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2011.12.10. 高一数学必修2立体几何测试题答案2005[1].12.1.

时间:2014-11-24


高一数学必修 2 立体几何练习题
试卷满分:100 分 考试时间:85 分钟 班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________

第Ⅰ卷
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 与平面 ? 的位置关系是 A、 AB ? ? B、 AB

? ? C、由线段 AB 的长短而定 2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 ( ) D、以上都不对 ( )

D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 ( ) D、以上都有可能 ( )

3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交

C、异面

4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A、 AC 1 1 ? AD B、 D1C1 ? AB C、 AC1 与 DC 成 45 角

D、 AC 1C 成 60 角 1 1与B )

5、一个三棱锥中,两组相对棱所成的角都是 90 ? ,则另一组相对棱所成的角为( (A) 90 ? (B) 60 ? (C) 45 ? (D) 30 ?

6、下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平 行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; ( 4) 、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的 个数有 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4 、 CD 、 DA上分别取 E、F、G、H 四点,如果与 7 、在空间四边形 ABCD 各边 AB、 BC EF、GH 能相交于点 P ,那么 ( ) A、点必 P 在直线 AC 上 B、点 P 必在直线 BD 上 C、点 P 必在平面 BCD 内 D、点 P 必在平面 ABC 外 8、 a, b,c 表示直线,M 表示平面, 给出下列四个命题: ①若 a∥M, b∥M, 则 a∥b;②若 b ? M, a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正确命题的个数 有 ( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 9、有一个几何体的三视图如下图所示, 这个几何体应是一个( ) A、棱台 B、棱锥 C、棱柱 D、都不对

1

10、 已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? , 点 C 到棱 AB 的 ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3, 距离为 4,那么 tan ? 的值等于 A、 ( C、 )

3 4

B、

3 5

7 7
第Ⅱ卷

D、

3 7 7

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A'
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11、如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分 别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为 。 12、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是

C' B' Q

P

A B
A1

C

S球

S正方体

D1

(填”大于、小于或等于”).

B1 C1

13、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D
D 的位置关系为 14、如图,在直四棱柱 A1B1C1 D1-ABCD 中,当底面四边形 A ABCD 满足条件 时,有 A1 B⊥B1 D1. (注: 填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形.)

C

B

三、解答题(共 44 分,要求写出主要的证明、解答过程) 15.(本题满分 8 分) 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a. (1) 求点 A 到面 BCD 的距离; (2) 求 AB 与面 BCD 所成角的正弦值; (3) 求二面角 A-CD-B 的余弦值;

A

B O M C

D

2

16、(本题满分 8 分) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点。 求证: (1) C1O // 面 AB1D1 ; (2 ) AC ? 面 AB1D1 . 1

17. (本题满分 8 分)如下图,P 为△ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥ PB 于 E,AF⊥PC 于 F,
P F A E C B

求证: (1)AE⊥平面 PBC;

(2)PC⊥平面 AEF.

3

18. (本题满分 10 分)正方形 ABCD 中,AB=2,E 是 AB 边的中点,F 是 BC 边上一点,将△AED 及△DCF 折起(如下图) ,使 A、C 点重合于 A′点. (1)证明:A′D⊥EF; (2)当 F 为 BC 的中点时,求 A′D 与平面 DEF 所成的角的正切值; (3)当 BF=
A

1 BC 时,求三棱锥 A′—EFD 的体积. 4
' A

D

E E B F D

B

F

C

19. (本题满分 10 分)如下图,四棱锥 P—ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PD 的中点,又二面角 P—CD—B 为 45°.
P F H G A E B C D

(1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求证:平面 PEC⊥平面 PCD; (3)设 AD=2,CD=2 2 ,求点 A 到平面 PEC 的距离.

4

参考答案: 1-10 ACDDA 11.

BABAD 12. 小于 13. 平行 14. 对角线AC 1 1与B 1D 1互相垂直

V 3

15. 解: (1)过点 A 作 AO 垂直于平面 BCD,垂足为 O。 由于正四面体 ABCD 也是正三棱锥,所以点 O 为三角形 BCD 的中心,连结 BO,则 BO ?

2 3 3 ? a? a, 3 2 3

AO ? 平面BCD BO ? 平面BCD ? AO ? BO 在Rt?ABO中,AO= a 2 ? (
(2)

3 2 6 a) ? a 3 3

AO ? 平面BCD于O, ? BO是AB在平面BCD上的射影 ??ABO是AB与平面BCD所成的角 6 a 6 3 ? sin?ABO= ? a 3
(3)延长 BO 交 CD 于点 M, 则 BM ? CD ,由三垂线定理可知 AM ? CD ??AMB即所求 。

3 a OM 1 6 在Rt?AOM中,cos?AMO= ? ? AM 3 3 a 2
16. 证明: (1)连结 AC 1 1 1 1 ,设 AC 连结 AO1 ,

B1D1 ? O1

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

? AC 1 1 // AC 且 AC 1 1 ? AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,?O1C1 // AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O // AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1

? C1O // 面 AB1D1
(2)

CC1 ? 面 A1B1C1D1

?CC1 ? B1D!

5



AC 1 1 ?B 1D 1, ?B 1D 1 ? 面AC 1 1C 即AC ? B1D1 1

同理可证 AC ? AB1 , 1 又 D1B1

AB1 ? B1

? 面 AB1D1 ? AC 1
17. 17. 证明: (1)AE ? 平面 PAB,由(1)知 AE⊥BC AE⊥PB

? AE⊥平面 PBC.

PB∩BC=B
(2)PC ? 平面 PBC,由(2)知 PC⊥AE

PC⊥AF AE∩AF=A

? PC⊥平面 AEF.

18. 18. (1)证明:∵A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,
A'

E G B F H

D

∴A′D⊥平面 A′EF.∴A′D⊥EF. (2)解:取 EF 的中点 G,连结 A′G、DG. ∵BE=BF=1,∠EBF=90°,∴EF= 2 . 又∵A′E=A′F=1,

2 . 2 ∵A′G⊥EF,A′D⊥EF,A′G∩A′D=A′, ∴EF⊥平面 A′DG. ∴平面 DEF⊥平面 A′DG. 作 A′H⊥DG 于 H,得 A′H⊥平面 DEF, ∴∠A′DG 为 A′D 与平面 DEF 所成的角.
∴∠EA′F=90°,A′G⊥EF,得 A′G= 在 Rt△A′DG 中,A′G= ∴∠A′DG=arctan

2 ,A′D=2, 2

2 . 4 (3)解:∵A′D⊥平面 A′EF, ∴A′D 是三棱锥 D—A′EF 的高.
又由 BE=1,BF=

5 1 推出 EF= , 2 2
6

5 , 4 5 5 1 1 VA′-EFD=VD-A′EF= ·S ?A?EF ·A′D= · ·2= . 4 6 3 3
可得 S ?A?EF = 19. 分析:对问题(1) ,关键是证明 AF 与平面 PEC 内的一条直线平行,为此可取 PC 的中点 G,论证 AF∥EG;对问题(2) ,可转化为证明线面垂直;对问题(3) ,可转化为求点 F 到平面 PEC 的距离,进而可以充分运用(2)的结论. (1)证明:取 PC 的中点 G,连结 EG、FG.

1 1 CD.而 AE∥CD 且 AE= CD,∴EA∥GF 且 EA=GF,故 2 2 四边形 EGFA 是平行四边形,从而 EG∥AF.又 AF ? 平面 PEC,EG ? 平面 PEC,∴AF∥平面 PEC. (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴AD 是 PD 在平面 ABCD 上的射影.又 CD⊥AD,∴CD⊥ PD,∠PDA 就是二面角 P—CD—B 的平面角.∴∠ADP=45°,则 AF⊥PD. 又 AF⊥CD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD. 由(1) ,EG∥AF,∴EG⊥平面 PCD, 而 EG ? 平面 PEC,∴平面 PEC⊥平面 PCD. (3)解:过 F 作 FH⊥PC 交 PC 于点 H,又平面 PEC⊥平面 PCD,则 FH⊥平面 PEC,∴FH 为点 F 到平面 PEC 的距离,而 AF∥平面 PEC,故 FH 等于点 A 到平面 PEC 的距离. 在△PFH 与△PCD 中, ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC 为公共角, FH PF ∴△PFH∽△PCD, = . CD PC 2 ∵AD=2,CD=2 2 ,PF= 2 ,PC= CD2 ? PD 2 =4,∴FH= ·2 2 =1. 4 ∴点 A 到平面 PEC 的距离为 1.
∵F 是 PD 的中点,∴FG∥CD 且 FG=

7