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叶中豪几何讲稿


? 1.平行 四边形 ABCD(非 矩形和菱 形)中, CM⊥AD 于M, CN⊥AB于 N,NM与 BD延长交 于点P。 求证: PC⊥AC。

2.已知AF、DC是圆O的直径,E是CF延长线 上一点,DE交圆O于B,直线AB、OE交于P。 求证:PC是圆O的切线。

3.已知:AB是圆O的直径,P是过B点的切线 上任一点,过P作任意

割线PCD,联结AC、AD, 分别与直线OP交于E、F。求证:OE=OF。

4.ABCD是圆ω的内接四边形,CP、DQ是ω的直径, 过P、Q作的ω切线与直线AB交于E、F。直线EO与AC、 BC交于X、Y,直线FO与AD、BD交于U、V。求证: XV=YU。 (2010年俄罗斯竞赛

5.已知:AB是圆O的直径,P是过B点的切线 上任一点,过P作任意割线PCD,联结AC、PO 交于E点。求证:∠DBE=90°

6.在△ABC中,AB ≠ AC,I是内心,直线AI与△ABC 的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P,△ABC的 B-旁切圆切AC于E,C-旁切圆切AB于F。 求证:EF⊥PI。 (2007年秘鲁国家队选拔考试)

7.已知:直角△ABC,D是斜边AB的中点,MB⊥AB, MD交AC于N,MC延长线交AB于E。求证:∠DBN= ∠BCE。 (2007年第4届东南地区数学奥林匹克

8.自圆内接 四边形ABCD 的每边端点作 邻边的垂线, 相邻垂线分别 交于E、F、G、 H。求证:E、 F、G、H四点 共线。

9.已知ABCD是 圆内接四边形, 对角线AC、BD 交于P点,O是 外接圆心。过A、 B分别作邻边AD 和BC的垂线交 于E点。求证: E、O、P三点共 线。

10.在△ABC两 侧作△ABF、 △ACE,使得 ∠BAE=∠CAF= 90°,且∠ABF +∠ACE=180°。 O是△ABC的外心。 求证:E、O、F 三点共线。

11.M为AC上 任一点,BM延 长交圆O于P, 过P作CP垂线交 OM延长线于Q。 求证:BA⊥AQ。

12.D为△ABC 外接圆上任一 点,AD中垂线 交AC于E,BE延 长交外接圆于F, 过F作CF的垂线 交AD中垂线于G。 求证:D、E、F、 G四点共圆。

13.设P是 △ABC外接圆上 任一点,自P分 别作PA、PB、 PC的垂线,与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F,则 D、E、F及外心 O共线

14.设AB是圆 O的弦, PB⊥AB,过P 作圆O的割线 PCD,联结AC、 OP交于E。求 证:EB⊥DB。

15.设P是 △ABC所在平面 上任意一点, 自P作PA、PB、 PC的垂线,分 别与对应边BC、 CA、AB交于D、 E、F,则D、E、 F三点共线。

16.已知D在 △ABC的九点圆 上,E、F分别在 AB、AC边上, 且∠BDF= ∠CDE=90°。 求证:EF过 △ABC的外心O。

17.已知:PB垂 直于圆O的弦AB, 过P作任意割线 PCD,联结AC、 AD与直线PO交于 E、F,DE、CF分 别交圆O于M、N, MN与PO延长交 于Q。求证:QA 是圆O的切线。

18.如图,AB 是圆O的任意弦, PB是切线,PCD、 PST是两条任意 割线,AB、AC、 AD分别与PST相 交于Q、E、F。 求证:

19.已知: PF⊥PC, PB⊥PE,延长 PE、PF交△ABC 外接圆于B'、C', 联结B'F、C'E交 于Q。求证: ∠QAC=∠PAB。

20.已知△ABC中, B'、C'是外接圆上 B、C的对径点, 直线B'C'与过A的 切线交于D,过D 任作直线分别交 AB、AC于E、F, 联结B'E、C'F交于 Q点。 求证:AQ⊥BC


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