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解三角形专题练习


解三角形
知识回顾 1、正弦定理: 2、三角形面积公式: 4、余弦定理: 5、 A ? B ? C ? ? 6、三角形形状的判定 余弦定理的变形公式: 正弦定理的变形公式:

例题讲解 1.设△ABC 中, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 C. 钝角三角形 D. 不确定 1 2.在 ?ABC ,

a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3 3.△ ABC 中,asinAsinB+bcos2A= 2a ,则 A. 2 3 B. 2 2 C. 3
b ? a

A. 锐角三角形B. 直角三角形

D. 2

4.在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 sin A ? _______, a ? ______.

5.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a 2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c 2 ? 0 ,则 cosC=_______________ 6.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

7.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C . (1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 1, cos B ? cosC ?
2 3 ,求边 c 的值. 3

8.△ ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

9.在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小;

? (II)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4

作业: 1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则
a ? 。 b 1 2. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ? ,求 B. 3

解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (II)由(I)知 B ?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

解: (1)由 3a cos A ? c cos B ? b cos C 正弦定理得:

1 3s i n Ac o s A?sin Cc o s B?s i n Bc o C s ? s i nB ( ? C ) 及: 3 sin A cos A ? sin A 所以 cos A ? 。 3
(2)由 cos B ? cosC ?

2 3 2 3 , cos(? ? A ? C ) ? cosC ? 展开易得: 3 3

coC s ? 2si n C ? 3 ?sin C?
如图,在 ?ABC 中, ?B ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

6 a c 3 ? ?c? , 正弦定理: sin A sin C 2 3
1 7

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ?

I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ? 所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B)

1 4 3 ,所以 sin ?ADC ? 。 7 7

? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得
3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7

在 ?ABC 中,由余弦定理得
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B
? 82 ? 5 2 ? 2 ? 8 ? 5 ? 1 ? 49 2

所以 AC ? 7
解: (1)由 3a cos A ? c cos B ? b cos C 正弦定理得:

1 3s i n Ac o s A?sin Cc o s B?s i n Bc o C s ? s i nB ( ? C ) 及: 3 sin A cos A ? sin A 所以 cos A ? 。 3
(2)由 cos B ? cosC ?

2 3 2 3 , cos(? ? A ? C ) ? cosC ? 展开易得: 3 3

coC s ? 2si n C ? 3 ?sin C?

6 a c 3 , 正弦定理: ? ?c? sin A sin C 2 3


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