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河北省“五个一名校联盟”2017届高三教学质量监测(二)数学(理)试题 Word版含答案

时间:2017-02-14


河北省“五个一名校联盟”2017 届高三教学质量监测(二) 理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项符合题目要求 (1)已知 i 是虚数单位,若 z (1 ? i ) ? 1 ? 3i ,则 z= (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ?1 ? i (D) ?1 ? i ( 2 )已知全集 U ={1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A ={1,3,7} , B ={ x x ? log2 (a ? 1) , a ? A } ,则 ( CU A )∩( CU B )= (A){1,3} (B) {5,6} (C){4,5,6} (D){4,5,6,7} (3)已知命题 p, q 是简单命题,则“ ? p 是假命题”是“ p ? q 是真命题”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 (4)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为

3 5 (C) 2 (D) 2 4 ?x ? y ?1 ? 0 ? (8)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
(A) (B) (A) ?12 (B) ?1 (C)0 (D)

7 4

3 2

(9)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九 章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 x 的值为2,则输出v的值为 (A) 210 ? 1 (B) 210 (C) 310 ? 1 (D) 310 (10)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体的体积为 (A)

2 3

(B)

4 3

(C)

8 3

(D) 4

1 1 ,两次闭合后都出现红灯的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭 2 5
合后出现红灯的概率为 (A)

( 5 )已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与

1 10

(B)

1 5

(C)

2 5

(D)

x 轴正半轴重合,终边在直线 y ? 3x 上,则

1 2

4?3 3 4?3 3 (D) ? 10 10 ?log3 ?x ? 1? x ? 0 (6)设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ?x ? ? ? ,则 g ? ? f ? ?8 ? ? ?= x?0 ? g ?x ?
(B) ? (C)

)? 3 3? 4 3 (A) 10

sin(2? ?

?

(11)已知椭圆 C :

3? 4 3 10

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A、B , F 为椭圆 C 的右焦点,圆 4 3 k x2 ? y 2 ? 4 上有一动点 P , P 不同于 A, B 两点,直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q ,则 PB kQF
3 3 4 4 (C) (??, ?1) ? (0,1)
x

的取值范围是 (A) ( ??, ? ) ? (0, ) (B) (??, 0) ? (0, )

? (7)函数 f ? x? ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移 个单位得到函数 y ? g ? x? 的图像,并且 12 ?? ? ? ?? ? ? 函数 g ? x ? 在区间 ? , ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则实数 ? 的值为 ?6 3? ?3 2?

(A)-2

(B)-1

(C)1

(D)2

3 4 (D) (??, 0) ? (0,1)

(12)若关于 x 的不等式 xe ? 2ax ? a ? 0 的非空解集中无整数解,则实数 a 的取值范围是 (A) [

2 1 , ) 5e2 3e

(B) [

1 1 e , ) (C) [ , e] 3e 3e 4e

(D) [

e , e] 4e

高三理科数学第 1 页(共 4 页)

高三理科数学第 2 页(共 4 页)

如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形 BFED 是 以 BD 为直角腰的直角梯形,DE= 2BF=2,平面 BFED⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证: AD⊥平面 BFED;

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

E

(Ⅱ)在线段 EF 上是否存在一点 P,使得平面 PAB 与平面 ADE 5 7 所成的锐二面角的余弦值为 .若存在,求出点 P 的位置; 28 若不存在,说明理由. (20) (本小题满分 12 分) x2 y2 3 已知椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,P(-2,1)是 C1 上一点. a b 2
A B D C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 2 1 (13)已知正实数 x,y 满足 2x+y=2,则 + 的最小值为_________. x y (14)已知点 A(1,0) , B(1, 3 ) ,点 C 在第二象限,且∠AOC=150°,→ OC =-4→ OA +λ→ OB ,则 λ=_________. (15)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y ? x 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转 一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V
圆锥

P F

? ? ? x 2 dx ?
0

1

?
3

x3 ?
0

1

?
3

. 据此类比:将曲线

( 16 )已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? n2 ? 2n , bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,则实数 t 的取值范围是__________.
*

y ? 2ln x 与直线 y ? 1 及 x 轴、 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该 旋转体的体积 V ? ________.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A、B、Q 是点 P 分别关于 x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于 AB 的直线 l 与 C1 相 交于不同于 P、Q 的两点 C、D,点 C 关于原点的对称点为 E. 证明:直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形. (21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f (x)=alnx+ x2-ax (a 为常数). 2 (Ⅰ)试讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若 f (x)有两个极值点分别为 x1,x2.不等式 f (x1)+f (x2) <λ(x1+x2)恒成立,求 λ 的最小值. 请考生在第(22) , (23)二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x= 5 cos α, 在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数) .以坐标原点 O 为 ?y=sin α π 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos ( θ+ )= 2.l 与 C 交 4 于 A、B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P(0,-2),求|PA|+|PB|的值. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-m|≥2m 的解集为 R. (Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=m, 求 4a2+9b2+c2 的最小值及此时 a,b,c 的 值.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23)题为选考题.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2acosC-c=2b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 c= 2,角 B 的平分线 BD= 3 ,求 a. (18) (本小题满分 12 分) 空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按 照 AQI 大小分为六级:0~50 为优;51~100 为良;101~150 为轻度污染;151~200 为中 度污染;201~300 为重度污染;>300 为严重污染. 一环保人士记录去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如下. (Ⅰ)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数;(按这个 月总共 30 天计算) (Ⅱ)将频率视为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ξ, 求 ξ 的概率分布列和数学期望.

(19) (本小题满分 12 分)
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?4 分

河北省“五个一名校联盟”2017 届高三教学质量监测(二) 理科数学参考答案
一、选择题: ACAC ABCC DBDB 二、填空题: 9 (13) 2 (14)1 (15) (16) 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)2acosC-c=2b, 由正弦定理得 2sinAcosC-sinC=2sinB, ?2 分 2sinAcosC-sinC=2sin(A+C) =2sinAcosC+2cosAsinC, ∴-sinC=2cosAsinC, 1 ∵sinC≠0,∴cosA=- 2 , 2π 而 A∈(0, π),∴A= 3 . AB BD (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理得,sin∠ADB=sinA ABsinA 2 ∴ sin∠ADB= BD = 2 , π ∴ ∠ADB=4, ?9 分 π ?6 分

3 (Ⅱ)由(Ⅰ)估计某天空气质量优良的概率为5,

ξ的所有可能取值为 0,1,2,3.
2 8 P(ξ=0)=5=125, 132 36 P(ξ=1)=C355=125, 232 54 P(ξ=2)=C355=125, 3 27 P(ξ=3)=5=125, 故 ξ 的分布列为: ξ P 0 8 125 1 36 125 2 54 125 3 27 125 ?12 分 ?8 分

3 3 显然 ξ~B5,Eξ=3×5=1.8.

∴∠ABC=6,∠ACB=6,AC=AB=
由余弦定理, BC=-× =. ?12 分

π

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2,空气质量良的天数为 4,故该样本 6 3 中空气质量优良的频率为10=5, ?2 分

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°, ∴故 AB=2, 2 ∴BD =AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=3, 2 ∴ AB =AD2+BD2 ∴BD⊥AD, ∵平面 BFED⊥平面 ABCD, 平面 BFED∩平面 ABCD=BD, ∴ AD⊥平面 BFED. ?5 分 (Ⅱ)∵AD⊥平面 BFED∴AD⊥DE, 以 D 为原点,分别以 DA,DE,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, ,0),E(0,0,2),F(0, ,1) EF AB AE → =(0,,-1), → =(-1,,0), → =(-1,0,2)

3 3 估计该月空气质量优良的频率为5,从而估计该月空气质量优良的天数为 30×5=18.

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EP EF 设 → =λ → =(0,λ,-λ) (0≤λ≤1), AP AE EF 则 → = → +λ → =(-1,λ,2-λ) 取平面 EAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), 设平面 PAB 的一个法向量为 m=(x,y,z), AB AP 由 → ·m=0, → ·m=0 得: 3y=0, z=0, 令 y=2-λ ,得 m=(2-λ,2-λ,-λ), ?9 分 ∵ 二面角 A-PD-C 为锐二面角, | m· n| 7 ∴ cosá m,n? = |m||n| =28, 1 解得 λ= 3 ,即 P 为线段 EF 靠近点 E 的三等分点. (20) (本小题满分 12 分) 解: 1 a2=8, (Ⅰ)由题意可得=1,解得b2=2. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 2 =1. ?5 分 (Ⅱ)由题设可知 A (-2,-1)、 B(2, 1) 1 1 因此直线 l 的斜率为2,设直线 l 的方程为:y=2x+t. 1 y2 由2=1,得 x2+2tx+2t2-4=0. (Δ >0) 设 C (x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-2t,x1·x2=2t2-4 y2-1 -y1-1 ∴kPD+kPE=x2+2+ -x1+2 y1+1 =2-x1 而(y2-1)(2-x1) -(2+x2) (y1+1) =2(y2-y1)-(x1 y2+x2y1)+x1-x2-4 =x2-x1-x1·x2-t (x1+x2) +x1-x2-4 ?7 分 ?12 分 ?7 分

=-x1·x2-t (x1+x2)-4 =-2t2+4+2t2-4 =0 即直线 PD、PE 与 y 轴围成一个等腰三角形. (21) (本小题满分 12 分) 解: a x2-ax+a (Ⅰ)f′(x)=x+x-a= x (x>0),

?12 分

①当 a<0 时,解 f′(x)=0 得,x=, f(x)的单调减区间为(0,,单调增区间为(,+∞); ?2 分 2 2 ②当 0≤a≤4 时,x -ax+a=0 的 Δ=a -4a≤0,所以 f′(x)≥0,f(x)的增区间为(0,+∞),无减 区间; ?4 分 2 ③当 a>4 时,Δ=a -4a>0,解 f′(x)=0 得,x1,2=, f(x)的单调增区间为(0,, (,+∞),单调减区间为(,). ?6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)有两个极值点时,设为 x1,x2, 则 a>4,x1+x2=a ,x1x2=a 1 2 1 2 故 f(x1)+f(x2)=alnx1+2x1-a x1+alnx2+2x2-ax2 1 2 2 =aln(x1x2)+2(x1+x2)-a(x1+x2) 1 1 2 =aln(x1x2)+2 (x1+x2) -x1x2-a(x1+x2)=aa-1 x2 1 于是 x1+x2=lna-2a-1,a∈. 1 1 1 令 φ(a)=lna-2a-1,则 φ′(a)=a-2. 因为 a>4,所以 φ′(a) <0. 1 于是 φ(a)=lna-2a-1 在上单调递减. x2 因此 x1+x2=φ(a) <φ(4)=ln4-3. x2 且 x1+x2可无限接近 ln4-3. ?9 分

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x2 又因为 x1+x2>0,故不等式 f (x1)+f (x2) <λ(x1+x2)等价于 x1+x2<λ. 所以 λ 的最小值为 ln4-3. ?12 分

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: x2 (Ⅰ)C: 5 +y2=1;l:y=x-2. 4分 (Ⅱ)点 P(0,-2)在 l 上,l 的参数方程为 2 (t 为参数) x2 代入 5 +y2=1 整理得,3t2-10t+15=0, ?7 分 2 由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3 ?10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)因为|x-3|+|x-m|≥|(x-3)-(x-m)|=|m-3| ?2 分 当 3≤x≤m,或 m≤x≤3 时取等号, 令|m-3|≥2m,所以 m-3≥2m,或 m-3≤-2m. 解得 m≤-3,或 m≤1 ∴m 的最大值为 1 ?5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=1. 1 1 2 由柯西不等式,( 4 + 9 +1)( 4a2+9b2+c2)≥(a+b+c) =1, ?7 分 36 ∴4a2+9b2+c2≥ 49 ,等号当且仅当 4a=9b=c,且 a+b+c=1 时成立. 9 4 36 36 即当且仅当 a=49,b=49,c= 49 时,4a2+9b2+c2 的最小值为 49 . ?10 分

?

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