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2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷


2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为_____. 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? _______. 3、从集合 ?3, 4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成

等差数列的概率为 ____________. 4、 已知 a 是实数, 方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b( i 是虚部单位) , 则 | a ? bi | 的值为________. 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

???? ??? ?

???? ??? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且 12 4

倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 率为_______. 6、已知 a 是正实数, k

3 ,则直线的斜

? a lg a 的取值范围是________.

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 体积为____________. 8 、 已 知 等 差 数

AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的



?an ?











?bn ?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则 an ? bn ? ______.( n ? N * )

71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数, 9、将 27,37,47,48,55,
则这样的排列有________种. 10 、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组

(a, b, c) 的个数为_____.
二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

a f ( x)? | l x n ? x

? |b x? (

0 . 若

)

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a , b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

OM

上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 . 线段 AB 交圆 O 于另一点

C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a , b 是方程 x 长是整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边


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