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2018陕西石泉高三一轮复习第四节 指数函数与对数函数

时间:2017-08-20


2018 陕西石泉中学高三数学议论复习第四节 指数函数与对数函数 题型 24 指(对)数运算及指(对)数方程 1. (2013 浙江理 3)已知 x, y 为正实数,则( A. 2 C. 2
lg x ? lg y

).
lg( x ? y ) lg( xy )

? 2lg x ? 2lg y

B. 2

? 2lg x ? 2lg y

lg x?lg y

? 2lg x ? 2lg y
a

D. 2

? 2lg x ? 2lg y

2.(2014 陕西理 11) 已知 4 ? 2,lg x ? a ,则 x ? _______.
a ?a 3.(2015 浙江理 12) 若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2 ?



3.解析

因为 a ? log 4 3 ? log 22 3 ?
3

1 log 2 3 ? log 2 3 , 2

所以 2a ? 2? a ? 2log2

? 2? log2
x2 ? x

3

? 3?

1 4 3 . ? 3 3


4.(2015 江苏 7)不等式 2 4.解析 由题意 2
x2 ? x

? 4 的解集为

2 ? 4 ? 22 ,根据 y ? 2 x 是单调递增函数,得 x ? x ? 2 ,

2 即 x ? x ? 2 ? ? x ? 2?? x ?1? ? 0 ,故不等式的解集为 ? ?1,2? 或写成 x ?1 ? x ? 2 均可.

?

?

5.(2015 重庆理 4)“ x ? 1 ”是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的(
2

). B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充要条件 C. 必要不充分条件
2

5.解析 由 log 1 ( x ? 2) ? 0 得 x ? ?1 ,且“ x ? 1 ”是“ x ? ?1 ”的充分不必要条件. 故选 B. 6.(2015 四川理 8)设 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ 3 ? 3 ? 3 ”是“ loga 3 ? logb 3 ”
a b

的(

). B.充分不必要条件
a b

A.充要条件 6. 解析

C.必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

若 3 ? 3 ? 3 ,则 a ? b ? 1 ,所以 loga 3 ? logb 3 ,故为充分条件;

若 loga 3 ? logb 3 不一定有 a ? b ? 1 ,比如, a ? 故选 B.

1 a b , b ? 3 ,所以 3 ? 3 ? 3 不成立. 3

7. (2016 浙江理 12) 已知 a ? b ? 1 .若 log a b ? log b a ? 7. 4 ; 2 解析

5 ab ? ba , , 则a ? 2
1 t

b? ,

.

设 logb a ? t ,因为 a ? b ? 1 ,则 t ? 1 .由题知 t ? ?
2

5 ,解得 t ? 2 ,所以 2

a ? b2 .由 ab ? ba ,将 a ? b2 带入,得 b2b ? bb , 2b ? b ,得 b ? 2, a ? 4 .
2

8.(2017 北京理 8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 ,而可观测宇宙中 普通物质的原子总数 N 约为 1080 ,则下列各数中与
M N

最接近的是(

).(参考数据:

lg3 ? 0.48 )
A. 10 33 8.解析 设 B. 10 53 C. 1073 D. 10 93

M 3361 ? x ? 80 ,两边取对数 lg x ? lg3361 ? lg1080 ? 361? lg3 ? 80 , N 10

即 x ? 93.28 ,所以接近 1093 .故选 D.
x y z 9.(2017 全国 1 理 11)设 x , y , z 为正数,且 2 ? 3 ? 5 ,则(

). D. 3y ? 2x ? 5z

A. 2x ? 3y ? 5z

B. 5z ? 2x ? 3y

C. 3y ? 5z ? 2x

9.解析 设 2x ? 3y ? 5z ? t ,两边取对数得 x ln 2 ? y ln 3 ? z ln 5 ? ln t ,则 2 x ?

2 ln t ln 2

3y ?

ln x ? 1 3ln t 5ln t x , 5z ? , ln t ? 0 .设 f ? x ? ? , f ?? x? ? 2 ,当 x ? ? 0,e ? 时, ? ln x ? ln 3 ln 5 ln x

f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减;当 x ?? e, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.
而 2x ? f ? 4? ln t , 3 y ? f ? 3? ln t , 5z ? f ? 5? ln t .由 e<3<4<5 ,得 3 y ? 2 x ? 5z . 故选 D. 题型 25 指(对)数函数的图像及应用 1.(2014 浙江理 7)在同一直角坐标系中,函数 f ? x ? ? x 能是( ).
a

0? , g ? x ? ? loga x 的图像可 ? x…

y 1

y 1

y 1

y 1

O -1

1

x

O -1

1

x

O -1

1

x

O -1

1

x

A.

B.
x

C.

D.

2.(2015 山东理 14)已知函数 f ? x ? ? a ? b ? a ? 0 , a ? 1? 的定义域和值域都是 ? ?1, 0? , 则a?b ? 2. 解析 . 分情况讨论:

x ①当 a ? 1 时, f ? x ? ? a ? b 在 ? ?1,0? 上递增.

又 f ? x ? ?? ?1,0? ,所以 ?

? ? f ? ?1? ? ?1 ,无解; f 0 ? 0 ? ? ? ?
x

②当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? ? a ? b 在 ? ?1,0? 上递减.

1 ? ? 3 ?a ? ? f ? ?1? ? 0 又 f ? x ? ?? ?1,0? ,所以 ? ,解得 ? 2 ,所以 a ? b ? ? . 2 ? ? ? f ? 0 ? ? ?1 ?b ? ?2
3.(2015 陕西理 9)设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ), 2

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是( ) . 2 A. q ? r ? p B. q ? r ? p C. p ? r ? q r?
3. 解析 解法一: 依题意 p ? ln ab ?

D. p ? r ? q

1 1 1 ln ab ? ?ln a ? ln b ? ? ? f ?a ? ? f ?b ? ? ? r , 2 2 2

a?b ? ln ab ? p ,所以 p ? r ? q .故选 C. 2 1? 9 1 ? ln 5 , r ? ? ln1 ? ln 9 ? ? ln 3 , 解法二: 令 a ? 1, b ? 9 , p ? ln 9 ? ln 3 , q ? ln 2 2 所以 p ? r ? q .故选 C. q ? ln
4.(2015 天津理 7)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,
).

记 a ? f ? log0.5 3? , b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a , b , c 的大小关系为( A. a ? b ? c 4.解析 因为函数 B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a
x

f ? x? ? 2

x ?m

? 1为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,

所以 a ? f (log0.5 3) ? f ? log 2

? ?

log2 1? 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, ??2 3?

1

b ? f ? log2 5? ? 2log2 5 ?1 ? 4,c ? f ? 2m? ? f (0) ? 20 ?1 ? 0 .
所以 c ? a ? b .故选 C. 题型 26 指(对)数函数的性质及应用 1.(2013 天津理 7)函数 f ( x) ? 2x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2

).

2.(2014 重庆理 12)函数 f ? x ? ? log
4 3

x ? log
2 3

?2 x ? 的最小值为_________.
1 3

3.(2016 全国丙理 6)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则( A. b ? a ? c 3. A 解 析 B. a ? b ? c
4 2

).

C. b ? c ? a
2

D. c ? a ? b
1 2 2

由 a ? 2 3 ? 4 3 , b ? 3 3 , 得 a ? b , 由 c ? 253 ? 53 ? 43 , 则 c ? a 因 此

c ? a ? b.故选 A.

4.(2016 全国乙理 8)若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则( A. a ? b
c c

). D. loga c ? logb c
c

B. ab ? ba
c

c

C. a logb c ? b loga c

4. C 解 析

对于选项 A :由于 0 ? c ? 1 ,所以函数 y ? x 在 ? 0, ??? 上单调递增 . 由
c

a ? b ? 1 ,得 a

? bc .故 A 错误.
c
c

对于选项 B:要比较 ab 与 ba 的大小,只需比较

a ?a? ?a? 与 ? ? 的大小.构造函数 y ? ? ? , b ?b? ?b?
x

c

x

a ?a? 因为 a ? b ? 1 ,所以 ? 1 ,因此函数 y ? ? ? 在 R 上单调递增.又 0 ? c ? 1 ,所以 b ?b?

? a ? a ,即 bac ? abc .故 B 错误. ? ? ? ?b? b
对于选项 C:要比较 a logb c 与 b loga c 的大小关系,只需比较

c

ln c ln c 与 的大小, b ln b a ln a

即比较 b ln b 与 a ln a 的大小.构造辅助函数 f ? x ? ? x ln x , f ? ? x ? ? ln x ?1 . 令 f ?? x? ? 0 得 x ?

?1 ? 1 .函数 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增,因此,若 a ? b ? 1 , e ?e ?

得 a ln a ? b ln b ,故

1 1 ln c ln c b ln c a ln c ? ? ? .又 ln c ? 0 ,所以 ,即 , a ln a b ln b a ln a b ln b ln a ln b

得 b loga c ? a logb c .故选项 C 正确.

ln c ln c 与 的大小, 即比较 ln a 与 ln b ln a ln b 1 1 ln c ln c ? ? 的大小.又 a ? b ? 1 ,得 ln a ? ln b ? 0 ,所以 .又 ln c ? 0 ,得 , ln a ln b ln a ln b
对于选项 D: 比较 loga c 与 logb c 的大小, 只需比较 即 log a c ? logb c .故选项 D 不正确. 综上可得.故选 C. 5.(2016 上海理 22)已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? log 2 ?
(1)当 a

?1 ? ? a? . ?x ?

? 5 时,解不等式 f ? x ? ? 0 ;

(2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? log 2 ? ?? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 ? ? ? 0 的解集中恰有一个元素,求 a 的取 值范围; (3)设 a

?1 ? ? 0 ,若对任意 t ? ? ,1? ,函数 f ? x ? 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值和最小值的差不超 ?2 ?

过 1 ,求 a 的取值范围.

5.解析 (1)由题意 log 2 ? 即 x ? 4x ?1? ? 0 . 故不等式的解为 ? x (2)依题意 log 2 ? ①

1 4x ?1 ?1 ? ? 5 ? ? 0 ? log 2 1 ,即 ? 5 ? 1 ,整理得 ? 0, x x ?x ?

1? ? x ? 0或x ? ? ? ; 4? ?
1 ?1 ? ? a ? ? log 2 ? ,所以 ? a ? ? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 ? 0 , ? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 ? ? ? x ?x ?

2 整理得 ? a ? 4? x ? (a ? 5) x ?1 ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ?? a ? 4 ? x ? 1? ? ? 0, ②

当 a ? 4 时,方程②的解为 x ? ?1 ,代入①式,成立;当 a ? 3 时,方程②的解为 x ? ?1 , 代入①式,成立; 当 a ? 3 且 a ? 4 时,方程②的解为 x ? ?1 或

1 ,若 x ? ?1 为方程①的解,则 a?4

1 ? a ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 , x

若x?

1 1 为方程①的解,则 ? a ? 2a ? 4 ? 0 ,即 a ? 2 . a?4 x

要使得方程①有且仅有一个解,则 ?

? a ? 1 ?a ? 1 或? ,即 1 ? a ? ? a ? 2 ?a ? 2

2.

综上,若原方程的解集有且只有一个元素,则 a 的取值范围为 1 ? a ? (3)当 0 ? x1 ? x2 时,

2 或 a ? 3或 a ? 4 .

1 1 ?1 ? ? 1 ? ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所 以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 减 . 因 此 f ? x ? 在 ?t , t ? 1? 上 单 调 递 减 . 故 只 需 满 足

f ? x ? ? f ?t ?1? ? 1 ,
即 log 2 ?

1 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ? 1 ,所以 ? a ? 2 ? ? a?, t ?t ? ? t ?1 ? ? t ?1 ?

即a… ?

1 2 1? t ? 1? ? ,设 1 ? t ? r ,则 r ? ?0, ? , t t ? 1 t ? t ? 1? ? 2?

1? t r r ? ? 2 . t ? t ? 1? ?1 ? r ?? 2 ? r ? r ? 3r ? 2
r 1 2 ? ? 0 ;当 0 ? r ? 时, r 2 ? 3r ? 2 当 r ? 0 时, 2 ,又函数 y ? x ? 2 r ? ?3 r ? 3r ? 2 2 x

r

1 r

在 0, 2 递减,

?

?

2 1 9 2 ? ? .故 a 的取值范围为 a … . 所以 r ? … ? 4 ? .故 2 9 3 r ? ?3 ?3 r 2 2 3

1 r

1

2

2

评注 第(3)问还可从二次函数的角度考查,由

1 ? 1 ? ? a ? 2? ? a ? 整理得 t ? t ?1 ?

2 at 2 ? ? a ?1? t ?1…0 对任意 t ? ? ,1? 成立.因为 a ? 0 , 函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 的对称轴

?1 ? ?2 ?

t0 ?
3 4

? ? a ? 1? 1 3 1 ?1 ? ? 0 ,故函数在区间 ? ,1? 上单调递增.所以当 t ? 时, y 有最小值 a ? , 2 4 2 ?2 ? 2a
1 2 ?2 ? …0 ,得 a … .故 a 的取值范围为 ? , ?? ? . 2 3 ?3 ?

由 a?


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