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江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试模拟数学试题1


江苏省苏州市五市三区 2013 届高三数学期中考试模拟试题 (1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 命题“ ?x ? R, x 2 ? x ”的否定是 . .

已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? { y | ?5 ? y ? 5} ,则 M ? N ?<

br />2 2 设 a, b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a ? b ”的

条件. .

函数 f ( x) ? 1 ? ln x 的定义域为 函数 y ? x ?

1 的值域为 x

.

设集合 M ? {x | 0 ? x ? 2} , N ? { y | 0 ? y ? 2} ,给出如下四个图形,其中能表示从 集合 M 到集合 N 的函数关系的是 y
2 2

. y
2 1 2

y

y

O

1 图①

x

O

图②

2

x

O

图③

2

x

O

1 图④

2

x

7.

已知函数 f ( x) ? ? 设 a?6 为
?0.7

? f ( x ? 1), x ? 2, 则 f (log3 2) 的值为 ?x x ? 2, ? 3 ,

.

8.

, b ? log0.7 0.6 , c ? log0.6 7 , 则 a, b, c 从 小 到 大 的 排 列 顺 序 . . .

9.

2 已知函数 f ( x) ? x ? 2x, x ?[1,2] ,则 f (x ? 1) ?

10. 函数 y ?

1 ? 2 ln x 的单调减区间为 x

2 x 11. 设直线 y ? a 分别与曲线 y ? x 和 y ? e 交于点 M 、 N ,则当线段 MN 取得

最小值时 a 的值为 12. 下列说法: ①当 x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ?

.

1 ? 2; ln x

②函数 y ? a x 的图象可以由函数 y ? 2a x (其中 a ? 0 且 a ? 1 )平移得到; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则 f (x) 的周期为 2;
2 ④ “若 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题为真命题;

⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的命题的序号
2

. .
A D

13. 若函数 y ? ax ? 2ax(a ? 0) 在区间 [0,3] 上有最大值 3 ,则 a 的值是 14. 已知 ?ABC 的面积为 1,点 D 在 AC 上, DE // AB , 连结 BD ,设 ?DCE 、 ?ABD 、 ?BDE 中面积最大者的 值为 y ,则 y 的最小值为 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分) (1)已知 a ? b ? 1 且 log a b ? log b a ? (2)求 .
B E (第 14 题图)

C

10 ,求 loga b ? logb a 的值. 3

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 lg 0.1

的值.

16. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | y ?

x 2 ? 5x ? 14} ,集合 B ? {x | y ? lg(?x 2 ? 7 x ? 12)} ,

集合 C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .

(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1 .

设 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值; (2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围.
x x

18. (本小题满分 16 分)

已知奇函数 y ? f (x) 定义域是 [?4,4] ,当 ? 4 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2x . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)求函数 f (x) 的值域; (3)求函数 f (x) 的单调递增区间.

19. (本小题满分 16 分) 如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一个可转动的探照灯, 其 照 射 角 ?PAQ 始 终 为 45
0

( 其 中 点 P , Q 分 别 在 边 BC , CD 上 ), 设

?PAB ? ? , tan? ? t .
(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?
D Q C

P
450

A

?

第 19 题图

B

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax, g ( x) ? e ln x
x x

(1)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值. (2)若对任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,确定实数 a 的取值范围. (3)当 a ? ?1 时,是否存在实数 x0 ? [1, e] ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处 的切线 与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值,若不存在,请说明理由.

2013 届苏州市五市三区高三数学期中考试模拟试题(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ”的否定是 答案: ?x ? R, x 2 ? x 2.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? { y | ?5 ? y ? 5} ,则 M ? N ? 答案: (?3,5)
2 2 3.设 a, b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a ? b ”的

.



条件.

既不充分也不必要 4.函数 f ( x) ? 1 ? ln x 的定义域为_______. 答案: (0, e] 5.函数 y ? x ?

1 的值域为____________. x

答案: ? ??, ?2? ??2, ??? 6.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 2} , N ? { y | 0 ? y ? 2} ,给出如下四个图形,其中能表示从 集合 M 到集合 N 的函数关系的是 y
2 2

. y
2 1 2

y

y

O

1 图①

x
O 图②

2

x

O 图③

2

x O

1 图④

2

x

答案:④ 7.已知函数 f ( x) ? ? 答案:

? f ( x ? 1), x ? 2, 则 f (log3 2) 的值为 ?x x ? 2, ? 3 ,

.

1 18

8.设 a ? 6

?0.7

, b ? log0.7 0.6 , c ? log0.6 7 ,则 a, b, c 从小到大的排列顺序为



.

答案: c ? a ? b 9.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x, x ?[1,2] 则 f (x ? 1) ? 答案: x 2 ? 4 x ? 3, x ?[2,3] 10.函数 y ? .

1 ? 2 ln x 的单调减区间为 x



答案: (0, )
2 x 11.设直线 y ? a 分别与曲线 y ? x 和 y ? e 交于点 M 、 N ,则当线段 MN 取得最小值时

1 2

a 的值为___________.
答案:

2 2
1 ? 2; ln x

12.下列说法:①当 x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ?
x x

②函数 y ? a 的图象可以由函数 y ? 2a (其中 a ? 0且a ? 1 )平移得到; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则 f (x), 的周期为 2;
2 ④ “若 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题为真命题;

⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称.其中正确的命题的序 号 答案:②③ 13. 若函数 y ? ax ? 2ax(a ? 0) 在区间 [0,3] 上有最大值 3 ,则 a 的值是
2

.

答案: 1 或 ? 3 14. 已知 ?ABC 的面积为 1,点 D 在 AC 上, DE // AB , 连结 BD ,设 ?DCE 、 ?ABD 、 ?BDE 中面积最大者的 值为 y ,则 y 的最小值为
B E (第 14 题图) A D

C

答案:

3? 5 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分) (1)已知 a ? b ? 1 且 log a b ? log b a ? (2)求

10 ,求 loga b ? logb a 的值. 3

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 lg 0.1

的值.

(1) ?

8 ……………………7 分 3

(2)-4……………………14 分

16. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | y ?

x 2 ? 5x ? 14} ,集合 B ? {x | y ? lg(?x 2 ? 7 x ? 12)} ,集合

C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .
(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:(1)∵ A ? (??,?2] ? [7,??) ,

B ? (?4,?3) ,………………………………………………4 分
∴ A ? B ? (?4,?3) .………………………………………………6 分 (2) ∵ A ? C ? A ∴ C ? A .………………………………………………8 分 ① C ? ? , 2m ? 1 ? m ? 1 ,∴ m ? 2 .……………………………………9 分 ② C ? ? ,则 ?

? m?2 ? m?2 或? .……………………………12 分 ?2m ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ? 7

∴ m ? 6 .………………………………………………13 分 综上, m ? 2 或 m ? 6 …………………………14 分

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1 .设

f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值; (2)若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围; 解: (1) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,
2

因为 a ? 0 ,所以 g (x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ….6 分 ?b ? 0 ? g (3) ? 4

1 ?2, x 1 x x 所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , 2
(2)由已知可得 f ( x) ? x ?

1 1 ?1 ? ? 1 ? 2 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , t ? x , k ? t ? 2t ? 1 , x ? [?1 , 1] , t ? ? , 2? , 令 则 因 故 2 2 ?2 ? ?2 ?
记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?
2

2

?1 ? , 1? ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ?

所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ………14 分 18.(本小题满分 16 分)
2 已知奇函数 y ? f (x) 定义域是 [?4,4] ,当 ? 4 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2x .

(1) 求函数 f (x) 的解析式; (2) 求函数 f (x) 的值域; (3) 求函数 f (x) 的单调递增区间. (1) f ( x) ? ?

?? x 2 ? 2 x ,?4 ? x ? 0 …….5 分 2 ? x ? 2 x ,0 ? x ? 4

(2) [?8.8] ….12 分 (3) (?4,?1) 和 (1,4) ….16 分 19. (本小题满分 16 分)解(1) BP ? t , CP ? 1 ? t ,0 ? t ? 1.

?DAQ ? 45 0 ? ? , DQ ? tan( 45 0 ? ? ) ? CQ ? 1 ? 1? t 2t ? . ------------------3 分 1? t 1? t

1? t , 1? t

2t 2 1 ? t 2 ---------------------6 分 ? PQ ? CP 2 ? CQ 2 ? (1 ? t ) 2 ? ( ) ? 1? t 1? t
2t 1 ? t 2 ? ? 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ---------------------9 分 ? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? 1? t 1? t
(2) S ? S正方形 ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ ? 1 ? 1 ?

1 1 1? t t 1 1? t ?1? t ? ?1? ?1? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t t 1 2 ? (t ? 1) t 1 2 1 t 1 ?1? ? ? ?1? ? ? ( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t 2 2 t ?1 t ?1 1 ? 2?( ? ) -----------------12 分 2 t ?1

?1 ? t ? 0 ? S ? 2 ? (
(当且仅当

t ?1 1 t ?1 1 ? ) ? 2?2 ? ? 2? 2 2 t ?1 2 t ?1

t ?1 1 ? ,即 t ? 2 ? 1 等号成立) -----------15 分 2 t ?1

答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ? 2 平方百米.-----------16 分 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax, g ( x) ? e ln x
x x

(1)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值 (2)若对任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,确定实数 a 的取值范围 (3)当 a ? ?1 时,是否存在实数 x0 ? [1, e] ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的 切线 与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值,若不存在,说明理由

解: (1) f ?( x) ? e x ? a , 因此 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线的斜率为 e ? a , 又直线 x ? (e ? 1) y ? 1的斜率为 ∴

1 1 , ∴( e ? a ) ? =-1, 1? e 1? e

a =-1.

…………….3 分

(2)∵当 x ≥0 时, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, ∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) ? e x , a 可为任意实数;
x 又当 x >0 时, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,

ex ex (1 ? x)e x ?( x) = 则a ? ? 恒成立, 设 h( x) = ? ,则 h , x x x2
当 x ∈(0,1)时, h?( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增, 当 x ∈(1,+∞)时, h?( x) <0, h( x) 在(1,+∞)上单调递减, 故当 x =1 时, h( x) 取得极大值, h( x)max ? h(1) ? ?e , ∴ 实数 a 的取值范围为 ? ?e, ?? ? . …………….9 分 (3)依题意,曲线 C 的方程为 y ? e ln x ? e ? x ,
x x
x x 令 u ( x) = e ln x ? e ? x ,则 u?( x) ?

ex ? e x ln x ? e x ? 1 x

设 v( x) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 ,则 v?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x x x x

当 x ??1, e? , v?( x) ? 0 ,故 v( x) 在 1,e 上的最小值为 v(1) ? 0 ,
x 所以 v( x) ≥0,又 e ? 0 ,∴ u?( x) ? ?

? ?

?1 ? ? ln x ? 1? e x ? 1 >0, ?x ?

而若曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直, 则 u?( x0 ) =0,矛盾。

所以,不存在实数 x0 ??1, e? ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. …………….16 分


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