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【智慧测评】2015高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习滚动检测6]

时间:2015-04-02


滚动检测(六)
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1.(2014 延庆县一模)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m 等于( A.0 或 3 C.1 或 3 解析:由题意 A∪B=A, 即 B?A, 又 A={1,3, m},B={1,m}, ∴m=3 或 m= m, 解得 m=3 或 m=0 或 m=1, 验证知,m=1 不满足集

合的互异性, 故 m=0 或 m=3 即为所求. 故选 B. 答案:B 1 1 2.(2014 南充三模)复数 + 的化简结果为( i-2 1-2i 1 A. +i 5 1 2 C.- + i 5 5 解析:复数 = 1 1 + i-2 1-2i 1 1 B.- + i 5 5 1 D.1- i 5 ) B.0 或 3 D.1 或 3 )

-2-i 1+2i + ?-2+i??-2-i? ?1-2i??1+2i?

2 i 1 2 1 1 =- - + + i=- + i. 5 5 5 5 5 5 故选 B. 答案:B 3.(2014 唐山二模)a,b 是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.30° C.120° B.60° D.150°

解析:设 a,b 的夹角为 θ,0° ≤θ≤180° , 则由题意可得(a+b)· a=0, 即 a2+a· b=1+1×2×cos θ=0,

1 解得 cos θ=- , 2 ∴θ=120° . 故选 C. 答案:C x+y-1≤0, ? ? 4.(2014 枣庄二模)已知实数 x,y 满足?x-y≤0, ? ?x≥0 1 A. 2 C.-1 解析:先根据约束条件画出可行域, 目标函数 z=2x-y, 1 1 z 在点 A , 处取得最大值, 2 2 1 1 1 可得 zmax=2× - = , 2 2 2 1 故最大值为 . 2 故选 A. 答案:A 5.(2014 济南二模)空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为( ) B.0 1 D.- 2

则 2x-y 的最大值为(

)

解析:由题中三视图的上部分是三棱锥,满足条件的正视图的选项是 A 与 D,由侧视 图可知,选项 D 不正确,故选 A. 答案:A 6.(2013 年高考辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于 60 分的人数是 15,则该班 的学生人数是( )

A.45 C.55

B.50 D.60

解析:根据频率分布直方图的特点可知,低于 60 分的频率是(0.005+0.01)×20=0.3, 15 所以该班的学生人数是 =50. 0.3 故选 B. 答案:B 2 ?5 2 7.(2013 年高考江西卷)? ?x -x3? 展开式中的常数项为( A.80 C.40 B.-80 D.-40 )

2 ?5 2 解析:设? ?x -x3? 展开式中的通项为 Tr+1, 则 Tr+1=Cr x2(5 5· =(-2)r· Cr x10 5·
-r)

· (-2)r· x

-3r

-5r



令 10-5r=0 得 r=2, 2 ?5 2 2 2 ∴? ?x -x3? 展开式中的常数项为(-2) ×C5=4×10=40.故选 C. 答案:C

y≤x, ? ? 1 8.(2014 潍坊一模)在约束条件?y≥2x, ?x+y≤1 ? 1 A. 4 5 C. 6 y≤x, ? ? 1 解析:作出不等式组?y≥2x, ? ?x+y≤1 得到如图的△ABO 及其内部, 2 1? ?1 1? 其中 A? ?3,3?,B?2,2?,O(0,0), 1 设 z=x+ y, 2 1 将直线 l:z=x+ y 进行平移, 2

1 下,目标函数 z=x+ y 的最大值为( 2

)

3 B. 4 5 D. 3

表示的平面区域,

可得当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值, 2 1 1 5 ∴z 最大值= + × = . 3 2 3 6 故选 C. 答案:C 9.(2014 鹰潭一模)下面的流程图中,若输出的 m 值为 56,则判断框中填入的语句可以 是( )

A.n>10 C.n≤10 解析:n=0,m=1;n=1,m=2; n=2,m=4;n=3,m=7; n=4,m=11;n=5,m=16; n=6,m=22;n=7,m=29; n=8,m=37;n=9,m=46; n=10,m=56;

B.n≤9 D.n≤11

∵输出的结果是 56,故继续循环的条件 n 不能超过 10. 故选 C.

答案:C x2 y2 10.(2014 天津模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,在双曲 a b π 线右支上存在一点 P 满足 PF1⊥PF2 且∠PF1F2= ,那么双曲线的离心率是( 6 A. 2 C. 2+1 π 解析:因为 PF1⊥PF2 且∠PF1F2= , 6 所以 PF2=c,PF1= 3c, 又 PF1-PF2= 3c-c=2a, 2? 3+1? c 2 所以 = = = 3+1, a 3-1 ? 3-1?? 3+1? 即双曲线的离心率为 3+1. 故选 D. 答案:D 三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (2014 南京二模)若复数 z= 1-mi (i 是虚数单位)是纯虚数, 则实数 m 的值为________. 2+i B. 3 D. 3+1 )

1-mi ?1-mi??2-i? 解析:∵复数 z= = 2+i ?2+i??2-i? = = 2-m-?2m+1?i 5 2-m 2m+1 - i 是纯虚数, 5 5

m =0, ?2- 5 ∴? 2m+1 ? 5 ≠0, 解得 m=2. 因此实数 m 的值为 2. 答案:2 12.(2014 永州一模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-4, 则输出的 y 值是________.

解析:当输入 x=-4 时, |x|>3,执行循环,x=|-4-3|=7, |x|=7>3,执行循环,x=|7-3|=4, |x|=4>3,执行循环,x=|4-3|=1, 退出循环, 1 输出的结果为 y=log 1=0. 2 答案:0 13. (2014 淄博一模)观察下列不等式: ① 请写出第 n 个不等式________. 解析:观察不等式发现如下规律: ① ② ③ … 所以 1 1 1 1 + + +…+ < n. 2 6 12 n?n+1? 1 1 1 1 + + +…+ < n 2 6 12 n?n+1? 1 <1; 1×2 1 1 + < 2; 1×2 2×3 1 1 1 + + < 3; 1×2 2×3 3×4 1 1 1 1 1 1 <1; ② + < 2; ③ + + < 3; … 2 2 6 2 6 12

答案:

1 14.若函数 f(x)= x3-kx2+(2k-1)x+5 在区间(2,3)上是减函数,则 k 的取值范围是 3 ________. 解析:∵f′(x)=x2-2kx+2k-1, 依题意有 f′(x)=x2-2kx+2k-1≤0 在(2,3)上恒成立, 即 2k(x-1)≥(x-1)(x+1)在(2,3)恒成立, 即 2k≥x+1 在(2,3)上恒成立,∴2k≥4,∴k≥2.

故 k 的取值范围是[2,+∞). 答案:[2,+∞) 三、解答题(共 70 分) π? 15.(本小题满分 10 分)(2014 汕头二模)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A,ω>0,|φ|<2?的 图象与 y 轴交于(0,3 2),它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(m,6) π m+ ,-6?. 和? 2 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式及 m 的值; (2)若锐角 θ 满足 tan θ=2 2,求 f(θ). 解:(1)由函数的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(m,6)和

?m+π,-6?, 2 ? ?
可得 A=6, π 1 1 2π π m+ ?-m= , · T= · =? 2? 2 2ω ? 2 求得 ω=2. 把点(0,3 2)代入函数的解析式可得 6sin(2×0+φ)=3 2, 解得 sin φ= 2 , 2

π π 再由|φ|< ,求得 φ= . 2 4 π? 故 f(x)=6sin? ?2x+4?. 函数在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为(m,6), π π π 故 2m+ = ,解得 m= . 4 2 8 (2)若锐角 θ 满足 tan θ=2 2, 2 2 1 ∴sin θ= ,cos θ= . 3 3 π? f(θ)=6sin? ?2θ+4? π π =6sin 2θ· cos +6cos 2θ· sin 4 4 =6 2sin θcos θ+3 2(2cos2θ-1) 1 2 2 1 2× -1? =6 2× × +3 2? ? 9 ? 3 3



8-7 2 . 3

16.(本小题满分 12 分)(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检 验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3, 再从这批产品中任取 4 件检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这 批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不 能通过检验. 1 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产 2 品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1, 第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2, 第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1, 第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2, 这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥, 所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) = = 4 1 1 1 × + × 16 16 16 2 3 . 64

(2)抽检产品的件数可能为 4 件,4+1=5 件,4+4=8 件, 因此 X 可能的取值为 400,500,800,并且 4 1 11 P(X=400)=1- - = , 16 16 16 1 P(X=500)= , 16 1 P(X=800)= . 4 所以 X 的分布列为 X P 400 11 16 500 1 16 800 1 4

11 1 1 E(X)=400× +500× +800× 16 16 4 =506.25. 17. (本小题满分 12 分)(2013 年高考山东卷)如图所示, 在三棱锥 PABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP, BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 DGHE 的余弦值. 证明:(1)由 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,知 G,H 分别是△PAQ, △PBQ 的重心. ∴ PG PH 2 = = . PD PC 3

∴GH∥DC. 又 D,C 为 AQ,BQ 中点, 则 DC∥AB, ∴AB∥GH. (2)解:法一 在△ABQ 中, AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90° , 即 AB⊥BQ, 因为 PB⊥平面 ABQ, 所以 AB⊥PB. 又 BP∩BQ=B, 所以 AB⊥平面 PBQ. 由(1)知 AB∥GH, 所以 GH⊥平面 PBQ. 又 FH?平面 PBQ, 所以 GH⊥FH. 同理可得 GH⊥HC, 所以∠FHC 为二面角 DGHE 的平面角. 设 BA=BQ=BP=2,连接 FC, 在 Rt△FBC 中,由勾股定理得 FC= 2, 在 Rt△PBC 中,由勾股定理得 PC= 5. 又 H 为△PBQ 的重心,

1 5 所以 HC= PC= . 3 3 同理 FH= 5 . 3

在△FHC 中, 5 5 + -2 9 9 4 由余弦定理得 cos∠FHC= =- . 5 5 2× 9 4 即二面角 DGHE 的余弦值为- . 5 法二 在△ABQ 中, AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90° . 又 PB⊥平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系. 设 BA=BQ=BP=2, 则 E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). → 所以EQ=(-1,2,-1), → FQ=(0,2,-1), → DP=(-1,-1,2), → CP=(0,-1,2). 设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), → → 由 m· EQ=0,m· FQ=0,
? ?-x1+2y1-z1=0, 得? ?2y1-z1=0, ?

取 y1=1,得 m=(0,1,2). 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), → → 由 n· DP=0,n· CP=0,
? ?-x2-y2+2z2=0, 得? ?-y2+2z2=0, ?

取 z2=1,得 n=(0,2,1),

m· n 4 所以 cos〈m,n〉= = . |m||n| 5 因为二面角 DGHE 为钝角, 4 所以二面角 DGHE 的余弦值为- . 5 18.(本小题满分 12 分)如图,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是 曲线 C: y2=3x(y≥0)上的 n 个点, 点 Ai(ai,0)(i=1,2,3, …, n)在 x 轴的正半轴上, 且△Ai-1AiPi 是正三角形(A0 是坐标原点).

(1)写出 a1、a2、a3; (2)求出点 An(an,0)(n∈N*)的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明. 解:(1)a1=2,a2=6,a3=12. an-1+an (2)依题意,得 xn= , 2 an-an-1 yn= 3· , 2 由此及 y2 xn n=3· an-an-12 3 得 3· = (an+an-1), 2 2 即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*). 下面用数学归纳法予以证明: ①当 n=1 时,命题显然成立; ②假定当 n=k 时命题成立, 即有 ak=k(k+1), 则当 n=k+1 时, 由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1), 得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],
2 即 a2 [(k+1)(k+2)]=0, k+1-2(k +k+1)ak+1+[k(k-1)]·

解之得,ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak 不合题意,舍去),即当 n=k+1 时成立. 由①②知,命题成立. 19.(本小题满分 12 分) (2013 年高考福建卷)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数 f(x)的极值. a 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- . x 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- (x>0), x 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. a x-a (2)由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a, 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值, 且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. 20.(本小题满分 12 分) (2014 广州高三综合测试)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1(-2,0), F2(2,0),点 A(2,3)在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2:x2=4y 交于 B,C 两点,抛 物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2,且 l1 与 l2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点 P?若存在,指出这样的点 P 有几个(不 必求出点 P 的坐标);若不存在,说明理由. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意可知 2a= ?2+2?2+32+ ?2-2?2+32 =8. ∴a=4,b2=a2-c2=12. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 16 12 x2 x2 1 2 (2)设 Bx1, ,Cx2, , 4 4 直线 BC 的斜率为 k,

x1+x2 则 k= . 4 1 由 y= x2, 4 1 得 y′= x. 2 1 1 ∴点 B、C 处的切线 l1、l2 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 x2 1 1 ∴l1 的方程为 y- = x1(x-x1), 4 2 1 1 2 即 y= x1x- x1 , 2 4 1 1 2 同理,l2 的方程为 y= x2x- x2 . 2 4

?y= 2 x-4x , 由? x 1 ?y= 2 x-4x ,
2 1 2 2 2

x1

1

x =2k, ?x=x + 2 解得? xx ?y= 4 =2k-3.
1 2 1 2

∴P(2k,2k-3). ∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|, x2 y2 ∴点 P 在椭圆 C1: + =1 上, 16 12 ∴
2 ?2k?2 ?2k-3? + =1. 16 12

化简得 7k2-12k-3=0.(*) 由 Δ=122-4×7×(-3)=228>0, 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个.


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