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第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案


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数学通报

2012年

第5l卷

第5期

第十五届北京高中数学知识应用
竞赛决赛试题和参考答案
2012年3月25日

1.(满分16分)2011年国庆期间,上海新世 界购物中心策划出一套“积点购物”营销方案.即 在活动期间,商

品的售价按照一定的比率全部折 算成积点,这次全场商品共分为A、B、C三类, 一件A类商品的售价(元)与折算成的点数比是 l:1,一件B类商品的售价(元)与折算成的点 数比是1:1.5,一件C类商品的售价(元)与折 算成的点数比是1:1.9.顾客选定商品后,累 计积点.顾客按每满500个积点付200元的方式 付款.如果积点a不是500的整数倍,口=500b +f,其中b为正整数,o<c<500.这时有两种 付款方式供选择.第一种付款方式是按b+1个 500点支付200(b+1)元,剩余的500一f点可与 再继续购物的积点合用;第二种付款方式是支付 200b+f元.无论哪种付款方式,顾客均在积点 购物中得到了优惠. (1)请你算一算,当每一类商品的积点都是 500的整数倍时,顾客分别从这三类商品中能得 到相当于多少折的优惠? (2)有一位顾客,想买一双靴子、一件呢外 套和一条牛仔裤,靴子原价1499元,是A类商 品;呢外套原价899元,是B类商品;牛仔裤 原价699元,是C类商品.正当她要掏钱按第一 种付款方式付款时,一位“黄牛”走过来说:“这 样做,你还要绞尽脑汁处理剩余的积点,不如直 接按A类4.2折、B类6.2折,C类7.8折将货

与积点的比率又有所增加,每一元折合积点的倍 数分别为A类:1倍,B类:1.5倍,C类:1.9 倍.因此顾客购买各类商品时实际得到的优惠分 别为 A类商品:1×0.4—4折, B类商品:1.5×0.4=6折, C类商品:1.9X0.4—7.6折. (2)根据积点方案,顾客购物的积点是:
1499+899X1.5+699×1.9—4175.6,而 4175.6—500×8+175.6.

方案一:付款200×9—1800(元), 余点数为 129.76(元). 方案二:付款200×8+175.6—1775.6(元). “黄牛”的方案:付款1499
0.62+699×0.78—1


500—175.6—324.4(点),
200 X 324.4÷500—

余点数折合人民币

0.42+899 X

732.18(元).
1800— 1775.6—

若顾客不再购物,比方案一节省 1732.18=67.82(元);比方案二节省 1732.18—43.42(元).

如果顾客为了不浪费“余点”继续购物,购得 的东西不见得有用,最后也不见得不再出现舍不 得的“余点数”,而且耗费体力和时间.“黄牛”懂 得顾客的想法。给了不想继续购物者一定的实 惠,而“黄牛”可以积累顾客的余点,从中牟取利 益,他从这位顾客处可以赚得
129.76一(1800—1732.18)=61.94(元).

款给我,没有积分的事了,由我为你去付款,将
购货凭证给你,你又省钱又省事.” 请你算一算,用数据说明“黄牛”的用意. 解(1)当顾客购买积点时每200元可以买 500个积点.他得到的折扣是200/500=0.4,即 四折的优惠.但是各类商品按积点出售时,售价

2.(满分16分)2月20日,在新浪网看到, 网站为网民提供了不少有趣和实用的生活应用程 序,其中的“理财计算器”可以为网民呈现出最佳 存款时间组合.下图是程序的一个截图,上图是 存款利率表.

万方数据

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第51卷

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存款利率
利率项目 活期储蓄 三个月定期存款 半年定期存款 一年定期存款 二年定期存款 三年定期存款 五年定期存款
曩 3》3 4

(1)请你根据截图内的信息,判断这个结论
年 汛0

是否正确,并给出说明. (2)如果这个结论不正确,请你通过计算得 出最佳组合. 解答(1)这个结论是错误的.根据三年期 的利率5%,可以算出两个三年整存整取存款组 合的本利和为:10000(1+3×5%)2=13225. oo元.这个数值比程序给出的结果要好,这说 明程序的结论是错误的.

瘁弧心勰弧“璐乳

最佳存款时问组合
?本计簋器可估簋产生利息最多的恨行储蓄方式.

初始存入金额

’………
两年

一卫盟元
三年 八年 四年 九年

储蓄存期 七年

五年!六年oI
十年

计算结果
序号
1 2 结论/建议: 存款期限

■■目
本息金额 10350∞元
13196 25元

利率
3 50% 5 50%

1年
5年

您可以考虑先存1年期定期存获,到期本息再转存5年期定期存款。到期本息总额为 13196,25元o

(2)存款六年,有多种组合,几乎涉及到了 所有的存款利率项目,为此我们先探讨一下有规 律性的大小关系. 设A为本金数,巩为存i年,A为相应的 利率,f(a。,q,…,口。)为依次经历存入口。, 口,,…,口。年之后的本利和.则 f(af,aj,…,口。)=A(1+pini)(1+岛口j)?
…?(1+户。口。).

及3年以上的任何存款组合的本利和.这样,只 需比较f(3,3)和,(5,1)的大小就可以了,而 这已由(1)可知结果.所以,结论是:对于6年 存期,最大收益是两个三年期组合. 3.(满分16分)2月18日至22日第七届世 界草莓大会在北京市昌平区召开,请你根据下面 的地图推算出昌平区的面积. 解答要点解法会是多样的,要给出明确的 方法,比如,分割求和的方法,按照度量,画出 足够细的网格,通过计算网格数得到近似解答; 或者图形割补的方法,将这个不规则的图形通过 割补拼成近似规范的的图形,再按照度量计算得 到近似解答.(昌平区的实际面积是1343平方公 里,在方法正确的基础上,与实际数值误差不超 过40平方公里即可)

由此看出本利和只与经历的存期有关,与它 们的顺序无关.经计算可得: ,(1)>,(0.5,0.5)>f(o.5,0.25,
0.25)>f(o.25,0.25,0.25,0.25),

,(2)>f(1,1),厂(3)>f(2,1),f(3, 1)>f(2,2), 由此,可得f(3,3)>,(1,2,3),厂(3, 3)>f(2,2,2),也知道,f(3,3)大于不涉

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数学通报

2012年

第51卷

第5期

4.(满分16分)经观察,人们发现鲑鱼在河 中逆流行进时,所消耗的能量为E=CV3T,其中 口为行进时相对于河水的速度,T为行进的时间 (单位:小时),C为常数.如果水的流速为4 km/h,鲑鱼在河中逆流行进200 km,问它在怎 样的速度下能使消耗的能量最少? 解由已知,鲑鱼相对于河岸的速度百一

5.(满分18分)如果有三门高炮独立射击 目标,用户,表示“第i门高炮命中目标”的概率, 那么“三门高炮都命中目标”的概率就是p。?P: ?P。,“三门高炮都不命中目标”的概率是(1一 P-)(1一Pz)(1一Pa).请依据以上的概率计算 法则,回答下列问题: 如果每门高炮击中敌机的概率是十分之一. (1)用十门高炮一定能击中敌机吗?若认为 一定能击中,请说明理由;若认为不一定能,请 计算出击中敌机的概率. (2)要想能以不小于0.9的概率击中敌机, 至少需设置多少门高炮? 解答 (1)用十门高炮不一定能击中敌机.

2个o_幽o,又可以表示为@=v--4,所以T--旦兰. 口一4


于是,E—CV3

E:200。掣:200。立些墼磐型里
一200cf雷z+12面+48+罂1

T=200c』,_(口>4),即

因为,P(用十门高炮击中敌机)=P(十门高

—200c[(。~2)2+32(詈+吾)+44].
因为蚕一2既是(矛一2)2的最小值点,也是

炮中至少有一门击中了敌机) 一1一P(十门高炮都没有击中敌机) 一1一[1一P(第一门高炮击中敌机)]?[1一

(詈+吾)的最小值点,所以当面一2时,即当口
一6时,取得E量小=21600c. (或者通过求E的导数得结论,F=400cv2?

P(第二门高炮击中敌机)]…??[1一
P(第十门高炮击中敌机)]

若三寺,令E7=0,得铆26,当u<6时,E7<
0,当口>6时,E7>0,所以础=6时E取得最 小值.) 鲑鱼以每小时6 km的相对于河水的速度行 进时所消耗的能量最少.

=?一(,一拼≈o-651,.
(2)设至少需要竹门高炮就能以不小于0.9 的概率击中敌机,则 0.9≤P(用竹门高炮击中敌机)=P(起门高 炮中至少有一门击中了敌机) =1一P(n门高炮都没有击中敌机)

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数学通报

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一?一1一南)“.
即挖满足不等式0.9”≤1—0.9—0.1,解得
竹≥22.

可得sB形ADBc—r2[(丌一目)+sinOcosO],记作 SD,S日形^£Bc=r2(口一sinOcosO),记作SE,则 S—sD—SE—r2[(丌一20)+2sinOcosO]. 根据题意可知,弓形ADBC的重心Z。,弓 形AEBC的重心Z,以及月牙的重心Z都应位于 直线CD上.如果记它们与圆心O点的距离分别 为zD,zE和z,则有zE<zD<工.且应用初赛 时得到的结论可知 一堑

至少需要22门高炮才能以不小于0.9的概 率击中敌机. 6.(满分18分)初赛时,我们计算了“从密 度均匀、薄厚一致、半径为r的圆形纸板上剪下 来的开角为2口的弓形纸板ABD的重心位置”, 这个位置是在弓形板的对称轴上距圆心0点的

距离为z。一孚萨=詈朵篡面的点.

=堑3(羔sinOcosO_3c删),
3 0——sinOcosO

!醴1

\口一

…~/’

一堑

!丝!翌二盟
sin30

n ‘|0\\.
k一0\E

3(Ⅱ一疗)一sin(7r一日)c08(Ⅱ一0) 2r



3丌一口+sinOcosO。

U 陟/。
现在有两个半径均为r的圆,圆心分别为点 O和0 7.A、B为两个圆周的交点.则圆弧 ADB和圆弧AEB围成了一个月牙儿的图形 ADBE.若设计一种特殊的月牙儿,使得这个月 牙儿的重心刚好位于月牙儿的内圆弧AEB的中 点E的位置上,这时么B070—0,如图所示.请 你根据上面得到的弓形板重心的结论,求0满足 的方程. 解答 由问题可知,四边形A0780是一个 则有 可得

注意到S。=SE+S,所以
S(z—zD)一SE(xD--3L"E).

由此可得

z一——'一。
SDzD—SEzE

将前面分析的结果代入这个式子,化简后

如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的E点,

32=r--r2cosO=r(1—2cosO),

一r



2cosO(O--sinOcosO) ,r--2(0--sinOcosO)。

,,、

L1)

或 ±一1—2cosO.
(2)

边长为r的菱形.么E07B一0,/DDB—Tf一良 月牙的图形是由OO上的弓形ADB中挖掉0d上

的弓形AEB得到的图形,弓形ADB上的么A∞
=2(u--O),么AdB=20,1 09'i=2rcosO.
S△^0,B=r2 sinocos0,S廓形AD肋=r2(丁c—日), S扇形肛B0,一r20.

联立(1)、(2),可得生成这个月牙的扇形的 开角口满足的方程是
1--zcos

0一等筹器S1器.
7【一‘L口一
n仃COSF,

(上接第45页)
(2tan45。--5)(z一2)一(5tan45。+2)(y一1)=O.
3z+7y一13—0.

问题变得非常容易,只需一步就可以得到正确 答案.

由例题的求解可以看出,应用本文中所给出 的定理解答过已知点与已知直线平行、垂直,特 别是与已知直线夹角为任意定值的直线方程,使

参考文献 l人民教育出版杜.普通高级中学教科书(必修)数学第二册 (上)[M].北京:人民教育出版社,2004

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第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 数学通报 Bulletin des Sciences Mathematics 2012,51(5)

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