADC,从而DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD.

(2)解

由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD

1 1 4 2 =2,∴VBACD=3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 , 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 3 .

(1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图 形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些 变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母 线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.

【训练 3】 已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角 形,∠ACB=90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点, 如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________.

解析 PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转 化为平面上的问题解决.计算A1B=AB1= 40 ,BC1=2,又

A1C1=6,故△A1BC1是∠A1C1B=90° 的直角三角形.铺平平面 A1BC1、平面BCC1,如图所示. CP+PA1≥A1C. 在△AC1C中,由余弦定理得 A1C= 62+? 2?2-2· 2· 135°= 6· cos 50 =5 2 ,故(CP+

PA1)min=5 2. 答案 5 2

难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决 这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计 算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几 个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何 体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方 程组求解的技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算难点 的关键.

【示例1】? 的表面积为(

(2010· 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体 ).

A.280 B.292 C.360 D.372

【示例 2】? (2011· 新课标全国)已知两个圆锥有公共底面,且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面 3 积是这个球面面积的16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与 体积较大者的高的比值为________.

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