nbhkdz.com冰点文库

2013年秋北师大版必修1示范教案2.2.1函数概念教案

时间:2013-11-12


京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班

§2

对函数的进一步认识 2.1 函数概念

整体设计 教学分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前, 学生已经把函数看成变量之间的依赖关 系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从 实际例子中抽象出用集合与对应的语

言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;通过学习函数 的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括 能力;启发学生运用函数模型表述 思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出 问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域, 体会对应关系在刻画函数概 念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一 地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整, 万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升 空,5 天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟六号”飞行期间,我们时刻关注“神舟 六号”离我们的距离 y 随时 间 t 是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和 研究.引出课题.
?1,x∈?RQ, ? 思路 2.问题:已知函数 y=? ? ?0,x∈?RQ,

请用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的

函数关系?学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释, 引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ? 1? 给出下列三种对应:? 幻灯片? ①一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面 2 的高度 h? 单位:m? 随时间 t? 单位:s? 变化的规律是 h=130t-5t . 时间 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},h 的变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}, 2 则有对应 f:t→h=130t-5t ,t∈A,h∈B. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1 中的曲线显示了 6 2 南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:10 km )随时间 t(单位:年)从 1979—2001 年的变化情 况.

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 图1 根据图 1 中的曲线可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞 面积 S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应: f:t→S,t∈A,S∈B. ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低, 恩格尔系数越低, 生活质 量越高.下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城 镇居民的生活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

t

恩格 尔系 数y

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变 化范围是数集 B={S|37.9≤S≤53.8},则有对应:f:t→y,t∈A,y∈B. 以上三个对应有什么共同特点? (2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的? (4)函数有意义指什么? (5)函数 f:A→B 的值域为 C,那么集合 B=C 吗? 活动:让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本 质 共性. 讨论结果:(1)共同特点是:集合 A、B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x, 在对应关系 f:A→B 下,在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应. (2)一般地,设 A,B 都是非 空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作函 数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. 在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 a<b,如下表所示: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] {x|x≥a} [a,+∞) {x|x>a} (a,+∞) {x|x≤a} (-∞,a] {x|x<a} (-∞,a) R (-∞,+∞) (3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围. (4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为 0,被开方数为非负数,如果函数有实 际意义时,那么还要满足实际取值,等等. (5)C ? B. 应用示例 思路 1 例 1 某山海拔 7 500 m,海平面温度为 25 ℃,气温是高度的函数,而且高度每升高 100 m,气温下降 0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温 T 随高度 x 变化的函数关系,并指 出函数的定义域和值域. 活动:学生思考初中所学函数解析表达式的含义,即用自变量表示因变量,并明确函数 的定义域和值域.

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 解:当高出海平面 x m 时,温度下降了 ×0.6(℃), 100 则函数解析式为 0.6x 3 T(x)=25- =2 5- x. 100 500 函数的定义域为[0,7 500],值域为[-20,25]. 点评:本题考查函数的概念,以及在实际生活中的应用能力. 1 例 2 已知函数 f(x)= x+3+ , x+2 (1)求函数的定义域; ?2? (2)求 f(-3),f? ?的值; ?3? (3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 活动:(1)让学生回想函数的定义域指的是什么?函数的定义域是使函数有意义的自变 1 量的取值范围,故转化为求使 x+3和 有意义的自变量的取值范围; x+3有意义,则 x+2 1 x+3≥0, 有意义,则 x+2≠0,转化为解由 x+3≥0 和 x+2≠0 组成的不等式组. x+2 ?2? (2)让学生回想 f(-3),f? ?表示什么含义?f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函数 ?3? 2 2 ?2? 值,f? ?表示自变量 x= 时对应的函数值.分别将-3, 代入函数的对应法则中得 f(-3), 3? 3 3 ? 2? ? f? ?的值. ?3? (3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数 值.分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值. 解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足?
?x+3≥0, ? ? ?x+2≠0.

x

解得-3≤x<-2 或 x

>-2,即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞). 1 (2)f(-3)= -3+3+ =-1; -3+2 2 1 3 33 ?2? f? ?= +3+ = + . 3 2 8 3 ?3? +2 3 (3)∵a>0, ∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞), 即 f(a),f(a-1)有意义. 1 则 f(a)= a+3+ ; a+2 1 1 f(a-1)= a-1+3+ = a+2 + . a-1+2 a+1 点评:本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解.求使函数有意义的自变量 的取值范围,通常转化为解不等式组. f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号, 分开符号 f(x)没有什么意义. 符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算. 例如 f(x) 2 =x -x+5,当 x=2 时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5; 当 x 为某一代数式(或某一个函数记号)时,则左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一 2 2 个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1) -(2x+1)+5,f[g(x)]=[g(x)] -g(x)+5 等. 符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 的乘积;符号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一 个函数;当 m 是常数时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量. 已知函数的解析式求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范 围,即: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果 f(x)是二次根式, 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的 集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练 2 ? x+1? 1.求函数 y= - 1-x的 定义域. x+1 答案:{x|x≤1,且 x≠-1}. 点评:本题容易错解:化简函数的解析式为 y=x+1- 1-x,得函数的定义域为 {x|x≤1}. 其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则. 化简函数的解析 式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式. 1 2.若 f(x)= 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 M∩N 等于

x

(

). A.M B.N C. UM D. UN 分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M. 答案:A 3.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. 答案:[0,1] 思路 2 x2 ?1? ?1? ?1? 例 1 已知函数 f(x)= 2,那么 f(1)+ f(2)+f? ? + f(3)+ f? ? +f(4)+f? ? = 1+x ?2? ?3? ?4? ________. ?1? 活动:观察所求式子的特点,引导学生探讨 f(a)+f? ?的值.

?a? ?1?2 ?1?2 ?1?2 ?2? ?3? ?4? 2 2 2 2 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? 解法一:原式= + + + + + + 2 2 2 2 1+1 1+2 1?2 1+3 1?2 1+4 ? ? ?1?2 1+? ? 1+? ? 1+? ? 2? 3? ? ? ? 4?
1 4 1 9 1 16 1 = + + + + + + 2 5 5 10 10 17 17 7 = . 2

?1?2 ?x? x x2 1 ? ? ?1? 解法二:由题意得 f(x)+f? ?= = 2+ 2+ 2=1. x? 1+x ? ?1?2 1+x 1+x 1+? ? ? x?
2

1 7 则原式= +1+1+1= . 2 2 点评:本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 时,相应地 f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代 ?1? ?1? 数式中含有 f(x)+f? ?,故先探讨 f(x)+f? ?的值,从而使问题简单地获解.求含有多个

?x?

?x?

函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特点,找到规律 再求解. 受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪 费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练 f? 2? f? 3? f? 2 007? 1. 已知 a, ∈N+, (a+b)=f(a)f(b), (1)=2, b f f 则 + +?+ f? 1? f? 2? f? 2 006? =________. 分析:令 a=x,b=1(x∈N+), 则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x), f? x+1? 即有 =2(x∈N+). f? x? 所以,原式= =4 012. 答案:4 012 2. 设函数 f(n)=k(k∈N+), 是 π 的小数点后的第 n 位数字, =3.141 592 653 5?, k π 则 等于________. 分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,?,则有 =1. 答案:1 例 2 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0, 则这样的函数 f(x)有( ). A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 活动:学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法 则就是不同的函数, 因此对 f(a), (b), (c)的值分类讨论, f f 注意要满足 f(a)+f(b)+f(c) =0. 解:当 f(a)=-1 时, 则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个; 当 f(a)=0 时, 则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数 有 3 个; 当 f(a)=1 时, 则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个. 综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个). 故选 C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函 2 数”.那么解析式为 y=x ,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ). A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个 分析: “同族函数”的个数由定义域的个数来确定, 此题中每个“同族函数”的定义域 中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数.

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 令 x =1,得 x=±1;令 x =4,得 x=±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2}, -2}, {1, {-1,2}, {-1, -2}, -1,2}, {1, {1,-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有 9 个. 答案:A 知能训练 f2? 1? +f? 2? 1 . 已 知 函 数 f(x) 满 足 : f(p + q) = f(p)f(q) , f(1) = 3 , 则 + f? 1? f2? 2? +f? 4? f2? 3? +f? 6? f2? 4? +f? 8? f2? 5? +f? 10? + + + =________. f? 3? f? 5? f? 7? f? 9? 分析:∵f(p+q)=f(p)f(q), 2 ∴f(x+x)=f(x)f(x),即 f (x)=f(2x). 令 q=1,得 f(p+1)=f(p)f(1), f? p+1? ∴ =f(1)=3. f? p? 2f? 2? 2f? 4? 2f? 6? 2f? 8? 2f? 10? ∴原式= + + + + f? 1? f? 3? f? 5? f? 7? f? 9? =2(3+3+3+3+3) =30. 答案:30 1 2.若 f(x)= 的定义域为 A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为 B,那么( ).
2 2

x

A.A∪B=B B.A B C.A ? B D.A∩B= ? 分析:由题意得 A={x|x≠0},B={x|x≠0,且 x≠-1}. 则 A∪B=A,则 A 错; A∩B=B,则 D 错; 由于 B A,则 C 错, B 正确. 答案:B 拓展提升 2 问题:已知函数 f(x)=x +1,x∈R. (1)分别计算 f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明. 活动:让学生探求 f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用 解析式证明. 2 2 解:(1)f(1)-f(-1)=(1 +1)-[(-1) +1]=2-2=0; 2 2 f(2)-f(-2)=(2 +1)-[(-2) +1]=5-5=0; f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0. (2)由(1)可发现结论:对任意 x∈R,有 f(x)=f(-x).证明如下: 2 2 由题意得 f(-x)=(-x) +1=x +1=f(x). ∴对任意 x∈R,总有 f(x)=f(-x). 课堂小结 本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解. 作业 练习 1、2. 设计感想 本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技 术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数 定义域的求法, 而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习. 由于函数是高中数学的重点

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

京翰教育高考补习——专业对高中学生开设高一数学辅导补习班 内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高 考的需要. (设计者:高建勇)

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班


北师大版高中数学必修1教案-高一数学教案:2.2.1 函数的...

北师大版高中数学必修1教案-高一数学教案:2.2.1 函数概念一(北师大版必修1)_数学_高中教育_教育专区。新课标第一网系列资料 www.xkb1.com 函数的概念(一)...

2016年新高一数学参考教学案:2.2.1 函数的概念一(北师...

2016年新高一数学参考教学案:2.2.1 函数概念一(北师大版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 函数的概念(一) 一...

...必修1教案-2012高一数学教案:2.2.1 函数的概念一(北...

2012北师大版高中数学必修1教案-2012高一数学教案:2.2.1 函数概念一(北师大版必修1)_数学_高中教育_教育专区。函数的概念(一) 一、教学目标 1、知识与技能...

第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.1函数的概念教案3...

第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.1函数概念教案3北师大版必修1_初中教育_教育专区。函数的概念 一、教学目标 1、知识与技能: 函数是描述客观世界变化...

...函数2.2对函数的进一步认识2.2.1函数的概念教案2北...

第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.1函数概念教案2北师大版必修1_初中教育_教育专区。函数的概念 教学目标: 通过丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的...

2012高一数学教案:2.2.1 函数的概念一(北师大版必修1)

2012高一数学教案:2.2.1 函数概念一(北师大版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。www.xkb1.com 新课标第一网不用注册,免费下载! 函数的概念(一) ...

2013年秋北师大版必修1示范教案2.4.1二次函数的图像

2013年秋北师大版必修1示范教案2.4.1二函数的图像_数学_高中教育_教育专区。...2 2 ③如何由 y=x 的图像得到 y=2x 的图像? ④如何由函数 y=f(x)的...

2.2.1函数的概念(一) 教案 (北师大版必修1)

2.2.1函数概念(一) 教案 (北师大版必修1) 隐藏>> 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 函数的概念(一) 一、教学目标 1、知识与技能: 函数是描述客观世界变...

2.2.1 函数的概念1 教案 2017-2018学年高中数学 北师大...

2.2.1 函数概念1 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一_数学_高中教育_教育专区。2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一 教案.doc ...

...教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一

函数概念(第课时) 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一_其它课程_高中教育_教育专区。2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一 教案.doc ...