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函数中任意性与存在性问题


函数中的任意性和存在性问题
阳新高中 徐忠星

a ?1 (10山东21改编)已知函数f ( x) ? ax ? ln x ? ?1 x (1)若0 ? a ? 1,讨论f ( x)的单调性; 1 2 1 5 1 (2)设g ( x) ? x ? ax ? ? 2a,若对?a ? [ ,1], 3 2 6 2 ?x1 , x2 ? [1, m](m

? 1), 不等式f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立, 求实数m的取值范围.
变式1:?x1 ?[1, m], ?x2 ?[1, m](m ? 1), 不等式f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立 变式2:?x1 ?[1, m], ?x2 ?[1, m](m ? 1), 不等式f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立 变式3:?x1 ?[1, m], ?x2 ?[1, m](m ? 1), 不等式f ( x1 ) ? g ( x2 )恒成立
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2013高考中的热度
全国I 全国II 全国大纲 山东 北京 天津 辽宁 湖北 重庆
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理11,21,24 文12,24 理21 文12 理9 ,22 文11 理21 文21 理18 理20 理21 文21 理10 文10 理16

例 ( 1 13湖北10)已知a为常数,函数f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点x1 , x2 ( x1 ? x2 ),则 1 A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2 1 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2 1 B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2 1 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2

分析:f '( x) ? ln x ? (2ax ? 1) ? 0有x1 , x2两根 条件等价于?x1 , x2 ? (0, ??), 使得 ln x ? 2ax ? 1.
? y ? ln x与y ? 2ax ? 1 图象有两交点.
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解析:由分析,直线y ? 2ax ? 1在y ? ?1与y ? ln x 在(1, 0)处的切线之间, ? 0 ? 2a ? 1 1 ? a ? (0, ) 2

由图易知,x1 ? 1 ? x2且在( x1 , x2 )上, f '( x) ? ln x ? (2ax ?1) ? 0, f ( x)单调递增,y

? f ( x1 ) ? () f 1 ? f ( x2 ), f (1) ? 1? (0 ? a) ? ?a, 即f ( x1 ) ? ?a ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?a ? 0, 1 f ( x2 ) ? ?a ? ? . 2
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x2
O
?1

1

x1

x

数形结合法
?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 例( 2 13全国卷I 11)已知函数f ( x) ? ? ? ln( x ? 1), x ? 0. 若 | f ( x) |? ax, 则a的取值范围是( ) A.(??, 0] B.(??,1] C.[?2,1] D.[?2, 0]

分析:直线始终在 | f ( x) | 的图象下方, 除原点再无交点.

解析:由分析可知,直线y ? ax

在x轴与 | f ( x) |? x 2 ? 2 x( x ? 0)图象 在原点处的切线之间,f '(0) ? ?2,

? 斜率 ? 2 ? a ? 0.
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方法反思: 数形结合法: 若把等式或不等式进行合理 的变形后,能非常容易地画出等号或不等 号两边函数的图象,则可以通过画图直接 判断得出结果。尤其对于选择题、填空题 这种方法更显方便、快捷。

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分离参数法
2

1 1 例( 3 13全国大纲理9)若函数f ( x) ? x ? ax ? 在( , ??)是增函数, x 2 则a的取值范围是( ) A.[?1, 0] B.[?1, ??) C.[0,3] D.[3, ??)
解析:由分析知,条件等价于 分析:问题等价于
33 2 1 1 ? 2 x 1 2 x ? ax 对?x ? ( , ??),a ? ( ) max ? 1 2 对?x ? ( 2 , ??),f '( x) ? x ? 0恒成立. 2 2 x 2 3 1? 2x ?2 x 3( x ? 1) 令g ( x) ? 1 2 , 则g '( x)1 ? ? 2x 4 x ? 对?x ? ( x , ??),a ? 恒成立. 2 x g(x 显然,当x 2 ? 0时, g '( x) ? 0, 3 )单调递减.

1 1? 2x 1 1 2 ) max . ? 对 ? x ? ( , ?? ) , a ? ( ?当x ? 时 ,g ( x) max ? g ( ) x ? 3 ? a. 2 2 2
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方法反思:

分离参数法: 利用分离参数法来确定不等 ? 式 f ? x, ? ? ? 0 ,( x ? D ,为实参数)任意 性和存在性问题中参数 ? 的取值范围。

适用题型:(1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。

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主参换位法
a 3 3 2 例( 4 08安徽文20)已知函数f ( x) ? x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 3 2 其中a为实数。 (2)已知不等式f '( x) ? x 2 ? x ? a ? 1对任意a ? (0, ??)都成立, 求实数x的取值范围.(节选)

分析 (a2?? 1) ?(2 ? 2a 0对 ? aa ?? (0, ?? 都成立, 解析: :问题等价于 由题设知,ax 3x x2 ? ax? 1) ?? x2 ?x ? 1对 ?)a ? (0, ??)
2 如果把 x 当做参数会怎样呢? 都成立,即(a ? 1) x ? 2 x ? 2a ? 0对?a ? (0, ??)都成立。

设g (a) ? ( x ? 2)a ? x ? 2 x, 则g (a)在(0, ??)上单调递增。
2 2

所以对?a ? (0, ??),g (a) ? 0恒成立等价于 g (a)min ? g (0) ? ? x 2 ? 2 x ? 0 解得:x ? [?2, 0].
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方法反思: 主参换位法:某些含参不等式恒成立问题,在 分离参数会遇到讨论的麻烦或容易分离,但函 数的最值却难求可考虑变换思维角度。即把主 元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会 取得出奇制胜的效果。

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构造函数法
例5(13全国I 21)设函数f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2,g ( x) ? e x (2 x ? 2). (2)若x ? ?2时,f ( x) ? kg ( x),求k的取值范围.(节选)
解析:令F ( x) ? f ( x) ? kg ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? ke x (2 x ? 2), ( x ? R),
max

分析:参数 k(易分离,但是分离之后得到的 由题知,对?x ? ?2, ??), F ( x) ? 0恒成立。
F '( x) ? 2( x ? 2)(1 ? ke x ), ( x ? R ) 新函数最值很难求出。而

2)若k ? 0, 令F '( x) ? 2( x ? 2)(1 ? ke ) ? 0, 解得:x ? ?2或 ? ln k; 2 的单调性可由导数分析得出。 I k ? e2 , 不符题意;II 1 ? k ? e ,符合题意; 2 2 I若 ?2 ? ln k,即 kk ?? e, II若 ?? 22 ? ? ln k,即 e, III k ? F e '( ,对 ? xx ? [? 2, ?? ] x ) ? 0在x ? [?2, ??]上成立. 由此,问题可转化为 : 此时, x ) ? 2( ? 2)(1 ? ke 此时,在[?2, ??)上,F ( x)有唯一的极大值点 ? ln k ; x?2 ?2 F '( x ) ? 2( x ? 2)(1 ? e ) ? 0, F (恒成立。 x . 2 )在该区间单调递减 对 ? x ? ( ? 2, ?? ), F ( x ) ? 0 在 [ ? 2, ?? ) 上 , F ( x ) ? F ( ? 2) ? 2( ke ? 1) ? 0, 不符 . ? F ( x) max ? F (? lnmax k ) ? max (ln k ? 1) ? 1 ? 0, ? F ( x) max ? F ( 2?2) ? 0 ? 2 0, 符合题意 2 . 解得: 1 ? k ? e , 又k ? e , ?1 ? k ? e . 13:45:06 综上,k ? [1, e2 ].

F ( x) ? f ( x) ? kg ( x) ? x ? x 4 x ? 2 ? e (2 x ? 2)

0 1)若k ? 0, F (0) ? 2(1 ? kex ) ? 0与题不符 . F (0) ? 2(1 ? ke ) ? 0 ? k ? 1. 2 x

方法反思: 构造函数法:某些任意性存在性问题,需要解决 函数的最值或值域,而没有简便快捷方法时,我 们可以尝试构造新函数,结合导数分析法,最值 定位法,探究函数性质,最终解决问题。

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任意性存在性 问题转化归纳

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1.不同函数,不同变量

(1)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g ( x2 )成立
? f ( x1 )max ? g ( x2 )min

(2)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g ( x2 )成立 ? f ( x1 )min ? g ( x2 )min (3)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g ( x2 )成立 ? f ( x1 )min ? g ( x2 )max (4)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g ( x2 )成立

? f ( x1 )max ? g ( x2 )max
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2.不同函数,相同变量

(1)?x ? A, f ( x) ? g ( x)成立

? [ f ( x) ? g ( x)]max ? 0 ? [ g ( x) ? f ( x)]min ? 0
(2)?x ? A, f ( x) ? g ( x)成立

? [ f ( x) ? g ( x)]min ? 0 ? [ g ( x) ? f ( x)]max ? 0

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3.相同函数,不同变量

?x1 , x2 ? A,| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M 成立
? f ( x)max ? f ( x)min ? M

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4. 不同函数,相等关系

(1)?x ? A, f ( x) ? g ( x) ? y ? f ( x) ? g ( x)有零点

(2)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g( x2 )成立
? { f ( x) | x ? A} ? {g ( x) | x ? B}

(3)?x1 ? A, ?x2 ? B, f ( x1) ? g ( x2 )成立
? { f ( x) | x ? A} ?{g ( x) | x ? B} ? ?

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任意性存在性问题分类总结:

1.不同函数,不同变量(分别考虑) 2.不同函数,相同变量(构造函数) 3.相同函数,不同变量(考查最值差)

4.不同函数,相等关系(考查值域)

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过程与思想方法
隐性问题
转化化归思想

显性问题
数形结合思想

主参换位法
分离参数法

数形结合法

研究最值
主参换位法 分类讨论思想 分离参数法 导数分析法

构造函数法 导数分析法

利用函数图象

求新函数的最值

求原函数的最值

结束

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走近高考
练习1: (07安徽理科3)若对任意x ? R, 不等式|x |? ax恒成立, 则实数a的取值范围是( A.a ? ?1 B. | a |? 1 ) C. | a |? 1
x

D.a ? 1

练习( 2 13全国II文12)若存在正数x使2 ( x ? a) ? 1成立, 则a的取值范围是( ) A.(??, ??) B.(?2, ??) C.(0, ??) D.(?1, ??)

练习 ( 3 07辽宁文22)已知函数f ( x) ? x3 ? 9 x 2 cos ? ? 48 x cos ? ? 18sin 2 ?, g ( x) ? f '( x), 且对任意的实数t均有g (1 ? cos t ) ? 0, g (3 ? sin t ) ? 0. (1)求函数f ( x)的解析式; (2)若对任意的m ? [?26,6],恒有f ( x) ? x 2 ? mx ? 11,求x的取值范围.
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函数中的任意性与存在性问题

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