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2017届高三数学一轮总复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系课时跟踪检测理

时间:2017-03-13


课时跟踪检测(四十二)

空间点、直线、平面之间的位置关系

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(2016·扬州中学检测)下列命题中正确的是________(填序号). ①空间四点中有三点共线,则此四点必共面; ②三个平面两两相交的三条交线必共点; ③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④平面 α 和平面 β 可能只有一个交点. 解析:由公理及推论,可得①正确,②③④错误. 答案:① 2.(2016·南京外国语学校)已知 α ,β 为两个不重合的平面,A,B,M,N 为相异四 点,a 为直线,则下列推理错误的是________(填序号). ①A∈a,A∈β ,B∈a,B∈β ? a? β ; ②M∈α ,M∈β ,N∈α ,N∈β ? α ∩β =MN; ③A∈α ,A∈β ? α ∩β =A. 解析:由公理及推论,可得①②推理正确.因为 A∈α ,A∈β ,所以 A∈α ∩β ,由公 理知 α ∩β 为经过点 A 的一条直线而不是一个点 A,所以③推理错误. 答案:③ 3.(2016·海门中学月考 )如图,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,底面

ABCD 为正方形,E,F 分别是棱 A1A,C1C 的中点.若∠BFC=60°,则∠ ED1D=________.
解析:取 BB1 的中点 G,连结 C1G,EG,因为 E 是棱 A1A 的中点,G 是棱 B1B 的中点,所以 A1B1 綊 EG.又 A1B1 綊 C1D1,所以

EG 綊 C1D1, 所以四边形 EGC1D1 是平行四边形, 所以 D1E 綊 C1G.又 BG 綊 C1F,
所以四边形 BGC1F 是平行四边形,所以 C1G∥FB,所以 D1E∥FB.又 D1D∥FC,∠

ED1D 与∠BFC 的两边方向相同,所以由等角定理,
可得∠ED1D=∠BFC=60°. 答案:60° 4.如图, 平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有 ________条. 解析:依题意,与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1 平 行有棱 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1.故符合条件的 有 5 条. 答案:5

1

5.(2016·江苏四星级高中联考)在正四棱锥 V?ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1, 侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为________. 解析:如图,设 AC∩BD=O,连结 VO,因为四棱锥 V?ABCD 是正四棱锥, 所以 VO⊥平面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC,又

VO∩AC=O,所以 BD⊥平面 VAC,所以 BD⊥VA,即异面直线 VA 与 BD 所成角
π 的大小为 . 2 π 答案: 2 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1. 空间四边形的两条对角线互相垂直, 顺次连结四边中点的四边形一定是________(填 序号). ①矩形;②菱形;③正方形;④直角梯形. 解析: 顺次连结空间四边形四边中点的四边形是平行四边形, 又因为空间四边形的两条 对角线互相垂直, 所以平行四边形的两邻边互相垂直, 故顺次连结四边中点的四边形一定是 矩形. 答案:① 2.(2016·金陵中学检测)若 a,b 是空间的两条直线且 a? α ,b? β ,α ∩β =l,则

a 与 b 的位置关系为________.
解析:如图,b1,b2? β ,a1,a2? α ,且 a2 与 b2 相交,b1∥a1,a2 与 b1 异面,结合图形 (如图所示),可知 a 与 b 的位置关系是平行或相交或异面.

答案:平行或相交或异面 3.(2016·金陵中学检测)已知命题 p:a,b 为异面直线,命题 q:直线 a,b 不相交, 则 p 是 q 的____________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又 不必要”) 解析:若直线 a,b 不相交,则 a,b 平行或异面,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要 4.给出下列四个说法,其中正确的是________(填序号). ①空间中两条不相交的直线一定平行; ②梯形可以确定一个平面; ③若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交;

2

④空间四条直线 a,b,c,d,如果 a∥b,c∥d,且 a∥d,那么 b∥c. 解析:在空间中不相交的两条直线可能平行,也可能异面,①错误;②正确;③错误, 因为它也可能与另一条直线异面;由公理 4,知④正确. 答案:②④ 5.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 α ,b? 平面 β ,α ∩β =c. ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b,则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α ⊥β . 其中正确的命题的个数是________. 解析:①中若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交.若 c 与 a,b 都不相 交,则 c∥a,c∥b,则 a∥b,与 a,b 异面矛盾,故①正确;②中平面 α ⊥平面 β 时,若

b⊥c,则 b⊥平面 α ,此时不论 a,c 是否垂直,均有 a⊥b,故②错误;③中当 a∥b 时,
则 a∥平面 β ,由线面平行的性质定理可得 a∥c,故③正确;④中若 b∥c,则 a⊥b,a⊥c 时,a 与平面 β 不一定垂直,此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直,故④错误,所以正确 命题的个数是 2. 答案:2 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中 互为异面直线的对数为________对.

解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方 体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,

CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对.
答案:3 7.设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a? 平面 α ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 解析:由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故②错;
3

当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a? α ,b? β ,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④错. 答案:① 8.(2014·淮安模拟)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2 是两条侧 面对角线,则在正方体中,l1 与 l2 的夹角为________. 解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 π 与 l2 相交,连结 AD,则△ABD 为正三角形,所以 l1 与 l2 的夹角为 . 3

π 答案: 3 9.(2016·启东中学检测)如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,

F 分别为 D1C1,B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
(1)求证:D,B,F,E 四点共面; (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置. 解:(1)证明:法一:如图,连结 DE,BF. 由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行, 故直线 CC1 与 BF 必相交, 设交点为 O,则 OC1=C1C. 同理,直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′,则 O′C1=C1C, 故 O′与 O 重合. 由此得 DE∩BF=O,故 D,B,F,E 四点共面(设为 α ). 法二:连结 B1D1,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,B1D1∥BD. 又∵E,F 分别为 C1D1,C1B1 的中点, ∴EF∥B1D1,∴EF∥BD,即 D,B,F,E 四点共面(设为 α ). (2)连结 PQ,A1C. 由于 AA1∥CC1,所以 A1,A,C,C1 四点共面(设为 β ). 又 P∈BD,BD? α ,故 P∈α . 又 P∈AC,AC? β ,所以 P∈β ,所以 P∈α ∩β , 同理可证得 Q∈α ∩β ,所以 α ∩β =PQ. 又 A1C? β ,所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点,则 A1C 与 PQ 的交点就是

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所求的交点 R. 10.(2016·南京一中检测)如图, E, F 分别是长方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱 A1A,C1C 的中点.求证:四边形 B1EDF 是平行四边形. 证明:设 Q 是 DD1 的中点,连结 EQ,QC1,如图. 因为 E 是 AA1 的中点,Q 是 DD1 的中点,所以 EQ 綊 A1D1. 又 A1D1 綊 B1C1,所以 EQ 綊 B1C1, 所以四边形 EQC1B1 为平行四边形,所以 B1E 綊 C1Q. 又 Q,F 分别是 D1D,C1C 的中点, 所以 QD 綊 C1F, 所以四边形 DQC1F 为平行四边形,所以 C1Q 綊 DF. 故 B1E 綊 DF,所以四边形 B1EDF 是平行四边形. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,

EF,

EC 的中点,在这个正四面体中,
①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 解析:还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 答案:②③④ 2.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是________. ①若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面; ②若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线; ③若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; ④若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC. 解析:①中,若 AC 与 BD 共面,则 A,B,C,D 四点共面,则 AD 与 BC 共面;②中,若

AC 与 BD 是异面直线,则 A,B,C,D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面直线;③中,若 AB= AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC;④中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC.
答案:③ 3.如图所示,正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点,问:

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(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 解:(1)不是异面直线.理由如下: 连结 MN,A1C1,AC. 因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点, 所以 MN∥A1C1. 又因为 A1A∥C1C,A1A=C1C, 所以 A1ACC1 为平行四边形, 所以 A1C1∥AC, 所以 MN∥AC, 所以 A,M,N,C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: 因为 ABCD?A1B1C1D1 是正方体, 所以 B,C,C1,D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α ,使 D1B? 平面 α ,CC1? 平面 α , 所以 D1,B,C,C1∈α ,与 B,C,C1,D1 不共面矛盾. 所以假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.

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