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专题 填空题的解法(一)

时间:2012-02-01


专题七 客观题的解法

考点1 考点 直接法
例1(1)已知等差数列{an }中,a2 = 6,a5 = 15,若

bn = a3n,则数列{bn }的前9项和等于 __________ .

( 2 ) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

? x = ?2 + t ? x = 2 cos α + 2 (t为参数),圆C的参数方程为 ? ? ? y = kt ? y = 2sin α (参数α ∈ [0, 2π )).为使直线l与圆C相切,则需k = ___ .

切入点:第 (1) 题,列方程组,求首项及公差,进而求得 通项公式和前9项的和;第 ( 2 ) 题将参数方程化为普通方 程,由圆心到直线的距离等于半径即可求得.

?a2 = a1 + d = 6 ?a1 = 3 解析 (1)由 ? , ,得 ? ?d = 3 ?a5 = a1 + 4d = 15 所以an = 3 + 3 ( n ? 1) = 3n,bn = a3n = 9n, 9 + 81 数列{bn }的前9项和为S9 = × 9 = 405. 2

( 2 ) 化参数方程为普通方程,得直线l:kx ? y + 2k = 0, 2 圆C:x ? 2 ) + y 2 = 4. ( 要使直线l与圆C相切,则圆心 ( 2, 0 ) 到直线l的距离等于
半径, 即 2k ? 0 + 2k k 2 +1 3 = 2,解得k = ± . 3

3 答案: ) 405  ( 2 ) ± (1 3

直接从题设条件出发,利用定义、性质、定 理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得到 结论的,就是直接法.它是解填空题的最基本、 最常用的方法.使用直接法解填空题,要善于通 过现象看本质,自觉地、有意识地采取灵活、简 捷的解法.

变式1(1) 某射手射击所得环数ξ的分布列如下: 已知ξ的期望Eξ = 8.9,则y的值为
ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3

  .
10 y

( 2 ) 一简单组合体的三视图及尺寸如下图示(单位:cm)
12800 则该组合体的表面积为________cm 2 .

解析 (1)由表格可知,x + 0.1 + 0.3 + y = 1, 7 x + 8 × 0.1 + 9 × 0.3 + 10 × y = 8.9, 联立解得x = 0.2,y = 0.4.

( 2 ) 该组合体的表面积为:
2S主视图 + 2S侧视图 + 2S俯视图 = 12800cm .
2

考点2 考点 特例法
例2 (1) cos 2 x + cos 2 ( x + 120°) + cos 2 ( x + 240°) __________ .

( 2 ) 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与
它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做

等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an } 是等和数列,且a1 = 2,公和为5,那么a18的值为 ______ , 这个数列的前21项和S21 = __________ .

切入点 : (1) 注意x的任意性,可以考虑取特殊值. 个数间隔出现这一性质.

( 2 )问题解决的关键是依据定义得到数列{an } 各项是两
1 1 3 解析 (1) 取x = 0,则原式 = 1 + + = . 4 4 2 … ( 2 )由定义可知,此数列形如:a,b,a,b, ,公和为 a + b = 5. 不妨设为2,3, 2,3, ,所以a18 = 3. … 前21项和共有10个公和5及一个a = 2,S21 = 52. 3 答案: )   (1 2

( 2 ) 3 

52

当填空题的已知条件中含有某些不确定 的量,但其结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化 的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 (或特殊函数,特殊角,特殊数列,图形特 殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等) 进行处理,从而得出探求的结论.这样可大 大地简化推理、论证的过程.

变式2 (1) 抛物线y 2 = 2x与过焦点的直线交于A、B 两点(其中O为坐标原点),则OA ? OB =  
3 4

  .

( 2 ) 若函数f ( x ) = sinx + mcosx的图象关于直线
x=

π
3

对称,则实数m =

3 3

.

1 解析 (1) 取过焦点的直线为x = ,求出交点 2 3 1 1 1 1) A( ,,B ( , 1),则OA ? OB = ? 1 = ? . ? 2 2 4 4

( 2 )因为函数f ( x )的图象关于直线x =

π

3

对称,

2π 3 1 所以f ( 0 ) = f ( ),即m = + m × (? ), 3 2 2 3 解得m = . 3

考点3 考点 图解法
?x ? 2 y +1 ≤ 0 ? 例3 (1) (2011i惠州一模)若变量x,y满足 ?2 x ? y ≥ 0 , ?x ≤ 1 ? 则点P(2x ? y,x + y )表示区域的面积为 ________ . … … ( 2 ) 记实数x1,x2, ,xn中的最小数为min{x1,x2, ,xn }, 设函数f ( x ) = min{1 + sinω x,1 ? sinω x}(ω > 0),若f ( x )的 最小正周期为1,则ω的值为 ________ .

切入点: ) 画出可行域,判断区域图形的形状以 (1 便用公式求面积. 依据条件,画出图象,以便直观解决. ( 2 ) 依据条件,画出图象,以便直观解决.

a+b ? ?x = 3 ?2 x ? y = a ? 解析 (1) ? , . ? ? x + y = b ? y = 2b ? a ? 3 ? ?a ? b + 1 ≤ 0 ? 代入x,y的关系式得:a ≥ 0 , ? ?a + b ? 3 ≤ 0 ? 1 易得阴影面积S = × 2 ×1 = 1. 2

( 2 ) 如图:实线为y = 1 + sinω x的图象,虚线为y = 1 ? sinω x 的图象,所以f ( x )的图象为直线y = 1下方的曲线,f ( x )的
1 1 2π 最小正周期为1是函数y = 1 + sinω x周期的 ,所以 ? = 1, 2 2 ω 所以ω = π .

答案: )1  (1

( 2)π

对于含有几何背景的填空题,我们就要顺 势而为,根据题目条件的特点,作出符合题意 的图形,做到以形想数,数中有形,并对图形 作出分析、判断,这样就能够简捷地得出正确 的结果.数形结合,能使抽象的数学问题转化 成直观的图形,使抽象思维和形象思维结合起 来.

[ 变式3 (1) 不等式 x + 3 > x + 1的解集是  3,1)   . . ( 2 ) 方程2? x + x 2 = 3的根的个数是 2  
解析 (1) 如下图,在同一坐标系中画出函数y = x + 3 与y = x + 1的图象.从图中可以直观地得到: 3 ≤ x < 1, ? 所以所求解集是 [ ?3,1)

( 2 ) 令f ( x ) = 2? x,g ( x ) = ? x 2 + 3,则两函数的
图象的交点的个数就是方程2? x + x 2 = 3的根的个数. 作出图象如图,有两个交点,所以方程有两个根.

本课时介绍的方法:直接法,特例法, 图解法是解填空题的三种常用方法.在解 题过程中,要根据题目的特点,灵活选择 解法.


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