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2013年北京市大兴区高三数学一模理科试题及答案

时间:2013-04-08


大兴区 2013 年高三统一练习

数学(理科)
一、选择题 (1)复数 (1- i)2 的值是 (A)2 (B) - 2 (C) 2i (D) - 2i

- x (2)若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M ? P =

(A) { y | y ? 1} (C) { y | y ? 0}

(B) { y | y ? 1} (D) { y | y ? 0}
开始

(3)执行如图所示的程序框图.若 n ? 5 ,则输出 s 的值是 (A)-21 (C)43 (B) 11 (D) 86

输入 n
s=1,i=1

(4)双曲线 x2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于 (A)

1 4

(B)

1 2
i ≤n ?
否 输出 s

i ? i ?1
s = s + (- 2)i

(C) 2

(D) 4

(5)已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不正确的是 . (A)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? (B)若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . (6)函数 f ( x) ? (A)在 (?



结束

1 ? cos 2 x cos x

π π , ) 上递增 2 2 π π (C)在 (? , ) 上递减 2 2

π π ,0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π (D)在 (? ,0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
(B)在 (?
1

2 2 2 (7) 若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 , 则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 有实数根的概率是

1 4 3π + 2 (C) 4π
(A)
2

(B)

3 4 π- 2 (D) 4π

(8)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转 体内水平放入一个正方体, 使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐, 则此正方体的体 积是 (A)1 (C) 8 2 二、填空题 (9)函数 f() s xo 的最大值是 x?i ncs x 。 (B)8 (D) 16 2

ì x = 4 + 2cos q ? (q为参数) 有且仅有一个公共点,则 k = (10)已知直线 y = kx 与曲线 ? í ? y = 2sin q ? ?
(11)已知矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD= 1 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,

??? ??? ???? ? ? 则 ( AE + AF ) AC 等于

. 。

(12)设 (1- x)(1 + 2 x) 5 = a0 + a1x + a2 x 2 + 鬃 a6x 6 ,则 a2 = ?

(13)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E(E 在 A,O 之间) EF ^ BC , , 垂足为 F.若 AB = 6 , CF ?CB

5 ,则 AE =



ì 1 ? ? 2 x, 0 ≤ x ≤ ? ? 2 (14)已知函数 f ( x) = í ,定义 ? ? 2 - 2 x, 1 < x ≤ 1 ? ? 2 ? ?

f1 ( x) = f ( x) , f n ( x) = f ( f n- 1 ( x)) ,( n ≥ 2 , n ? N * ).把满足 f n ( x) = x ( x ? [0,1])的
x 的个数称为函数 f ( x) 的“ n- 周期点” .则 f ( x) 的 2- 周期点是 . ; n- 周期点是

2

三、解答题 (15)(本小题满分 13 分) 在 ? B 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A = AC (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sinC 及 ? B 的面积. AC (16)(本小题满分 13 分) 期末考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩,如下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

π 3 , B = ,b = 4 5

2.

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(1)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科 更稳定。 (1)从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中同学的物 理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值. (17)(本小题满分 13 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, DABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B//平面 ADC1; (Ⅱ)若 AB=BB1=2,求 A1D 与平面 AC1D 所成角的正弦值.

3

(18)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x )=

x- a , x ? (1, ( x - 1) 2

).

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 [2, + 明理由. 19.(本小题满分 14 分) 已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D。求证,A、D、N 三点共线。 (20)(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的各项均为正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an , 设集合 Ak ? {x | x ?

) 上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说

1 4

? ? a ,?
i ?1 i i

n

i

? ?1,或?i ? 0,或?i ? 1} 1 ≤ k ≤ n) ( 。
k

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {an }
i ?1

为完备数列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完备数列。

(1≤ k ≤ n) 性质 2 若记 mk ? ? ai ,且对于任意 x ≤ mk , x ? Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数
i ?1

k

列 {an } 为完整数列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 {an } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 {an } 为完美数列,当 k 取最大值 时 {an } 称为 k 阶完美数列; (Ⅰ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {an } 分别为几阶完备数 列,几阶完整数列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 10
n?1

,求证:数列 {an } 为 n 阶完备数列,并求出集

4

合 An 中所有元素的和 S n 。 (Ⅲ)若数列 {an } 为 n 阶完美数列,求数列 {an } 的通项公式。

5

2013 年高三统一练习 高三数学(理科)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)C (2)C (6)D (3)A (7)C (4)D (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

1 2

3 (10) ? 3
(12) 30

(11)

15 2

(13) 1

(14) 4 , 2 n

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 cos A ? , A是?ABC内角 ,所以 sin A ?

3 5

4 , 5
得: a ?

由正弦定理:

a b ? sin A sin B



a 2 ? 4 ? sin 5 4

8 5

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin[π ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

4 2 3 2 7 2 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
?ABC 的面积为: s ?

1 1 8 7 2 28 absin C ? ? ? 2 ? ? 2 2 5 10 25

6

(16) (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)5 名学生数学成绩的平均分为: (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5 名学生数学成绩的方差为:

1 5

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数 学成绩稳定. (Ⅱ)由题意可知, X ? 0 , 1 , 2

P( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

P( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C2 2 ? 2 C4 3

P( X ? 2) ?

2 0 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

随机变量 X 的分布列是 X P(X) 0 1 2

1 6

2 3

1 6

1 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6
(17) (本题满分 13 分) 证明: (I)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以四边形 A1 ACC1 是矩形。 连结 A1C 交 AC1 于 O, O 是 A1C 的中点, D 是 BC 的中点, 则 又 所以在 ?ADC1 中,OD / / A1 B 。 因为 A1 B ? 平面 ADC1 , OD ? 平面 ADC1 ,所以 A1 B / / 平面 ADC1 。
7

(II)因为 ?ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点,所以 AD ? BC 。以 D 为原点,建立如图 所示空间坐标系 D ? xyz 。由已知 AB ? BB1 ? 2 ,得:

D(0, 0, 0) , A( 3, 0, 0) , A1 ( 3,0, 2) , C1 (0, ?1, 2) .

则 DA ? ( 3, 0, 0) , DC1 ? (0, ?1, 2) ,设平面 ADC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) 。
? ??? ? ? ?n ? DA ? 0 ? 3x ? 0 ? ? 由 ? ? ???? ,得到 ? ,令 z ? 1,则 x ? 0 , y ? 2 ,所以 n ? (0, 2,1) . ? ?? y ? 2 z ? 0 ?n ? DC1 ? 0 ? ?

??? ?

???? ?

?

又 DA1 ? ( 3,0, 2) ,得 n ? DA1 ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? 1? 2 ? 2 。 所以 cos ? DA1 , n ??
???? ? ? 2 5? 7 ? 2 35 35
???? ? ? 2 35 。 35

???? ?

? ???? ?

设 A1 D 与平面 ADC1 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? DA1 n ?|? 所以 A1 D 与平面 ADC1 所成角的正弦值为 (18) (本题满分 14 分) 解: (I) f ?( x) ?
( x ? 1)(? x ? 2a ? 1) , x ? (1, ??) . ( x ? 1)4
2 35 。 35

由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ,或 x2 ? 2a ? 1 . ①当 2a ?1 ? 1 ,即 a ? 1 时,在 (1, ?? ) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ②当 2a ?1 ? 1 ,即 a ? 1 时,在 (1, 2a ? 1) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,在 (2a ? 1, ??) 上,
f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减。

8

, ) 综上所述: ? 1 时,f ( x) 的减区间为 ( 1 ?? ; a ? 1 时,f ( x) 的增区间为 (1, 2a ? 1) ,f ( x) a

的减区间为 (2a ? 1, ??) 。 (II) (1)当 a ? 1 时,由(I) f ( x) 在 [2, ??) 上单调递减,不存在最小值; (2)当 a ? 1 时, 若 2a ? 1? 2 ,即 a ? 若 2a ? 1? 2 ,即 a ? 因为 f (2a ? 1) ?
3 , ) 时, f ( x) 在 [ 2 ?? 上单调递减,不存在最小值; 2 3 2 时, f ( x) 在 [ 2 , a ? 2
1) a , ) 上单调递增,在 ( 2 ? 1? ? 上单调递减,

a ?1 ? 0 ,且当 x ? 2a ?1 时, x ? a ? a ?1 ? 0 ,所以 x ? 2a ?1 时, f ( x ) ? 0 。 (2a ? 2)2

3 又因为 f (2) ? 2 ? a , 所以当 2 ? a ? 0 , a ≥ 2 时, f ( x) 有最小值 2 ? a ;2 ? a ? 0 , 即 即 ?a?2 2

时, f ( x) 没有最小值。 综上所述:当 a ≥ 2 时, f ( x) 有最小值 2 ? a ;当 a ? 2 时, f ( x) 没有最小值。 (19) (本题满分 14 分) 解: (I)设 P 点坐标 ( x, y ) ,则 k AP ? 由已知
y y ( x ? ?2 ) kBP ? , (x?2) , x?2 x?2

x2 y y 1 ? ? ? ,化简得: ? y 2 ? 1 . 4 x?2 x?2 4 x2 。 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) 4

所求曲线 C 的方程为

(II)由已知直线 AQ 的斜率存在, 且不等于 0,设方程为 y ? k ( x ? 2) ,
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ,消去 y 得: ? y ? k ( x ? 2)

由?

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ? ? ? (1).

因为 ?2 , xQ 是方程(1)的两个根, 所以 ?2 ? xQ ?
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ,得 xQ ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 4k 2 ? 8k 2 4k ,所以 Q( , )。 ? 2) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又 yQ ? k ( xQ ? 2) ? k (

当 x ? 4 ,得 yM ? 6k ,即 M (4, 6k ) 。
9

又直线 BQ 的斜率为 ?

1 1 1 1 ,方程为 y ? ? ( x ? 2) ,当 x ? 4 时,得 yN ? ? ,即 N (4, ? ) 。 4k 4k 2k 2k

直线 BM 的斜率为 3k ,方程为 y ? 3k ( x ? 2) 。
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? 3k ( x ? 2)

由?

,消去 y 得:

(1 ? 36k 2 ) x 2 ? 144k 2 x ? 144k 2 ? 4 ? 0 ? ? ? (2).

因为 2, x D 是方程(2)的两个根,所以
2 ? xD ? 144k 2 ? 4 , 1 ? 36k 2

得 xD ?

72k 2 ? 2 12k 12k 72k 2 ? 2 ,又 yD ? 3k ( xD ? 2) ? ? ,即 D( ,? )。 2 2 2 1 ? 36k 1 ? 36k 1 ? 36k 2 1 ? 36k
1 72k 2 ? 2 12k ,? ) , N (4, ? ) 。 2 2 2k 1 ? 36k 1 ? 36k

由上述计算: A(?2, 0) , D( 因为 k AD ? ?

1 1 , k AN ? ? ,所以 k AD ? k AN 。 12k 12k

所以 A、D、N 三点共线。 (20)(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A2 ? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ;

{an } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
(Ⅱ)若对于 ?x ? An ,假设存在 2 组 ? i 及 ?i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,则有

?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n 10n?1 ? ?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n10n?1 ,即
(?1 ? ?1 )100 ? (?2 ? ?2 )101 ? ? ? (?n ? ?n )10n?1 ? 0 , 其 中 ?i , ?i ?{?1,0,1} , 必 有

?1 ? ?1 , ?2 ? ? 2 ??n ? ? n ,
所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? 即数列 {an } 为 n 阶完备数列;

?? a
i ?1 i

n

i

成立,

S n ? 0 ,对 ?x ? An , x ? ? ?i ai ,则 ? x ? ?? ?i ai ?? (??i )ai ,因为 ?i ? {?1,0,1} ,
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

10

则 ? ?i ? {?1,0,1} ,所以 ? x ? An ,即 S n ? 0 (Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 An 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 An 中元素 成对出现(互为相反数) ,且 0 ? An ,又 {an } 具有性质 2,则 An 中 3 个元素必为
n n

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 1 3n ? 1 An ? {? ,? ,? ? 1,0,1,? , } , mn ? 。 2 2 2 2 2
下面用数学归纳法证明 a n ? 3 n ?1 显然 n ? 1,2 时命题成立,假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N ) 时命题成立,即

Ak ? {?

3k ? 1 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 1 ,? , ? ? 1,0,1, ? , } 2 2 2 2

当 n ? k ? 1 时,只需证

Ak ?1

3k ? (3k ? 2) 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 3k ? 2 n 3k ?1 ? (3k ? 2) 3k ?1 ? 1 ? {? ,0, ,? , , ?, ,3 , ?, } 2 2 2 2 2 2

由于对称性只写出了 Ak ?1 元素正的部分,其中 1 ?

3 k ? (3 k ? 2) 2

既 Ak 中正的部分的

3k ? 1 3k ? i k 个元素统一为 ,其中 i ? 1,3,5, ?,3 ? 2 2 2

则 Ak ?1 中从

3k ? 1 3k ? i 3k ? i 3k ? 3k ? 2 3k ? 1 k ? ,到 这 个元素可以用 3 ? 唯一表示 2 2 2 2 2
k

其中 i ? 1,3,5, ?,3 ? 2 ,

Ak ?1 中从( 3 k +1)到最大值
其中 i ? 1,3,5, ?,3 ? 2
k

3 k ?1 ? 1 3 k ? 1 3 k ? i 3 k ?1 ? i k ? 这 个元素可用 3 ? 唯一表示 2 2 2 2

n 3 k ?1 ? 1 个元素都存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? ? ?i ai 成立, Ak ?1 中正的部分 2 i ?1

所以当 n ? k ? 1 时命题成立。 即{ an }为 n 阶完美数列, an ? 3n?1

11


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