nbhkdz.com冰点文库

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题


2012--2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学试题(理科)
一、填空题:本大题共 14 小题。每小题 5 分。共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上 1.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ”的否定是 2.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为 3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是
x

r />2

. .



4.双曲线

?

y

2

? 1 的渐近线方程是



4

9

5.已知球 O 的半径为 3,则球 O 的表面积为 . 6.若一个正三棱锥的高为 5,底面边长为 6,则这个正三棱锥的体积为 7.函数 f ( x ) ? x 2 在点(1, f (1) )处的切线方程为 . .



8.已知向量 a ? ( 3, ? 2 , z ) , b ? (1, y , ? 1) ,若 a // b ,则 yz 的值等于

9.已知圆 x 2 ? y 2 ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相内切,则实数 m 的值为
2



10.已知命题 p : x ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 ;命题 q : 2 ? x ? 6 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则正 x 实数 m 的最大值为 。

11.已知两条直线 a 1 x ? b1 y ? 4 ? 0 和 a 2 x ? b 2 y ? 4 ? 0 都过点 A (2,3),则过两点 P1 ( a 1 , b1 ) ,
P2 ( a 2 , b 2 ) 的直线的方程为

.

12.已知 F1 是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的左焦点, P 是椭圆上的动

25

9

点 , A (1,1) 是 一 定 点 , 则 PA ? PF 1 的 最 大 值 为 . 13.如图,已知 AB ? 2 c (常数 c ? 0 ),以 AB 为直径的圆有 一内接梯形 ABCD ,且 AB // CD ,若椭圆以 A , B 为焦 点,且过 C , D 两点,则当梯形 ABCD 的周长最大时,椭圆的离心率为 . 1 2 14.设函数 f ( x ) ? , g ( x ) ? ax ? bx ,若 y ? f ( x ) 的图象与 y ? g ( x ) 的图象有且仅有两个不 x 同的公共点,则当 b ? ( 0 ,1) 时,实数 a 的取值范围为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸制定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E , F 分别为棱 AD , AB 的中点. (1)求证: EF ∥平面 CB 1 D 1 ; (2)求证:平面 CAA 1 C 1 ⊥平面 CB 1 D 1 .

16.(本小题满分 l4 分) 已知圆 C 经过三点 O ( 0 , 0 ) , A (1,3 ) , B ( 4 , 0 ) . (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P ( 3, 6 ) 且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程.

17.(本小题满分 14 分) 已知在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? 4 , AD ? 2 , AA 1 ? 3 , M , N 分别是棱 BB 1 ,
BC 上的点,且 BM ? 2 , BN ? 1 ,建立如图所示的空间直角坐标系.求:

(1)异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦值; (2)直线 DM 与平面 AMN 所成角的正弦值。

18.(本小题满分 l6 分) 现有一张长 80 厘米、 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮, 宽 准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒, 要 求材料利用率为 l0 0%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起,求此时 铁皮盒的体积; 方案二:如图 (2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪 下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用 余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明如何剪拼? 。

19.(本小题满分 l6 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) ,F 2 (1, 0 ) ,

左、

右顶点分别为 A , B ,离心率为 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 C ( 3, ,3) D ( ? ,

3 3

,动点 P 到 F1 , F 2 的距离的平方和为 6.

, 3, ,3) Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线 AQ , BQ

分别交直线 CD 于点 M , N . 1 (i)当直线 AQ 的斜率为 时,求 ? AMN 2

的面积;

(ii)求 证:对任意的动点 Q , DM ? CN 为定值.

20.(本小题满分 l6 分) 已知函数, f ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 在点 ( 0 , f ( 0 )) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求实数 c , d 的值; (2)若过点 P ( ? 1, ? 3 ) 可作出曲线 y ? f ( x ) 的三条不同的切线,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 x ? [1, 2 ] ,均存在 t ? (1, 2 ] ,使得 et ? ln t ? 4 ≤ f ( x ) ? 2 x ,试求实数 b 的 取值范围.

2012—2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学(理)参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ? x ? R , x 2 ? x ? 3 ? 0 6. 1 5 3 12. 10 +
10

2. 45 o 8. 2 14. ( ?

3. (1, 0) 9. 1
2 3 2 3 , ) 9 9

4. y = 10. 2

3 2

x

5. 36 ?

7. 2 x ? y ? 1 ? 0 13. 3 ? 1

11. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

二、解答 题: 15. (1)连结 BD ,在 △ A B D 中, E 、 F 分别为棱 A D 、 AB 的中点,故 EF // BD , 又 BD // B1 D1 ,所以 EF // B1 D1 , ?????2 分 A1 D1 B1 C1

又 B1 D1 ? 平面 CB1 D1 , EF ? 平面 CB1 D1 , 所以直线 EF ∥平面 CB1 D1 . ??????6 分

(2)在正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,则 A1C 1 ? B1 D1 ,??????8 分 又 C C 1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , A
[来源:学,科,网]

E

D F
(第 15 题图)

C B

则 C C 1 ? B1 D1 , ??10 分

又 A1C1 ? CC1 ? C1 , A1C 1 ? 平面 C AA1C 1 , C C 1 ? 平面 C AA1C 1 ,所以 B1 D1 ? 平面 C AA1C 1 , 又 B1 D1 ? 平面 CB1 D1 ,所以平面 CAA1C1 ? 平面 CB1 D1 . ???14 分

ì F = 0, ? ? ? 2 2 16. (1)设圆 C 的方程为 x + y + D x + E y + F = 0 ,则 ? 1 + 9 + D + 3 E + F = 0, ?3 分 í ? ? 16 + 4 D + F = 0, ? ? ?

解得 D = - 4 , E = - 2 , F = 0 , 所以圆 C 的方程为 x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0 .

?????????????6 分 ????????????7 分

(2)①若直线斜率不存在,直线方程为 x = 3 ,经检验符合题意; ?????9 分 ②若直线斜率存在,设直线斜率为 k ,则直线方程 y - 6 = k ( x - 3 ) , 即 kx - y - 3 k + 6 = 0 ,则
5- k 1+ k
2

= 1 ,解得 k =

12 5



?????????12 分

所以直线方程为 12 x - 5 y - 6 = 0 . 综上可知,直线方程为 x = 3 和 12 x - 5 y - 6 = 0 .

??????????14 分

17.由题意知, D (2, 0, 0) , B (0, 4, 0) , A1 (0, 0, 3) , M (0, 4, 2) , N (1, 4, 0) ,

(1) DM ? ( ? 2, 4, 2) , AN ? (1, 4, 0) ,
????? ???? ????? ???? DM ? AN ? 2 ? 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 7 102 cos D M , A N ? ????? ???? ? ? , 102 2 6 ? 17 DM AN

?????

????

??????5 分

可得异面直线 DM 与 A N 所成角的余弦值为
???? ?

7 102 102



???????7 分

(2) AM ? (0, 4, 2) , AN ? (1, 4, 0) ,设平面 A M N 的法向量为 m ? ( x , y , z ) ,
???? ? ?m ? AM ? 0 ?4 y ? 2 z ? 0 ? x ? ?4 y ? 则? ,即 ? ,解得 ? , ???? ?x ? 4y ? 0 ? z ? ?2 y ?m ? AN ? 0 ?

????

不妨取 x ? 4 ,则 y ? ? 1 , z ? 2 ,故平面 A M N 的一个法向量为 m ? (4, ? 1, 2) ,10 分
????? ????? DM ? m ? 2 ? 4 ? 4 ? ( ? 1) ? 2 ? 2 2 14 ? ?? 则 cos D M , m ? ????? ,??????12 分 21 2 6 ? 21 DM m

根据图形可知,直线 DM 与平面 A M N 所成角的正弦值为

2 14 21

. ?????14 分

18.方案一:设小正方形的边长为 x ,由题意得 4 x ? 60 , x ? 15 , 所以铁皮盒的体积为 65 ? 30 ? 15 ? 29250( cm 3 ) . ??????????4 分 方案二:设底面正方形的边长为 x (0 ? x ? 60) ,长方体的高为 y , 由题意得 x 2 ? 4 xy ? 4800 ,即 y ? 所以铁皮盒体积 V ( x ) ? x 2 y ? x 2
V ( x) ? ?
/

4800 ? x 4x
2

2


1 4 x ? 1200 x , ????????10 分
3

4800 ? x 4x

??

3 4

x ? 1200
2

,令 V / ( x ) ? 0 ,解得 x ? 40 或 x ? ? 40 (舍) ,

当 x ? (0, 40) 时, V ?( x ) ? 0 ;当 x ? (40, 60) 时, V ?( x ) ? 0 , 所以函数 V ( x ) 在 x ? 40 时取得最大值 32000cm 3 .将余下材料剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的小 长方 形作为正方形铁皮盒的侧面即可. ???????????15 分 答:方案一铁皮盒的体积为 29250cm 3 ;方案二铁皮盒体积的最大值为 32000cm 3 ,将余下材料剪拼 成四个长 40cm,宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可.16 分 19. (1)设 P ( x , y ) ,则 P F1 2 ? P F2 2 ? 6 ,即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 6 , 整理得, x 2 ? y 2 ? 2 , 所以动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 2 .?4 分
2 2

y D N Q C M
[来源:Zxxk.Com]

?a2 ? b2 ? 1 ?a ? 3 ? ? (2)由题意知, ? 1 ,解得 ? , 3 2 ? ?b ? 2 ? ? 3 ?a

A

O

B

x

(第 19 题图)

所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

??6 分

3

2

则 A ( ? 3 , 0) , B ( 3 , 0) ,设 Q ( x 0 , y 0 ) , y 0 ? 0 ,则 2 x 0 2 ? 3 y 0 2 ? 6 , 直线 A Q 的方程为 y ?
y0 x0 ? y0 x0 ? 3 3
3 x0 ? y0

(x ?

3 ) ,令 y ?

3 ,得 M (

3 x0 ? y0

3 y0 ? 3

,

3) ,

直线 B Q 的方程为 y ?

(x ?

3 ) ,令 y ?

3 ,得 N (

3 y0 ? 3

,

3) ,

y0 1 ? ? ? (i)当直线 A Q 的斜率为 时,有 ? x 0 ? 3 2 ,消去 x 0 并整理得, 11 y 0 2 ? 8 3 y 0 ? 0 ,解得 2 ? 2 2 ? 2 x0 ? 3 y 0 ? 6

1

y0 ?

8 3 11

或 y 0 ? 0 (舍) ,
3 2 ? MN ? 3 2 ?

??????????10 分
3 x0 ? y0 3 ? y0 y0 3 y0 ? 3 3 x0 ? y0 3 y0 ? 3

所以 △ AMN 的面积 S △ A M N ?

?

? 3?

?

9 8



? ? ? ? ? ? ?12 分 ( ii )

DM ?

3 x0 ? y0

3 y0 ? 3

?

3 ?

3 x0 ? 3 y0

, CN ?

3 x0 ? y0

3 y0 ? 3

?

3 ?

3 x0 ? 3 y0



所以 D M ? C N ?

3 x0 ? 3 y0

?

3 x0 ? 3 y0

?

3 x0 ? 9
2

y0

2

?

3 x0 ? 9
2

6 ? 2 x0 3

2

?

9 2



所以对任意的动点 Q , D M ? C N 为定值,该定值为
? f '(0 ) ? 2 ?c ? 2

9 2



????????16 分

20. (1) f '( x ) ? 3 x 2 ? 2 bx ? c ,由题意得,切点为 (0, ? 1) ,
? f (0 ) ? ? 1 ?d ? ?1 (2)设切点为 Q ( x 0 , y 0 ) ,则切线斜率为 k ? 3 x 0 2 ? 2 bx 0 ? 2 , y 0 ? x 0 3 ? bx 0 2 ? 2 x 0 ? 1 ,

则?

,解得 ?



???????4 分

所以切线方程为 y ? (3 x 0 2 ? 2 bx 0 ? 2)( x ? x 0 ) ? y 0 , 即 y ? (3 x 0 2 ? 2 bx 0 ? 2) x ? 2 x 0 3 ? bx 0 2 ? 1 , ??????6 分

又切线过点 P ( ? 1, ? 3) ,代入并整理得 x 0 ? 2 x 0 2 ? ( b ? 3) x 0 ? 2 b ? ? 0 , ? ? 由题意,方程 2 x 0 2 ? ( b ? 3) x 0 ? 2 b ? 0 有两个不同的非零实根, 所以 ?
? ( b ? 3) 2 ? 16 b ? 0 ? 2b ? 0

??????8 分

,解得 ?

? b ? 1或 b ? 9 ?b ? 0



故实数 b 的取值范围为 ( ?? , 0) ? (0,1) ? (9, ?? ) .

??????10 分

(3)由(1)知, f ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? 2 x ? 1 ,则不等式 et ? ln t ? 4 ? f ( x ) ? 2 x , 即 et ? ln t ? x 3 ? bx 2 ? 3 , 由 题 意 可知 , et ? ln t 的 最 小 值 应 小 于 或等 于 x 3 ? bx 2 ? 3 对 任意
x ? [1, 2] 恒成立,

??????12 分
1 t et ? 1 t 1 e

令 h ( t ) ? et ? ln t ,则 h '( t ) ? e ? ?
t

,令 h '( t ) ? 0 ,解得 t ?

1 e

,列表如下:

1 (0, ) e
?

1 ( , ?? ) e
?

h '( t ) h (t ) ?

0 极小值 h ( )
e 1 e
x ?1
3 2

1

[来源:学科网 ZXXK]

?

因此, h ( t ) 的最小值为 h ( ) ? 1 ? ln
e

1

?2.

????14 分 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,
3

所以 2 ? x 3 ? bx 2 ? 3 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,即 b ? ? 令 g (x) ? ?
x ?1
3

x
2

,则 g '( x ) ? ? 1 ? 1

2 x
3

,令 g '( x ) ? 0 ,解得 x ?
3

2 ,列表如下:

x
x

(1, 3 2 )
?

2

( 3 2 , 2)
?

2

g '( t )
g (t )

0 极大值 g ( 3 2 )
3
3

?2

?

?

?

9 4

因此, g ( x ) 的最大值为 g ( 3 2 ) ? ?

??

33 2 2

,所以 b ? ?

33 2 2



????16 分

4

www.zx sx.com


江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)_数学_高中教育_教育专区。2012--2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(理科) 球的表面...

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2012--2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(理科) 一、填空题:本大题...2012—2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学(理)参考答案与评分标准 一、填空...

2012-2013学年徐州市高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

2012-2013学年徐州市高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012--2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(理科) 一、...

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。优化方案教考资源网 www.yhfabook.com 2012--2013 学年度第一...

苏省徐州市2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题(扫描版)

省徐州市2012-2013学年高二学期期末考试数学(理)试题(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。试卷今日推荐 50份文档 2014年注册会计师考试 ...

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文科)试题

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文科)试题_数学_高中教育_教育专区。2012--2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(文) 注意事项1 考生在...

2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题

江苏省徐州市2012-2013学年... 8页 免费 高二上期末联考试题(简易逻... 暂无...2012-2013 学年高二上学期期末考试数学(理)试题本试卷共 4 页. 满分 150 分...

徐州市2012-2013学年高二上期末考试数学试卷(选修1—1)

徐州市2012-2013学年高二上期末考试数学试卷(选修1—1)_数学_高中教育_教育...学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(文科) 注意事项 考生在答题前请认真阅读...

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(选修1—1)

江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(选修1—1) 隐藏>> 2012--2013 学年度第一学期期末抽测 高二数学试题(文科) 注意事项 考生在答题前请认真阅读...