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2013年北京市海淀区高三二模数学(理科)试题及答案


用心 细心 专心

海淀区高三年级第二学期期末练习



学(理科)

2013. 5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,

共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

则 1.集合 A = {x | ( x ? 1)( x + 2)≤0} ,B = {x | x < 0} , A U B = A. (?∞, 0] B. (?∞,1] C. [1, 2] D. [1, +∞)

且 a 则 2.已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? a3 = 4 , 4 = 8 , a1 + q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3

3.如图, 在边长为 a 的正方形内有不规则图形 W .向正方形内随机撒豆子, 则图形 W 面积的估计 若撒在图形 W 内和正方形内的豆子数分别为 m, n , 值为 A.

W

ma n

B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na 2 m
5

4.某空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 B. 240 D. 300

6

“ 使得 AD = l BC ,AD = l BC ” 5.在四边形 ABCD 中, ?l ∈ R , 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的

uuu r

uur

uuu r

uur

主视图 6 6

左视图

俯视图

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A.32 B.36 C.42 D.48

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且 设双曲线 C 与 7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 ,F2 , F2 恰好为抛物线 y = 4 x 的焦点,
2

若 则双曲线 C 的离心 该抛物线的一个交点为 A , ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 率为 A. 2 B. 1 + 2 C. 1 + 3 D. 2 + 3

8.若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an +T = an 成立,则称数列 {an } 为周

?an ? 1, an > 1, ? 期数列,周期为 T .已知数列 {an } 满足 a1 = m( m > 0) , an +1 = ? 1 , 0 < an ≤1. ? an ?
则下列结论中错误的是 .. A.若 a3 = 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B.若 m =
?

2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列

C. ?T ∈ N 且 T ≥2 ,存在 m > 1 ,使得 {an } 是周期为 T 的数列 D. ?m ∈ Q 且 m≥2 ,使得数列 {an } 是周期数列 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中, 极点到直线 ρ cosθ = 2 的距离为 10.已知 a = ln . .
?1 2 2, a 则

1 1 , = sin , = b c 2 2

, , 按照从大到小排列为 b c ...

11.直线 l1 过点( ?2 , )且倾斜角为 30° ,直线 l2 过点( 2 , )且与直线 l1 垂直,则直 0 0 线 l1 与直线 l2 的交点坐标为 .

a 12.在 ?ABC 中, A = 30° , B = 45° , = ∠ ∠

2, b= 则

;S ?ABC =

.

若动点 P 在线段 BD1 上运动, DC ? AP 的取值 则 13.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , 范围是 .

uuu uur r

记 14.在平面直角坐标系中, 动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离, 点 P 的轨迹为曲线为 W . (Ⅰ)给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y = x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是 ; .
1 ; 2

(Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 1 ?

2sin( x ? π ) 4

cos2 x

.

(Ⅰ)求 函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求 函数 f ( x) 的单调增区间.

16. (本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一 种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:( 1) 该 福 利 彩 票 中 奖 率 为50 %; (2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获 获得 50 元奖金的概率为 2 %. 得 150 元奖金的概率为 p , (Ⅰ)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (Ⅱ)为了能够筹得资金资助福利事业,求 p 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ABC = ∠DAB = 90° , CAB = 30° ,BC = 2 , ∠ ∠

AD = 4 .把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置, 如图 2 所示, 使得点 P 在平面
ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上, 连接 PB , E , 分别为线段 PA , 的中 点 F PB
点. (Ⅰ)求证: 平面 EFH ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值;

H F 使得 M 到 P , ,A , 四点的距离相等?请说明理 (Ⅲ) 在棱 PA 上是否存在一点 M ,
由.

D E C A A 图1 B F

P

H B 图2

C

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = e ,A( a, 0) 为一定点,直线 x = t (t ≠ 0) 分别与函数 f ( x) 的图象
x

和 x 轴交于点 M ,N , ?AMN 的面积为 S (t ) . 记 (Ⅰ)当 a = 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a > 2 时,若 ?t0 ∈ [0, 2] ,使得 S (t0 )≥e ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :
2 x 2 + y = 1 (a > b > 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2 , 一内角为 60° a 2 b2

的菱形的四个顶点. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)直线 l 与椭圆 M 交于 A ,B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求

1 2

?AOB (O 为原点 ) 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 设 A 是由 m × n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之

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和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ)数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” 使得 , 到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负 实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种 方法即可) ; (Ⅱ)数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” , 才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和 均为非负整数, ..a 的所有可能值; 求整数

1 -2

2 1

3 0 表1

-7 1

a 2-a

a2-1 1-a2

-a a-2 表2

-a2 a2

(Ⅲ)对由 m × n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,能否经过有限次“操作” 以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数? 请说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科)

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参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B

2013.5
8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2;

10. c > b > a

11. (1, 3) 14.②③; 2 ? 2

3 +1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ≠ 0 所以 x ?

π 4

π ≠ kπ, k ∈ Z 4 π 4

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

所以函数的定义域为 {x | x ≠ kπ+ , k ∈ Z} (II)因为 f ( x ) = 1 ?

cos2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1 + (cos x + sin x) = 1 + sin x + cos x

π = 1 + 2 sin( x + ) 4
分 又 y = sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ + ) , k ∈ Z

……………………8

π 2

π 2

π π π < x + < 2kπ + 2 4 2 3π π < x < 2kπ + 解得 2kπ ? 4 4 π 又注意到 x ≠ kπ+ , 4


2 kπ ?

……………………11 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ + ) , 4 4

k ∈ Z …………………13 分

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16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) = 1 ? 0.5 = 0.75

…………………4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ξ 则 ξ 可以取 5,0, ?45, ?145 …………………6 分

ξ 的分布列为 ξ
P

5 50%

0

?45 2%

?145
p
…………………8 分

50% ? 2% ? p

所以 ξ 的期望为 Eξ = 5 × 50% + 0 × (50% ? 2% ? p ) + ( ?45) × 2% + ( ?145) × p

= 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p > 0 时,即 p < 所以当 0 < p <

…………………11 分 …………………12 分

8 725

8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 725

17.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ⊥ 平面 ABC ,所以 PH ⊥ AC …………………1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ∠ABC = ∠DAB = 90o , ∠CAB = 30o ,

BC = 2 , AD = 4
所以 AC = 4 , ∠CAB = 60o ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE I EF = E , CP I PB = P 所以平面 EFH / / 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) …………………6 分 …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分

因为 E (0, ?1, 3) , HE = (0, ?1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n = ( x, y , z )
A F x

uuur

z P E H B C y

r

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因为 HB = ( 3,1,0) , HP = (0,0,2 3)

uuu r

uuu r

uuu r r ? HB ? n = 0 ? 3x + y = 0 ? ? r ,即 ? , 所以有 ? uuu r ?z = 0 ? HP ? n = 0 ? ?


x = 3,



y = ?3,

所 …………………8 分



r n = ( 3, ?3,0)
r uuur r uuur n ? HE 3 3 r cos < n, HE >= r uuuuu = = 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
…………………10 分 所 以 直 线

HE







PHB

















3 4

…………………11 分 …………………12 分

(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

EH = PE = EA = 因为在直角三角形 PHA 中,
分 在直角三角形 PHB 中,点 PB = 4, EF = 所 等 18.解: (I) 因为 S (t ) = 当 a = 0 , S (t ) = 以 点

1 PA = 2 , 2

…………………13

1 PB = 2 2


E







P, O , C , F









…………………14 分

1 | t ? a | et ,其中 t ≠ a 2

…………………2 分

1 | t | et ,其中 t ≠ 0 2 1 t 1 t 当 t > 0 时, S (t ) = te , S '(t ) = (t + 1)e , 2 2
所 以

S '(t ) > 0







S (t )



(0, +∞)





增,

…………………4 分
t t 当 t < 0 时, S (t ) = ? te , S '(t ) = ? (t + 1)e ,

1 2

1 2

t 令 S '(t ) = ? (t + 1)e > 0 , 解得 t < ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ?∞, ?1) 上递增

1 2 1 t 令 S '(t ) = ? (t + 1)e < 0 , 解得 t > ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ……………7 分 2
综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, +∞) , ( ?∞, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)

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(II)因为 S (t ) =

1 | t ? a | et ,其中 t ≠ a 2 1 t 当 a > 2 , t ∈ [0,2] 时, S (t ) = ( a ? t )e 2

因为 ?t0 ∈ [0,2] ,使得 S (t0 ) ≥ e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) = ? [t ? ( a ? 1)]et 2





S '(t ) = 0





t = a ?1
当 a ? 1 ≥ 2 时,即 a ≥ 3 时

…………………8 分

1 S '(t ) = ? [t ? ( a ? 1)]et > 0 对 t ∈ (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 2 所以当 t = 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) = ( a ? 2)e 2 1 2 2 a ≥ +2 , 令 ( a ? 2)e ≥ e ,解得 2 e
所 以

a≥3
…………………10 分 当 a ? 1 < 2 时,即 a < 3 时

1 S '(t ) = ? [t ? ( a ? 1)]et > 0 对 t ∈ (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) = ? [t ? ( a ? 1)]et < 0 对 t ∈ ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 a ?1 所以当 t = a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S ( a ? 1) = e 2 1 a ?1 令 S ( a ? 1) = e ≥ e ,解得 a ≥ ln 2 + 2 2
所 以

ln 2 + 2 ≤ a < 3
…………………12 分 综 上 所 述 ,

ln 2 + 2 ≤ a
…………………13 分 19.解:(I)因为椭圆 M :

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60o 的菱形的四个顶点,

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a = 3, b = 1

,





M









x2 + y2 = 1 3

…………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 = ? x2 , y1 = y2

1 2

所以 S ?AOB =

1 x2 x2 1 2 x1 (3 ? x12 ) | 2 x1 || y1 |=| x1 || y1 |=| x1 | 1 ? 1 = x12 (1 ? 1 ) = 2 3 3 3

因为 x12 (3 ? x12 ) ≤ 所以 S ?AOB

x12 + (3 ? x12 ) 3 = , 2 2 3 6 3 ,当且仅当 | x1 |= 时, S?AOB 取得最大值为 ≤ 2 2 2

………………7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y = kx + t

? y = kx + t ? 2 2 2 ,代入得到 (3k + 1) x + 6ktx + 3t ? 3 = 0 所以 ? x 2 2 ? 3 + y =1 ?
2 2 当 ? = 4(9k + 3 ? 3t ) > 0 ,

即 3k 2 + 1 > t 2 ①

方程有两个不同的解 又

x1 + x2 =

?6kt 3k 2 + 1

, …………………8

x1 + x2 ?3kt = 2 2 3k + 1
分 所以

y1 + y2 t = 2 , 2 3k + 1

y1 + y2 1 + 2 2 = ? 1 ,化简得到 2 又 3k + 1 = 4t x1 + x2 k 0? 2
代 入











0<t <4
…………………10 分 又原点到直线的距离为 d =

|t | k2 +1

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| AB |= 1 + k 2 | x1 ? x2 |= 1 + k 2

4(9k 2 + 3 ? 3t 2 ) 3k 2 + 1

所以 S ?AOB = 化

1 1 |t | | AB || d |= 1+ k2 2 2 k2 +1


4(9k 2 + 3 ? 3t 2 ) 3k 2 + 1
得 到

S?AOB =

1 3(4t ? t 2 ) 4

…………………12 分 因为 0 < t < 4 ,所以当 t = 2 时,即 k = ± 综 上 ,

7 3 时, S?AOB 取得最大值 3 2
积 的 最 大 值 为

?AOB



3 2 20.(I)解:法 1:

…………………14 分

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 2:

改变第4列 ????? →

1

2 3

7

?2 1 0 ?1

改变第2行 ????? →

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0

改变第1列 ????? →

?1 2 3 ?7 2 1 0 1

改变第4列 ????? →

?1 2 3 2

7

1 0 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a

a2 ? 1

a 2?a

?a 2 a2

2 ? a 1 ? a2

则第一行之和为 2a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ≤

1 5 或a ≥ 2 2
1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a2 2 ? a a2

当a ≤

?a

1 ? a2

2 ? a 1 ? a2

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此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ≥ 0 ,解得 a = 0, ?1 当a ≥

5 时,则接下来操作第二行 2
a2 ? 1 a ?a 2

a

a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此 意. …6 分 ② 如果首先操作第一行 时 第 4 列 和 为 负 , 不 符 合 题

………………

?a

1 ? a2

a

a2

2 ? a 1 ? a2

a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a = 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ≠ 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ≥ 0 ,即 ?1 ≤ a ≤ 1 ,所以 a = 0 或 a = ?1 经检验, a = 0 或 a = ?1 符合要求 综 上 :

a = 0, ?1
…………………9 分 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: , 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 各行的数字之和分别为

a1 , a2 ,L, am , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,L, bn ,A = a1 + a2 + L + am ,B = b1 + b2 + L + bn ,
数表中 m × n 个实数之和为 S ,则 S = A = B 。记

K = min k1ci1 + k2 ci 2 + L + kn cin | kl = 1或 ? 1(l = 1,2,L, n )且 k1ci1 + k2 ci 2 + L + kn cin ≠ 0
1≤i ≤ m

T = min t1c1 j + t2 c2 j + L + tm cmj ts = 1或 ? 1( s = 1,2,L, m)且 t1c1 j + t2 c2 j + L + tm cmj ≠ 0
1≤ j ≤ n

{

{

|

}

}

λ = min {K , T } .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2λ ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m × n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与

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所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛 立 …………………13 分 盾 , 故 结 论 成 。


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