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综合法和分析法(公开课教案)


肥东锦弘中学高中部公开课教案设计

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2.2 直接证明与间接证明

2.2.1

综合法和分析法 赵尚平 (一)
2013-4-16
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复习回顾

r />猜想是 否正确?

否定猜想? 肯定猜想?

只要前提和推理 形式都是正确的, 结论必定是正确的.

举反例

证明
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直接证明中最基本的两种证明方法 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 (一)
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思考 :已知a, b ? 0, 求证: a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc
2 2 2 2

证明: 因为b2 ? c 2 ? 2bc, a ? 0

所以a(b 2 ? c 2 ) ? 2abc 因为c 2 ? a 2 ? 2ac, b ? 0 所以b(c 2 ? a 2 ) ? 2abc 因此, a(b2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? 4abc

观察这种 证明方法 的特点!

发现:本题主要是从已知条件出发,利用我们所熟知的基本不等式 及不等式性质来进行证明的!
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一. 综合法 (由因导果法,顺推法)

1.定义: 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 及运算法则等,经过一系列的推理论证,最后推导出 所要证明的结论成立. 由因导果,从“已知”看“可知”,逐步 2.思维特点: 推向“未知”,其逐步推理 ,实际是寻找 它的必要条件. 3.框图表示: (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

P ? Q1

Q1 ? Q2

Q2 ? Q3

Qn ? Q 结论
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例 1

已知a, b, c是不全等的正数 , a?b b?c c?a 求证 : lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

证明:

? a, b, c ? 0
? a?b b?c c?a ? ab , ? bc , ? ca , 2 2 2 a?b 1 ? lg ? lg ab ? (lg a ? lg b), 2 2 b?c 1 lg ? lg bc ? (lg b ? lg c), 2 2
lg

c?a 1 ? lg ca ? (lg c ? lg a), 2 2 以上三式相加,且注意到a,b,c不全相等, a?b b?c c?a 所以 lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

总结:本题主要综合运用 已知条件,基本不等式, 不等式性质以及对数的 运算性质来证明.
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练习 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b,c,且A,B,C成等差数列,

a, b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

证明

由A, B, C成等差数列 有2B ? A ? C ,
由A, B, C为?ABC的内角 有A ? B ? C ? ? ,

?B?

? 3

由余弦定理,有
2 2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? a ? c ? ac ? ac

由a, b,c成等比数列,有b2=ac. ? ( a ? c) 2 ? 0 ?a ? c ? A?C
由上可知A ? B ? C ?

?

3

所以△ABC为等边三角形.

总结:解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成 图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. 21:58 8/14

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回顾 《必修五》中,我们如何证明基本不等式 的 ,指出其中的证明方法的特点.

a ?b ? ab(a ? 0, b ? 0) 2

证明 要证

只需证a ? b ? 2 ab 只需证a ? b ? 2 ab ? 0 只需证( a ? b )2 ? 0

a?b ? ab 2

因为上式显然成立,所以原不等式成立.

a?b ? ab 2 a ? b ? 2 ab ? 思考: 这种证明方法 2 有什么特点呢? 2 ( a ? b) ? ?0 2 a?b ? ? ab 2 证明 : ?

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二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)

1.定义: 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,
把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.

执果索因,从“未知”看“需知”,其逐步推理,实际上是 2.思维特点:
寻找它的充分条件. 3.框图表示: (用Q表示要证明的结论,P表示充分条件)

结论Q1 Q?P

P ? P2 1

P2 ? P3

明显成立的条件
要证:...... 只需证:...... 只需证:...... ......显然成立 所以,结论成立
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4.分析法的书写格式:

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例 3

求证 : 3 ? 7 ? 2 5
证明: 21 ? 25 ? ? 21 ? 5
? 2 21 ? 10
?10 ? 2 21 ? 20
? ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2

证明:

因为 3 ? 7和2 5都是正数 所以要证 3 ? 7 ? 2 5 只需证( 3 ? 7 )2 ? (2 5)2 分 展开得 ? 2 21 ? 20 10
析 法

只需证 21 ? 5 只需证21? 25 因为21 ? 25显然成立.
所以 3 ? 7 ? 2 5

综 合 法

? 3? 7 ?2 5

在本例中,如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论.但由于 我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难.
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练 习 在锐角ΔABC中, 求证 : tan A ? tan B ? 1 证 明 要证明tan A ? tan B ? 1 sin A sin B 只需证 ?1 cos A cos B 因为A, B为锐角 所以cos A ? 0, cos B ? 0 ,

只需证cos A cos B ? sin A sin B 只需证cos A cos B ? sin A sin B ? 0
只需证cos(A ? B) ? 0 因为C为锐角 所以A ? B ? ? ? C为钝角 , 所以cos(A ? B) ? 0恒成立

所以 tan A ? tan B ? 1

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课时小结 本节课所学的知识结构

1.综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方法. 2.在数学解题中: (1)综合法是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论. (2)分析法是从数学题的待证结论出发,一步一步地探索使它成立的充分条件,最后把要证 明的问题归结为一个明显成立的条件. (3)对于解答证明来说,综合法表现为由因导果,分析法表现为执果索因,它们是寻求解题 思路的两种基本思考方法,应用十分广泛.

作业布置

1.必做题:教材P89 练习1、2题. 2.选做题:教材习题2.2 B组2、3题.
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感谢各位领导和老师的 莅临指导!!!

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