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2016年高考+联考模拟理数试题分项版解析:专题04+数列与不等式(解析版)


第一部分

2016 高考试题 数列

1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 ?an ? 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? ( (A)100 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知, ? C. 考点:等差数列及其运算 (B)99 (C)98 (D)97



>?9a1 ? 36d ? 27 , 所以 a1 ? ?1, d ? 1, a100 ? a1 ? 99d ? ?1 ? 99 ? 98, 故选 ? a1 ? 9d ? 8

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多 元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此 可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之 有效的方法. 2【2016 高考浙江理数】如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且

An An ?1 ? An ?1 An ? 2 , An ? An ? 2 , n ? N* , Bn Bn ?1 ? Bn ?1 Bn ? 2 , Bn ? Bn ? 2 , n ? N* ,
( P ? Q表示点P与Q不重合 ).若 d n ? An Bn ,S n 为△An Bn Bn ?1的面积,则 ( )

A. {S n } 是等差数列 C. {d n } 是等差数列 【答案】A 【解析】

2 B. {S n } 是等差数列 2 D. {d n } 是等差数列

试题分析: S n 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn ?1 长度一半,即

1 S n ? hn Bn Bn ?1 , 由题目中条件可知 Bn Bn ?1 的长度为定值, 那么我们需要知道 hn 的关系式, 2
过 A1 作垂直得到初始距离 h1 ,那么 A1 , An 和两个垂足构成了等腰梯形,那么

hn ? h1 ? An A n ?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那么

1 1 S n ? (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , S n ?1 ? (h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 S n ?1 ? S n ? ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 S n ?1 ? S n 为定值.故选 A. 2
考点:等差数列的定义. 【思路点睛】 先求出 ?? n ? n ? n ?1 的高, 再求出 ?? n ? n ? n ?1 和 ?? n ?1? n ?1? n ? 2 的面积 S n 和 S n ?1 , 进而根据等差数列的定义可得 S n ?1 ? S n 为定值,即可得 ?S n ? 是等差数列. 3.【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年 全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30) ( A)2018 年 (B)2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B )

考点:等比数列的应用. 【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比 数列的应用,解题时要注意把哪个作为数列的首项,然后根据等比数列的通项公式写出通项, 列出不等式或方程就可解得结论. 4.【2016 高考浙江理数】设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1= S5= . ,

【答案】 1

121

【解析】 试题分析: a1 ? a2 ? 4, a2 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1, a2 ? 3 , 再由 an ?1 ? 2 S n ? 1, an ? 2 S n ?1 ? 1(n ? 2) ? an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? 3an (n ? 2) ,又 a2 ? 3a1 , 所以 an ?1 ? 3an (n ? 1),S5 ?

1 ? 35 ? 121. 1? 3

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的前 n 项和. 【易错点睛】由 an ?1 ? 2 S n ? 1 转化为 an ?1 ? 3an 的过程中,一定要检验当 n ? 1 时是否满足

an ?1 ? 3an ,否则很容易出现错误.
5.【2016 年高考北京理数】已知 {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,若 a1 ? 6 , a3 ? a5 ? 0 , 则 S6 = _______.. 【答案】6 【解析】 试题分析:∵ {an } 是等差数列,∴ a3 ? a5 ? 2a4 ? 0 , a4 ? 0 , a4 ? a1 ? 3d ? ?6 , d ? ?2 , ∴ S6 ? 6a1 ? 15d ? 6 ? 6 ? 15 ? (?2) ? 6 ,故填:6.考点:等差数列基本性质. 【名师点睛】在等差数列五个基本量 a1 , d , n , an , S n 中,已知其中三个量,可以根据已 知条件结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的方程 (组)来求余下的两个 量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用. 6. 【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列 ?an ? 满足 a1+a3=10,a2+a4=5, 则 a1a2 …an 的最大值 为 【答案】 64 .

考点:等比数列及其应用

【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列 相关性质的应用,尽量避免小题大做.
2 7.【2016 高考江苏卷】已知 {an } 是等差数列,{Sn } 是其前 n 项和.若 a1 ? a2 ? ?3,S5 =10 ,则 a9

的值是



.

【答案】 20. 【解析】由 S5 ? 10 得 a3 ? 2 ,因此 2 ? 2d ? (2 ? d) 2 ? ?3 ? d ? 3, a9 ? 2 ? 3 ? 6 ? 20. 考点:等差数列性质 【名师点睛】本题考查等差数列基本量,对于特殊数列,一般采取待定系数法,即列出关于 首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决,往往要利用等差数列相关性质,如

Sn ?

n(a1 ? an ) n(am ? at ) ? ,(m ? t ? 1 ? n, m、t、n ? N * ) 及等差数列广义通项公式 2 2

an ? am ? (n ? m)d .
8. 【2016 高考新课标 2 理数】 且 a1 =1,S7 ? 28. 记 bn = ? lg an ? , S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ? 0.9? =0, ?lg 99? =1 . (Ⅰ)求 b1,b11,b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 【答案】 (Ⅰ) b1 ? 0 , b11 ? 1 , b101 ? 2 ; (Ⅱ)1893.

?0, ? 1, ? (Ⅱ)因为 bn ? ? ? 2, ? ? 3,

1 ? n ? 10, 10 ? n ? 100, 100 ? n ? 1000, n ? 1000.

所以数列 {bn } 的前 1000 项和为 1 ? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ? 1 ? 1893. 考点:等差数列的的性质,前 n 项和公式,对数的运算. 【名师点睛】解答新颖性的数学题,一是通过转化,化“新”为“旧” ;二是通过深入分析, 多方联想,以“旧”攻“新” ;三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新” ,应特别 关注创新题型的切入点和生长点. 9.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn ?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1) n ?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2) n

【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1 ; (Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n ? 2 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据 an ? S n ? S n ?1 及等差数列的通项公式求解; (Ⅱ)根据(Ⅰ)知数列 ?cn ? 的通项公式,再用错位相减法求其前 n 项和.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

(6n ? 6) n ?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ?1 , (3n ? 3) n

又 Tn ? c1 ? c 2 ? c3 ? ? ? ? ? c n , 得 Tn ? 3 ? [2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ??? ? ( n ? 1) ? 2
2 3 4 n ?1

],

2Tn ? 3 ? [2 ? 23 ? 3 ? 24 ? 4 ? 25 ? ??? ? ( n ? 1) ? 2 n ? 2 ] ,
两式作差,得

?Tn ? 3 ? [2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n ?1 ? ( n ? 1) ? 2 n ? 2 ]
4(2n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n ? 2 ] 2 ?1

? 3 ? [4 ?

? ?3n ? 2n ? 2
所以 Tn ? 3n ? 2 n ? 2 考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列、等比数列的求和;3.“错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的 “错位相减法” .此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广, 对考生计算能力要求较高. 解答本题,布列方程组,确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位” 之后求和时,弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 10.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分)

100? .对数列 ?an ? n ? N 记 U ? ?1, 2, …,

?

*

? 和 U 的子集 T,若 T ? ? ,定义 S

T

? 0 ;若

T ? ?t1 , t2 , …,tk ? ,定义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk .例如: T = ?1,3, 66? 时,
ST ? a1 ? a3 +a66 .现设 ?an ? ? n ? N * ? 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100 ? ,若 T ? ?1, 2, …,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? S D ,求证: SC ? SC ? D ? 2 S D . 【答案】 (1) an ? 3n ?1 (2)详见解析(3)详见解析 【解析】 试题分析: (1)根据及时定义,列出等量关系 S r ? a2 ? a4 ? 3a1 ? 27a1 ? 30a1 ,解出首项

a1 ? 1 ,根据等比数列通项公式写出通项公式(2)数列不等式证明,一般是以算代征,而非
特殊数列一般需转化到特殊数列,便于求和,本题根据子集关系,先进行放缩为一个等比数 列 S r ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1 ? 3 ? ? ? 3
k ?1

,再利用等比数列求和公式得 S r ?

1 k (3 ? 1) ? 3k 2

(3)利用等比数列和与项的大小关系,确定所定义和的大小关系:设

A ? CC (C ? D), B ? CD (C ? D), 则 A ? B ? ? , 因此由 SC ? S D ? S A ? S B ,因此 A ? B 中最大项
必在 A 中,由(2)得 S A ? 2 S B ? SC ? SC ? D ? 2( S D ? SC ? D ) ? SC ? SC ? D ? 2S D , (2)为(3) 搭好台阶,只不过比较隐晦,需明晰其含义.

(3)下面分三种情况证明. ①若 D 是 C 的子集,则 SC ? SC ? D ? SC ? S D ? S D ? S D ? 2S D . ②若 C 是 D 的子集,则 SC ? SC ? D ? SC ? SC ? 2 SC ? 2S D . ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集. 令 E ? C ? CU D , F ? D ? CU C 则 E ? ? , F ? ? , E ? F ? ? . 于是 SC ? S E ? SC ? D , S D ? S F ? SC ? D ,进而由 SC ? S D ,得 S E ? S F . 设 k 是 E 中的最大数, l 为 F 中的最大数,则 k ? 1, l ? 1, k ? l . 由(2)知, S E ? ak ?1 ,于是 3 又 k ? l ,故 l ? k ? 1 ,
l ?1

? al ? S F ? S E ? ak ?1 ? 3k ,所以 l ? 1 ? k ,即 l ? k .

从而 S F ? a1 ? a2 ? ? ? al ? 1 ? 3 ? ? ? 3

l ?1

?

3l ? 1 ak ? 1 S E ? 1 , ? ? 2 2 2

故 S E ? 2 S F ? 1 ,所以 SC ? SC ? D ? 2( S D ? SC ? D ) ? 1 , 即 SC ? SC ? D ? 2 S D ? 1 . 综合①②③得, SC ? SC ? D ? 2 S D . 考点:等比数列的通项公式、求和 【名师点睛】本题三个难点,一是数列新定义,利用新定义确定等比数列首项,再代入等比 数列通项公式求解,二是利用放缩法求证不等式,放缩目的,是将非特殊数列转化为特殊数 列,从而可利用特殊数列性质,以算代征,三是结论含义的应用,实质又是一个新定义,只 不过是新定义的性质应用. 11. 【 2016 高考天津理数】已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列,公差为 d ,对任意的

n ? N ?, b n 是 an 和 an ?1 的等差中项.
(Ⅰ)设 cn ? bn ?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2 2 *

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1?
k ?1

2n

n

bn 2 , n ? N * ,求证: ?

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】

试题解析: (I)证明:由题意得 bn ? an an ?1 ,有 cn ? bn ?1 ? bn ? an ?1an ? 2 ? an an ?1 ? 2dan ?1 ,因
2 2 2

此 cn ?1 ? cn ? 2d ? an ? 2 ? an ?1 ? ? 2d 2 ,所以 ?cn ? 是等差数列. (II)证明: Tn ? ?b1 ? b2 ? ?b3 ? b4 ? ?b2 n ?1 ? b2 n
2 2 2 2 2 2

?

? ?

? ?

?

? 2d ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? ? 2d ?

n ? a2 ? a2 n ? ? 2d 2 n ? n ? 1? 2
1 ? 1 1 ? 1 ? ? ?1 ? ?? 2 . ? n ? 1 ? 2d

所以

?T
k ?1

n

1
k

?

1 2d 2

? ? k ? k ? 1? ? 2d ? ? ?? ? k k ? 1 ? 2d
k ?1 2 k ?1

n

1

1

n

?1

2

考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn± cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
? ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采 ?cn,n为偶数 ?

用分组求和法求和. 12.【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (II)若 S5 ?

31 ,求 ? . 32

【答案】 (Ⅰ) an ? 【解析】

1 ? n ?1 ( ) ; (Ⅱ) ? ? ?1 . 1? ? ? ?1
n ?1 ? S1 ,得到数列 {an } 的递推公式,然后通过 ? S n ? S n ?1 n ? 2

试题分析: (Ⅰ)首先利用公式 an ? ?

变换结合等比数列的定义可证; (Ⅱ)利用(Ⅰ)前 n 项和 S n 化为 ? 的表达式,结合 S5 的值, 建立方程可求得 ? 的值. 试题解析: (Ⅰ)由题意得 a1 ? S1 ? 1 ? ?a1 ,故 ? ? 1 , a1 ?

1 , a1 ? 0 .由 S n ? 1 ? ?an , 1? ?

S n ?1 ? 1 ? ?an ?1 得 an ?1 ? ?an ?1 ? ?an ,即 an ?1 (? ? 1) ? ?an .
由 a1 ? 0 , ? ? 0 得 an ? 0 ,所以 因此 {an } 是首项为

an ?1 ? ? . an ? ?1

1 ? 1 ? n ?1 ( ) . ,公比为 的等比数列,于是 an ? 1? ? ? ?1 1? ? ? ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ( 解得 ? ? ?1 .

? ? ?1

) n ,由 S5 ?

? 5 1 31 ? 5 31 ) ? ) ? 得1 ? ( ,即 ( , 32 ? ?1 32 32 ? ?1

考点:1、数列通项 an 与前 n 项和为 S n 关系;2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 S n .

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法: (1)定义法,即证明
2

an ?1 ? q (常数) ; (2) an

中项法,即证明 an ?1 ? an an ? 2 .根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等 比数列或等差数列来求解. 13.【2016 高考浙江理数】设数列 ?an ? 满足 an ? (I)证明: an ? 2
n

an ?1 ? 1 , n ? ?? . 2

n ?1

?a

1

? 2? , n ? ?? ;

?3? ? ? (II)若 an ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . 2 ? ?
【答案】 (I)证明见解析; (II)证明见解析. 【解析】

试题解析: (I)由 an ?

an ?1 1 ? 1 得 an ? an ?1 ? 1 ,故 2 2

an an ?1 1 ? n ?1 ? n , n ? ? ? , n 2 2 2
所以

a1 an ? a1 a2 ? ? a2 a3 ? ? a ?1 an ? ? n ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ??? ? ? n ? n ? 1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

?

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 1 2 2 2

?1,
因此

an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? .
(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,
?

an am ? an an ?1 ? ?? ? 2n 2m ? 2n 2n ?1

? ? an ?1 an ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 ? ?2

? ? am ?1 am ? ? ? ??? ? ? m ?1 ? m ? 2 ? ? ?2

?

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 , 2n ?1

?


? 1 a ? n an ? ? n ?1 ? m ??2 2m ? ?2

? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ?2 ?
m

m ?3? ? n ?? ? ? ? 2 ?2? ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
由 m 的任意性得 an ? 2 .
?

m



否则,存在 n0 ? ? ,有 an0 ? 2 ,取正整数 m0 ? log 3
4

an0 ? 2 2n0

且 m0 ? n0 ,则

?3? 2m0 ? ? ? ?4?

m0

?3? ? 2n0 ? ? ? ?4?

log 3
4

an0 ? 2 2n0

? an0 ? 2 ,

与①式矛盾. 综上,对于任意 n ? ? ,均有 an ? 2 . 考点:1、数列;2、累加法;3、证明不等式. 【思路点睛】 (I)先利用三角形不等式及变形得
?

an an ?1 1 ? n ?1 ? n , 再 用 累 加 法 可 得 n 2 2 2

a1 an ? n ? 1 , 进 而 可 证 an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? ; ( II ) 由 ( I ) 的 结 论 及 已 知 条 件 可 得 2 2

?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 . ?4?
14.【2016 年高考北京理数】 (本小题 13 分) 设数列 A:a1 ,a2 ,… aN ( N ? ).如果对小于 n ( 2 ? n ? N )的每个正整数 k 都有 ak < an , 则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记“ G ( A) 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G ( A) 的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G ( A) ? ? ; (3)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, …,N),则 G ( A) 的元素个数不小于 aN - a1 . 【答案】 (1) G ( A) 的元素为 2 和 5 ; (2)详见解析; (3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)关键是理解 G 时刻的定义,根据定义即可写出 G ( A) 的所有元素; (2)要证 G ( A) ? ? ,即证 G ( A) 中含有一元素即可; (3)当 a N ? a1 时,结论成立.只要证明当 a N ? a1 时仍然成立即可.

m

(3)当 a N ? a1 时,结论成立. 以下设 a N ? a1 . 由(Ⅱ)知 G ( A) ? ? .设 G ( A) ? n1 , n2 ,? ? ?, n p , n1 ? n2 ? ? ? ? ? n p ,记 n0 ? 1 . 则 an0 ? an1 ? an2 ? ? ? ? ? an p . 对 i ? 0,1,? ? ?, p ,记 Gi ? k ? N ni ? k ? N , ak ? ani .

?

?

?

?

?

如果 Gi ? ? ,取 mi ? min Gi ,则对任何 1 ? k ? mi , ak ? ani ? ami . 从而 mi ? G ( A) 且 mi ? ni ?1 . 又因为 n p 是 G ( A) 中的最大元素,所以 G p ? ? .从而对任意 n p ? k ? n , ak ? an p ,特别地,

a N ? an p .
对 i ? 0,1,? ? ?, p ? 1, ani?1 ?1 ? ani . 因此 ani?1 ? ani?1 ?1 ? (ani?1 ? ani?1 ?1 ) ? ani ? 1 . 所以 a N ? a1 ? an p ? a1 ?

? (a
i ?1

p

ni

? ani?1 ) ? p .

考点:数列、对新定义的理解. 【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,数列 的综合问题涉及到的数学思想:函数与方程思想(如:求最值或基本量)、转化与化归思想(如: 求和或应用)、特殊到一般思想(如:求通项公式)、分类讨论思想(如:等比数列求和, q ? 1 或

q ? 1 )等.
15.【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项为 1,S n 为数列 {an } 的前 n 项和,S n ?1 ? qS n ? 1 , 其中 q>0, n? N* . (Ⅰ)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设双曲线 x ?
2

y2 5 4n ? 3n 的离心率为 ,且 ,证明: ? 1 e e ? e ? e ? ??? ? e ? n 2 1 2 n 2 an 3 3n ?1 .

【答案】 (Ⅰ) an =q n- 1 ; (Ⅱ)详见解析.

试题解析: (Ⅰ)由已知, Sn+ 1 = qSn + 1, Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1, 两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1 , n ? 1 . 又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n ? 1 都成立. 所以,数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an =q n- 1 . 由 2a2,a3,a2 +2 成等比数列,可得 2a3 =3a2 + 2 ,即 2q 2 =3q + 2, ,则 (2q + 1)(q - 2) = 0 , 由已知, q > 0 ,故 q =2 . 所以 an = 2n- 1 (n ? N* ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, an = q n- 1 . 所以双曲线 x 2 y2 = 1 的离心率 en = an 2
1 + an 2 = 1 + q 2( n- 1) .

由 q = 1 + q2 =

5 4 解得 q = . 3 3

1 因为 1+q 2( k - 1) > q 2( k - 1) ,所以 1+q 2( k - 1) > q k -( . k ? N*)

? en > 1+q + 鬃 ? q n- 1 = 于是 e1 + e2 + 鬃
故 e1 + e2 + 鬃 ? e3 >
4n - 3n . 3n- 1

qn - 1 , q- 1

考点:数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,

考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第(Ⅰ)问中,已知的是 S n 的递推式,在 与 S n 的关系式中,经常用 n ? 1 代换 n ( n ? 2 ) ,然后两式相减,可得 an 的递推式,利用这 种方法解题时要注意 a1 ;在第(Ⅱ)问中,不等式的证明用到了放缩法,这是证明不等式常 用的方法,本题放缩的目的是为了求数列的和.另外放缩时要注意放缩的“度” .不能太大, 否则得不到结果. 16.【2016 高考上海理数】无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, S n 为 ?an ?的前 n 项和.若对任 意 n ? N ? , S n ? ?2,3?,则 k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 试题分析: 要满足 S n ? ?2,3?,说明 S n 的最大值为 3 ,最小值为 2. 所以涉及最多的项的数列可以为

2,1, ?1, 0, 0, 0, ??? ,所以最多由 4 个不同的数组成.
考点:数列求和. 【名师点睛】从分析条件入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意“数列 ?an ?由 k 个 不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解 能力等. 17.【2016 高考上海理数】 已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q , 前 n 项和为 S n , 且 lim S n ? S .
n ??

下列条件中,使得 2 S n ? S n ? N ? 恒成立的是( (A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8 【答案】B

?

?



(B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7

考点:1.数列的极限;2.等比数列的求和. 18.【2016 高考上海理数】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 若无穷数列 {an } 满足: 只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) , 必有 a p ?1 ? aq ?1 , 则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2)若无穷数列 {bn } 是等差数列,无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 ,

b5 ? c1 ? 81 , an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an ?1 ? bn ? sin an ( n ? N ) .求证: “对任意 a1 ,{an } 都具有性质
*

P ”的充要条件为“ {bn } 是常数列”.
【答案】 (1) a3 ? 16 . (2) ?an ? 不具有性质 ? . (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据已知条件,得到 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,结合 a6 ? a7 ? a8 ? 21 求解. (2)根据 ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为 ,写出通项公式,从而可得

1 3

an ? bn ? cn ? 20n ? 19 ? 35? n .
通过计算 a1 ? a5 ? 82 , a2 ? 48 , a6 ?

304 , a2 ? a6 ,即知 ?an ? 不具有性质 ? . 3

(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. 试题解析: (1)因为 a5 ? a2 ,所以 a6 ? a3 , a7 ? a4 ? 3 , a8 ? a5 ? 2 . 于是 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,又因为 a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,解得 a3 ? 16 . (2) ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为 ,

1 3

?1? 所以 bn ? 1 ? 20 ? n ? 1? ? 20n ? 19 , cn ? 81 ? ? ? ?3?

n ?1

? 35? n .

an ? bn ? cn ? 20n ? 19 ? 35? n .

a1 ? a5 ? 82 ,但 a2 ? 48 , a6 ?
所以 ?an ? 不具有性质 ? . (3)[证]充分性:

304 , a2 ? a6 , 3

当 ?bn ? 为常数列时, an ?1 ? b1 ? sin an . 对任意给定的 a1 ,只要 a p ? aq ,则由 b1 ? sin a p ? b1 ? sin aq ,必有 a p ?1 ? aq ?1 . 充分性得证. 必要性: 用反证法证明.假设 ?bn ? 不是常数列,则存在 k ? ? ,
?

使得 b1 ? b2 ? ??? ? bk ? b ,而 bk ?1 ? b . 下面证明存在满足 an ?1 ? bn ? sin an 的 ?an ? ,使得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ,但 ak ? 2 ? ak ?1 . 设 f ? x ? ? x ? sin x ? b ,取 m ? ? ,使得 m? ? b ,则
?

f ? m? ? ? m? ? b ? 0 , f ? ?m? ? ? ?m? ? b ? 0 ,故存在 c 使得 f ? c ? ? 0 .
取 a1 ? c ,因为 an ?1 ? b ? sin an ( 1 ? n ? k ) ,所以 a2 ? b ? sin c ? c ? a1 , 依此类推,得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ? c . 但 ak ? 2 ? bk ?1 ? sin ak ?1 ? bk ?1 ? sin c ? b ? sin c ,即 ak ? 2 ? ak ?1 . 所以 ?an ? 不具有性质 ? ,矛盾. 必要性得证. 综上, “对任意 a1 , ?an ? 都具有性质 ? ”的充要条件为“ ?bn ? 是常数列” . 考点:1.等差数列、等比数列的通项公式;2.充要条件的证明;3.反证法. 【名师点睛】本题对考生逻辑推理能力要求较高,是一道难题.解答此类题目,熟练掌握等差 数列、等比数列及反证法是基础,灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错有两原因,一 是不得法,二是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思 维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

不等式
1. 【2016 高考新课标 1 卷】若 a ? b ? 1, 0 ? c ? 1 ,则( (A) a c ? b c 【答案】C (B) ab c ? ba c ) (D) log a c ? log b c (C) a log b c ? b log a c

考点:指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或 对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 2.【2016 高考浙江理数】在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的 投影.由区域

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│=( ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2 D. 6 【答案】C 【解析】 试题分析:如图 ?PQR 为线性区域,区域内的点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的投影构成了线段



2

B.4

C.3

2

?x ? 3y ? 4 ? 0 ?x ? 2 R?Q? ,即 AB ,而 R?Q? ? PQ ,由 ? 得 Q (?1,1) ,由 ? 得 R(2, ?2) , ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0
AB ? QR ? (?1 ? 2) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 3 2 .故选 C.

考点:线性规划. 【思路点睛】先根据不等式组画出可行域,再根据题目中的定义确定 ?? 的值.画不等式组 所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证,防止出现错误.

?2 x ? y ? 0 ? 3.【2016 年高考北京理数】若 x , y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 2 x ? y 的最大值为( ? x?0 ?
A.0 【解析】 B.3 C.4 D.5【答案】C



试题分析:作出如图可行域,则当 z ? 2 x ? y 经过点 P 时,取最大值,而 P (1,2) ,∴所求最 大值为 4,故选 C.

y P

x
O

考点:线性规划. 【名师点睛】可行域是封闭区域时,可以将端点代入目标函数,求出最大值与最小值,从而 得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时,不能简单的运用代入顶点的方法求最优 解.如变式 2,需先准确地画出可行域,再将目标函数对应直线在可行域上移动,观察 z 的大小 变化,得到最优解. 4.【2016 高考浙江理数】已知实数 a,b,c( A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 )

B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 【答案】D

考点:不等式的性质. 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个 选项逐个利用赋值的方式进行排除,确认成立的不等式.

? y ? x ? 1, ? 5. 【2016 年高考四川理数】 设 p: 实数 x, y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 , q: 实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? x, ? y ? 1, ?
2 2

则 p 是 q 的(

) (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要

(A)必要不充分条件 条件 【答案】A 【解析】

试题分析:画出可行域(如图所示) ,可知命题 q 中不等式组表示的平面区域 ?ABC 在命题 p 中不等式表示的圆盘内,故选 A.

考点:1.充分条件、必要条件的判断;2.线性规划. 【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题,首先是分清条件和结论,然后考察条件

推结论,结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考, 本题条件与结论可以转化为平面区域的关系,利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论.

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.【2016 高考新课标 3 理数】若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
_____________. 【答案】

3 2

考点:简单的线性规划问题. 【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤:(1)作出可行域.将约束条件中的每 一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集; (2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线);(3)求出最终结果.

ì x + y ? 2, ? ? ? 7.【2016 高考山东理数】若变量 x,y 满足 ? í 2 x - 3 y ? 9, 则 x 2 + y 2 的最大值是( ? ? 锍 ? ? x 0,
(A)4 【答案】C 【解析】 (B)9 (C)10 (D)12



试题分析:不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, x ? y 表示
2 2

点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 OC ? 10 ,故选 C. 考点:简单线性规划

2

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单 线性规划问题,是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、 两点间距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力.
? x ? y ? 2 ? 0, ? 8.【2016 高考天津理数】设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的 ?3x ? 2 y ? 9 ? 0. ?

最小值为( (A) ?4 【答案】B 【解析】

) (B)6 (C)10 (D)17

试题分析: 可行域为一个三角形 ABC 及其内部, 其中 A(0, 2), B(3,0), C (1,3) , 直线 z ? 2 x ? 5 y 过 点 B 时取最小值 6,选 B. 考点:线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实 线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的 斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 9.【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生 产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙 材料 0.3kg,用 3 个工时. 生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元. 该 企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利 润之和的最大值为 【答案】 216000 【解析】 试题分析:设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件,利润之和为 z 元,那么 元.

?1.5 x ? 0.5 y? 150, ? x ? 0.3 y? 90, ? ? ?5 x ? 3 y? 600, ? x… 0, ? 0. ? ? y…
目标函数 z ? 2100 x ? 900 y .



二元一次不等式组①等价于

?3 x ? y? 300, ?10 x ? 3 y? 900, ? ? ?5 x ? 3 y? 600, ② ? x… 0, ? 0. ? ? y…
作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.

将 z ? 2100 x ? 900 y 变形,得 y ? ? 过点 M 时, z 取得最大值. 解方程组 ?

7 z 7 7 z ,平行直线 y ? ? x ,当直线 y ? ? x ? 经 x? 3 900 3 3 900

?10 x ? 3 y ? 900 ,得 M 的坐标 (60,100) . ?5 x ? 3 y ? 600

所以当 x ? 60 , y ? 100 时, zmax ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000 . 故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元. 考点:线性规划的应用 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离, 解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 10. 【 2016 高考江苏卷】 已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
▲ .

4 【答案】 [ ,13] 5

【解析】由图知原点到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 距离平方为 x 2 ? y 2 最小值,为 (

2 5

)2 ?

4 ,原点到 5

4 点 (2,3) 距离平方为 x 2 ? y 2 最大值,为 13 ,因此 x 2 ? y 2 取值范围为 [ ,13] 5
考点:线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实 线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的 斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 11.【2016 高考上海理数】设 x ? R ,则不等式 x ? 3 ? 1 的解集为__________. 【答案】 (2, 4) 【解析】 试题分析: 由题意得: ?1 ? x ? 3 ? 1 ,即 2 ? x ? 4 ,故解集为 (2, 4) . 考点:绝对值不等式的基本解法. 【名师点睛】解绝对值不等式,关键是去掉绝对值符号,进一步求解,本题也可利用两边平 方的方法.本题较为容易.

第二部分

2016 优质模拟试题

1.【2016 辽宁大连高三双基测试卷,理 6】 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下 问题: “今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、 丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、 戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?” ( “钱”是古代的一种重量单位).这个问题中, 甲所得为( (A) ) (B)

5 钱 4

4 钱 3

(C)

3 钱 2

(D) 钱

5 3

【答案】B 【 解 析 】 设 所 成 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则 依 题 意 , 有

5? 4 ? d ?5 4 1 ?5a1 ? ,解得 a1 ? , d ? ? ,故选 B. 2 ? 3 6 ? ?a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? a1 ? 4d

2. 【2016 河北衡水中学高三一调,理】已知 S n 和 Tn 分别为数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的前 n 项和,
? 且 a1 ? e , S n ? eS n ?1 ? e , an ? e n ,(n ? N ) ,则当 Tn 取得最大值时, n 的值为(

4

5

b



A.4 【答案】C

B.5

C.4 或 5

D.5 或 6

3.【2016 广西桂林调研考试, 理 15】 已知 m 、 n 为正实数,向量 a ? ? m,1? , b ? ?1 ? n,1? ,若 a ? b ,



1 2 ? 的最小值为______. m n

【答案】 3 ? 2 2 【解析】由 a ? b ,得 m ? n ? 1 ,则

1 2 n 2m n 2m ? 1 2? ? = ?m ? n? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3? 2 ? ? 3 ? 2 2. m n m n m n ?m n?
? n 2m ? 1 2 ? ? ?m ? 2 ? 1 ? 的最小值为 3 ? 2 2 . n ?m ? m n ? n ? 2 ? 2 (当且仅当 ? ,即 ,取等号) ,即 ? ?m ? n ? 1
4.

【2016 河南六市一模】实数 x, y 满足 ?

? xy ? 0 ,使 z ? ax ? y 取得最大值的最 ? x ? y ?1

优解有两个,则 z ? ax ? y ? 1 的最小值为( A.0 B.-2 【答案】A. C.1 D.-1



【解析】 如下图所示, 画出不等式组所表示的区域, ∵ z ? ax ? y 取得最大值的最优解有两个, ∴ ? a ? 1 ? a ? ?1 ,∴当 x ? 1 , y ? 0 或 x ? 0 , y ? ?1 时, z ? ax ? y ? ? x ? y 有最小值 -1,∴ ax ? y ? 1 的最小值是 0,故选 A.

5.

【2016 甘肃兰州高三实战考试,理 17】

【解析】 (Ⅰ)设设等差数列的公差为 d ,则由已知得:

a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 15 即 a2 ? 5
又 (5 ? d ? 2)(5 ? d ? 13) ? 100 ,解得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍)

a1 ? a2 ? d ? 3
所以

an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 2n ? 1 ,

又 b1 ? a1 ? 2 ? 5 , b2 ? a2 ? 5 ? 10 所以 q ? 2 所以 bn ? 5 ? 2 n ?1 (Ⅱ)因为 Tn ? 5[3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ] ?????6 分

2Tn ? 5[3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ]
两式相减得 ?Tn ? 5[3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2 n ] ? 5[(1 ? 2n)2 n ? 1] 则 Tn ? 5[(2n ? 1)2 n ? 1] ????????12 分


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